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■48824 / 親記事)  不等式
□投稿者/ 虚言症 一般人(1回)-(2018/09/21(Fri) 08:33:32)
    において

    が成り立つことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48838 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/09/23(Sun) 14:22:56)
    与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0<x≦πに関して示せば十分。

    0<x≦π/2のとき
    sinx>x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
    cosx<1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
    2sin(x/2)<xから
    log(2sin(x/2))<logx<(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
    =(2x^3-9x^2+18x-11)/6
    なので
    (π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
    >(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
    =(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
    =(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
    >1 (ただしt=5-3x>0)

    π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
    (π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
    =ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
    =ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
    siny>y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
    cosy>1-y^2/2=(-y^2+2)/2
    2cos(y/2)>(16-3y)/8から
    log(2cos(y/2))>log((16-3y)/8)>(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
    =(-9y^2+64)/128
    なので
    ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
    >y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
    =(-37y^4+138y^2+384)/384
    =y^2(138-37y^2)/384+1
    ≧1

    ∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48839 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 虚言症 一般人(2回)-(2018/09/24(Mon) 22:50:11)
    有り難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48827 / 親記事)  三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)
    実数a,b,cが0<a<c<b<1を満たすとき、
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
    の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48828 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)
    x>2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)>0
    x<-2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)<0
    ∴解の絶対値は2以下

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48829 / ResNo.2)  Re[2]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)
    ひとつ質問よろしいでしょうか。
    虚数解をもつことはないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48831 / ResNo.3)  Re[3]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)
    ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
    でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
    この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
    (そのことを示す必要はありますが)大丈夫でした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48836 / ResNo.4)  Re[4]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)
    解答を以下のように訂正します。

    f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
    f(-2)=-(2a+2b+c+2)<0
    f(-1)=a+(1-b)+(1-c)>0
    f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}<0
    f(2)=2(1-a)+(b-c)+b>0
    なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
    従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48837 / ResNo.5)  Re[5]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)
    ありがとうございます!!
    こうやれば良かったんですね。
    非常に爽快な解法を教えていただき
    大変勉強になりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48830 / 親記事)  数列
□投稿者/ 楼蘭山 一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 20:44:15)
    数列{a[n]}は、a[1]=1/2であり、
    全てのn≧2に対して
    a[n]=(1/2)Σ[k=1,n-1]a[k]a[n-k]
    を満たしている。
    (1)全てのn≧2に対して、
    Σ[i=1,n-1]a[i](Σ[j=1,n-i]a[j])=2Σ[k=2,n]a[k]
    および
    2na[n]=1-Σ[k=1,n-1]a[k]
    が成り立つことを示せ。
    (2)a[n]をnで表せ。



    (1)から分かりません。お願いします。
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■48814 / 親記事)  複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 18:30:48)
    複素級数のコーシー積の絶対収束性(写真の上の問い)を証明したのですが、これで正しいでしょうか?

    解答は、次のコメントで添付します。
1700×2338 => 182×250

1537003848.jpg
/147KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48816 / ResNo.2)  Re[2]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ めぇぷる 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 22:17:29)
    正しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48817 / ResNo.3)  Re[3]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(4回)-(2018/09/15(Sat) 22:34:01)
    ありがとうございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48818 / ResNo.4)  Re[3]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(5回)-(2018/09/15(Sat) 22:53:34)
    すみません。もう一つだけ確認したいことがございます。

    証明の中で、以下の画像のように極限の収束先の方が値が大きいという不等式を使いましたが、Σ[k=0,n](α_k)は正項級数でかつΣ[n=0,∞](α_n)が絶対収束の級数であるということから明らかに成り立つとしても良いのでしょうか?

1152×648 => 250×140

1537019614.png
/42KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48820 / ResNo.5)  Re[4]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ めぇぷる 一般人(2回)-(2018/09/16(Sun) 05:58:18)
    良いでしょう。問題ないです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48821 / ResNo.6)  Re[5]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(6回)-(2018/09/16(Sun) 08:09:38)
    ありがとうございます!

    これで理解できました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48813 / 親記事)  統計学
□投稿者/ GGG 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 17:33:00)
    統計学の問題です

    正規分布に従う母集団の平均が90であるとわかっている。この母集団のうち特定のグループから標本を10個取り出したとき、この標本の平均は88.5、分散が2.5であった。
    このグループAの平均は母集団の平均と差があると言えるか。有意水準0.05で検定したい。

    この問題で棄却域を求める方法は以下の通りで正しいのでしょうか??

    t検定を行う。
    自由度9であり、標本平均 X、不変分散 U^2、統計量 t 母平均 μとおくと


    棄却域は
    |t|>t(0.025)*(n-1)
    となり

    |(X-μ)/(√(U^2/n)| > t(0.025)*(n-1)

    |(X-90)/(√(25/90))| > 2.262*9

    20.358 < 3√10(X-90)/5 , 3√10(X-90)/5 < -20.358

    10.737 < X -90 , X-90 < -10.737

    100.737 < X , X < 79.263


    これが棄却域となり、標本の平均は88.5であり、棄却域には含まれず有意な差があるとは言えない。


    この解法で正しいのでしょうか?
    統計学が難しくてなかなか理解できません。
    統計学に精通されている方、どうかご教授ください。
    よろしくお願い致します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48819 / ResNo.1)  Re[1]: 統計学
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2018/09/16(Sun) 03:35:33)
    マルチポストしすぎでしょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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