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■46889 / 親記事)  角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(12回)-(2015/02/24(Tue) 08:30:57)
    2015/02/24(Tue) 11:46:59 編集(投稿者)
    2015/02/24(Tue) 11:46:40 編集(投稿者)

    (既出だったらごめんなさい)

    角谷・コラッツ予想の数列の挙動を調べていたところ、
    次のような興味深い性質を見つけました。

    以下で、角谷数列を

    例)n=9⇒28→14→7⇒22→11⇒34→17⇒52→26→13
    ⇒40→20→10→5⇒16→8→4→2→1

    のように表記するものとします。
    ここで、
    ⇒は左辺が奇数なので3倍して1を足す操作、
    →は左辺が偶数なので2で割る操作とします。

    この時、系列に現れる⇒の個数をf(n)と表示することにすると、
    次の性質が成り立つように見受けられます。

    f(1・2^(2n-1)-1)=f(1・2^(2n )-1) (n≧2)
    f(3・2^(2n )-1)=f(3・2^(2n+1)-1) (以下、n≧1)
    f(5・2^(2n-1)-1)=f(5・2^(2n )-1)
    f(7・2^(2n )-1)=f(7・2^(2n+1)-1)
    f(9・2^(2n-1)-1)=f(9・2^(2n )-1)
    ...

    例)
    f(7)=f(15)
    f(31)=f(63)
    ...
    f(11)=f(23)
    f(47)=f(95)
    ...
    f(9)=f(19)
    f(39)=f(79)
    ...
    f(27)=f(55)
    f(111)=f(223)
    ...
    f(17)=f(35)
    f(71)=f(143)
    ...

    これらは証明可能でしょうか?
    数列(掲載省略)を見たところ、→と⇒の配置の同型
    という箇所がありそうに思えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■46900 / ResNo.3)  Re[3]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ みずき 一般人(44回)-(2015/02/27(Fri) 18:41:13)
    No46897に返信(CEGIPOさんの記事)

    > →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
    > →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
    > (もっと簡単に示す方法もありますか?)

    あります。以下、合同式の法を4とします。

    [A1]について:3^(2n-1)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n-1)・(-3)-1≡3-1≡2
    [B1]について:3^(2n)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n)・(-3)-1≡-3-1≡0

    > ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します
    (略)
    > ということでよいでしょうか?

    良いと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46902 / ResNo.4)  Re[4]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(15回)-(2015/02/28(Sat) 06:36:29)
    なる程、よくわかりました。ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47497 / ResNo.5)  Re[5]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(1回)-(2015/09/11(Fri) 05:22:54)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47510 / ResNo.6)  Re[6]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(2回)-(2015/10/07(Wed) 18:27:29)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47518 / ResNo.7)  Re[7]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(6回)-(2015/10/12(Mon) 21:11:39)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47516 / 親記事)  C^ω級の意味
□投稿者/ kinley 一般人(1回)-(2015/10/12(Mon) 08:12:08)
    C^∞(無限回微分可能)だがC^ω(無限冪級数に展開可能)でない例として

    x<0のときf(x)=e^(1/x)、
    x≧0のときf(x)=0。

    を知りましたがいまいちピンときません。

    無限冪級数に展開可能な曲線って幾何学的にどんな曲線なのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47511 / 親記事)  極座標表示の連立方程式
□投稿者/ ライカー 一般人(1回)-(2015/10/07(Wed) 21:20:46)
    下記の極座標表示(r,θ)の連立方程式の解き方がわかりません。
    アドバイスをお願いします。

     rcos(θ−(π/2))=2a

     rcos(θ-(π/6))=a

    上記の交点の極座標を求めたいのですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47514 / ResNo.1)  Re[1]: 極座標表示の連立方程式
□投稿者/ ライカー 一般人(2回)-(2015/10/09(Fri) 20:37:38)
    No47511に返信(ライカーさんの記事)
    > 下記の極座標表示(r,θ)の連立方程式の解き方がわかりません。
    > アドバイスをお願いします。
    >
    >  rcos(θ−(π/2))=2a
    >
    >  rcos(θ-(π/6))=a
    >
    > 上記の交点の極座標を求めたいのですが。


    わかりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47509 / 親記事)  
□投稿者/ tri 一般人(1回)-(2015/10/05(Mon) 02:11:19)
    (-99 + 2 x - 101 x^2)/(1 + x^2)=0

    の とき  (2 x (1 - x^2))/(1 + x^2)^2 を 求めよ
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47504 / 親記事)  双曲線の準円?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2015/10/01(Thu) 23:28:12)
    ご教授お願いします。
    座標平面において、
    「双曲線 (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1 について、直交する2つの接線の交点の軌跡を求めよ。」の問いに対して、
    「a>b のとき(必要)、原点中心の半径sqr(a^2-b^2)の円」と求めたのですが、解答には、「a=bのとき、原点(1点)」も付け加えてありました。
    a=b のときは、双曲線の漸近線は y=±x となり、これらは、原点で直交するから、「お互いが原点を通り、直交する2つの接線は存在しない」ので、答えの付け足しの部分は間違いと考えますが、いかがでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47506 / ResNo.1)  Re[1]: 双曲線の準円?
□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2015/10/03(Sat) 08:31:36)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47507 / ResNo.2)  ITさん
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2015/10/04(Sun) 10:51:32)
    ITさん、早速のご返答ありがとうございます。
    解析幾何の大御所 矢野健太郎先生の書物には、2接線の交点の軌跡は
    a>b のときは、原点中心、半径(a^2-b^2)^(1/2)の円
    a=b のときは、原点(点円)のみ
    a<b のときは、(題意を満たす2接線が存在しないので)、軌跡なし
    となっております。(必要条件で追っています。)
    (数学セミナー別冊数学リーディングス他)
    私としては、これらの解答は、無限遠点(漸近線上)の点も接線としたときの場合と解釈すべきと考えています。
    ありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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