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■47162 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Z 一般人(9回)-(2015/05/05(Tue) 22:37:35)
    8 x^3+12 x^2 y+6 x^2+4 x y^2+9 x y+3 y^2-18=0
    の格子点をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47163 / ResNo.1)  Re[1]: 整数解
□投稿者/ みずき 付き人(75回)-(2015/05/06(Wed) 02:06:05)
    (4x+3)(2x^2+3xy+y^2)=18
    4x+3=3,-1,-9に絞られて
    ・(4x+3,2x^2+3xy+y^2)=(3,6)を満たす整数yは存在しない。
    ・(4x+3,2x^2+3xy+y^2)=(-1,-18)を満たす整数yは存在しない。
    ・(4x+3,2x^2+3xy+y^2)=(-9,-2)を解いてy=4,5。
    よって、(x,y)=(-3,4),(-3,5)のみ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47153 / 親記事)  自然数と三角形の∠
□投稿者/ UFO 一般人(1回)-(2015/05/01(Fri) 21:09:37)
    以下の条件をみたす自然数nを全て教えて下さい。
    条件 三辺の長さが全て自然数の三角形で、ある角が別の角のn倍となるものが存在する。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47158 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数と三角形の∠
□投稿者/ らすかる 大御所(316回)-(2015/05/03(Sun) 05:13:02)
    2015/05/03(Sun) 10:15:38 編集(投稿者)

    やっと解決しました。気付くまで時間がかかりましたが、
    気付いてしまえば考え方は難しくありませんでした。
    答えは「任意の自然数」でした。
    三辺が自然数a[1],b[1],c[1](ただしa[1]=b[1])である
    平べったい二等辺三角形から始めて、漸化式
    a[k+1]=a[k]c[k]
    b[k+1]=a[k]b[k]
    c[k+1]=(c[k])^2-(b[k])^2
    により三角形を作っていくと、三辺がa[n],b[n],c[n]である三角形は
    a[n]とc[n]で挟まれる角が最初の二等辺三角形の底角と同じ
    b[n]とc[n]で挟まれる角が最初の二等辺三角形の底角のn倍
    となります。
    (この漸化式は、三角形の相似から導出できます。)
    よって最初の二等辺三角形の底角のn+1倍が180°未満でなければいけませんので、
    nが大きくなるほど平べったい二等辺三角形から始めなければなりません。
    例えばn=10となる三角形を作るためには、最低でも
    a[1]=b[1]=13,c[1]=25とする必要があり、このとき
    (a[10],b[10],c[10])は(176396952875,137858491849,40548658151)の倍数
    となります。この三角形は確かに条件を満たしています。
    以下、2倍から10倍の例です。
    2倍:(2,2,3)から始めて (6,4,5)
    3倍:(2,2,3)から始めて (10,8,3)
    4倍:(3,3,5)から始めて (105,81,31)
    5倍:(4,4,7)から始めて (1220,1024,231)
    6倍:(6,6,11)から始めて (72930,46656,30421)
    7倍:(7,7,13)から始めて (1024303,823543,220597)
    8倍:(9,9,17)から始めて (58429017,43046721,16657264)
    9倍:(11,11,21)から始めて (3208420160,2357947691,907270539)
    10倍:(13,13,25)から始めて (176396952875,137858491849,40548658151)
    ※いずれも、最終の三角形は三辺の最大公約数で割って既約にしています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47161 / ResNo.2)  Re[2]: 自然数と三角形の∠
□投稿者/ UFO 一般人(2回)-(2015/05/03(Sun) 21:56:30)
    有難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47159 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Z 一般人(8回)-(2015/05/03(Sun) 09:38:25)
    x^5 y-x^4 y^2-6 x^4+10 x^3 y+x^2 y^4-12 x^2 y^2+12 x^2-x y^5+15 x y^3-75 x y+7 y^4-105 y^2+378=0の整数解をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47160 / ResNo.1)  Re[1]: 整数解
□投稿者/ みずき 付き人(74回)-(2015/05/03(Sun) 19:37:25)
    (x^2-xy+7)(x^2-xy+y^2-9)(xy+y^2-6)=0

    x^2-xy+7=0、つまり、x(y-x)=7となるのは、
    (x,y-x)=(1,7),(7,1),(-1,-7),(-7,-1)
    これを解いて (x,y)=(1,8),(7,8),(-1,-8),(-7,-8)

    x^2-xy+y^2-9=0をxに関する2次方程式と見ると
    (判別式)=(-y^2)-4(y^2-9)≧0 により、y^2≦12
    よって、y=-3,-2,-1,0,1,2,3
    従って、(x,y)=(0,-3),(-3,-3),(3,0),(-3,0),(0,3),(3,3)

    xy+y^2-6=0、つまり、y(x+y)=6となるのは、
    (y,x+y)=(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(-1,-6),(-6,-1),(-2,-3),(-3,-2)
    これを解いて (x,y)=(5,1),(-5,6),(1,2),(-1,3),(-5,-1),(5,-6),(-1,-2),(1,-3)
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■47154 / 親記事)  
□投稿者/ s 一般人(2回)-(2015/05/02(Sat) 01:23:57)
    数列 a(n)=(7 - 5 Sqrt[2])^(n/3) + (7 + 5 Sqrt[2])^(n/3) 
    の n=1から 9 までの値をお願いします。
    a(1)=
    a(2)=
    .
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47151 / 親記事)  全微分から導かれる式
□投稿者/ はやと 一般人(1回)-(2015/04/30(Thu) 12:29:49)
    はじめまして。とても単純なんですが、全微分について疑問があります。
    文系なので至らないところが多々あるのですが、教えてください。

    今、z=(x^a)×(y^b)

    という関数があるとします(変数はx,y,z)
    ここでzについて全微分しますと

    dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy

    なので、途中は省略しますが、最終的に

    dz=(a×dx/x+b×dy/y)×z

    となると思います。
    この式の意味は、zの微小変化量を、xとyの各微小変化量で表すことが
    できるということですよね。つまり、xとyを少しだけ動かしたとき、
    どれだけzが変化するかを把握することができるということですよね。

    ここで確認なのですが、実際具体的な値をdxやdyに代入してdxを求めたい場合、
    dxやdyはなるべく小さな値でないと意味がない(ΔxやΔyと違い、極限
    をとったものがdxやdyなのだからと思うのです)というのは正しいでしょうか。

    それからもう一つ確認で、dxとΔxは意味が違いますよね。経済学とかの教科書
    をみますと、先ほどの

    dz=(a×dx/x+b×dy/y)×z



    Δz=(a×Δx/x+b×Δy/y)×z

    となっていることがあるのです。Δは単に増分を表すのだから、もしΔzを書くなら

    Δz=((x+Δx)^a)×((y+Δy)^b)−(x^a)×(y^b)

    と、厳密に書くべきだと思うのですが。



    長くなりましたが、以上の2点について教えて頂けないでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47152 / ResNo.1)  Re[1]: 全微分から導かれる式
□投稿者/ らすかる 大御所(312回)-(2015/04/30(Thu) 15:25:31)
    > dxとΔxは意味が違いますよね。
    定義は状況や流儀により変わるものですから、
    必ずしもdxとΔxの意味が違うとは限らないと思います。

    > 経済学とかの教科書をみますと、先ほどの
    > dz=(a×dx/x+b×dy/y)×z
    > が
    > Δz=(a×Δx/x+b×Δy/y)×z
    > となっていることがあるのです。
    ということは、その教科書ではΔxはdxと同じ意味で使っているということですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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