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■52280 / 親記事) 　期待値
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□投稿者/ ハリス 一般人(1回)-(2023/09/01(Fri) 11:25:45)
    2023/09/01(Fri) 17:25:13 編集(投稿者)

    nを正の整数とします。
    0以上n以下の整数を無作為に1つ選び記録するという試行を繰り返します。
    第k回目の試行において記録された整数をa_kとします(k=1,2,3,...)。
    a_1, a_2, a_3, a_4, ......, a_k, ...... について、
    初めてa_{k-1}<a_kとなる番号kの期待値と、
    そのときのa_kの期待値を教えて下さい。

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■52294 / ResNo.1) 　Re[1]: 期待値
□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)
    a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
    E(X)
    =Σ[j=1〜∞]j*P(X=j)
    =Σ[j=1〜∞]([h=1〜j]1)*P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞][j=h〜∞]P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞]P(X≧h)
    =Σ[h=0〜∞]P(X>h)
    =Σ[h=0〜∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
    =((n+1)^n)*Σ[h=0〜∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
    =((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
    =((n+1)/n)^(n+1).

    a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
    E(Y)
    =Σ[j=1〜n]j*P(Y=j)
    =Σ[j=1〜n]j*Σ[s=2〜∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
    =(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1〜n]j*(1-(n/(n+1))^j)
    =n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).
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■52295 / ResNo.2) 　Re[2]: 期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(2回)-(2023/09/04(Mon) 20:21:42)
    教えていただき、ありがとうございました。
解決済み!
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