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■47259 / 親記事) 　数列と級数の収束
□投稿者/ アゲハ 一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 09:53:55)
    {a[n]}(n=1,2,3,...) を正の実数からなる数列とします。
    {a[n]}(n=1,2,3,...) を用いて数列 {p[n]}(n=0,1,2,3,...), {q[n]}(n=0,1,2,3,...) を次で定義します。
    　　p[0]=1, p[1]=0, p[n]=a[n-1]*p[n-1]+p[n-2] (n≧2)
    　　q[0]=0, q[1]=1, q[n]=a[n-1]*q[n-1]+q[n-2] (n≧2)
    このとき、
    　　{p[n]/q[n]}(n=1,2,3,...) が収束 ⇔ Σ[n=1,∞]a[n] が発散
    が成り立つことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■47240 / 親記事) 　ベクトル
□投稿者/ ヴェクター 一般人(1回)-(2015/05/21(Thu) 19:59:35)
    kを実数とします。
    ↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2をみたす平面ベクトル↑x,↑yが存在する ⇔ k＜1
    の証明を教えて下さい。
    ベクトルだけでやる方法を教えてほしいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47241 / ResNo.1) 　Re[1]: ベクトル
□投稿者/ IT 一般人(7回)-(2015/05/22(Fri) 00:01:24)
    ↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2　…(1)のとき
    ↑xと↑x+↑yのなす角をθとする。
    ↑y＝(↑x+↑y)-↑x を↑x・↑y=kに代入
    ↑x・{(↑x+↑y)-↑x}=k
    |↑x||↑x+↑y|cosθ-|↑x||↑x|=k
    2cosθ|↑x|-|↑x|^2=k
    移項して|↑x|^2-2cosθ|↑x|+k=0
    |↑x|実数なので判別式(cosθ)^2-k≧0
    移項してk≦(cosθ)^2
    よって　k≦1

    逆にk≦1のとき
    k＜0のとき
    　|↑x|＝√(-k)である↑xをとり
    　↑xに直交する大きさ２のベクトルを↑zとする.
    ↑y＝↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす。
    ｋ＝0のとき
    　|↑x|＝０,|↑y|＝2である↑x,↑yをとると(1)を満たす。
    0＜k≦1のとき
    　　cosθ＝ｋとなるθをとる
    　|↑x|＝√kである↑xをとり
    　↑xと角θをなし大きさ２のベクトルを↑zとする.
    ↑y＝↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす
    　
    ↑x=↑yかつ|x|=1のとき
    ↑x・↑y=1かつ|↑x+↑y|=2となると思うのですが
    ↑xと↑yには、他に何か条件があるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47242 / ResNo.2) 　Re[1]: ベクトル
□投稿者/ IT 一般人(8回)-(2015/05/22(Fri) 00:32:24)
    2015/05/22(Fri) 00:33:19 編集(投稿者)

    k≦1のとき
    　|↑x|=1+√(1-k), ↑y=[{1-√(1-k)}/{1+√(1-k)}]↑x,としても条件(1)を満たしますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47252 / ResNo.3) 　Re[2]: ベクトル
□投稿者/ ヴェクター 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 08:15:12)
    ありがとうございます。
    すみません、k≦1でした。

    この証明って、係数体が実数体の内積を持つ一般的なベクトル空間に対しても適用できますよね？
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■47245 / 親記事) 　約数
□投稿者/ aaa 一般人(1回)-(2015/05/22(Fri) 20:14:56)
    nを自然数とし、
    D(n)をnの正の約数の個数
    E(n)をnの正の偶数の約数の個数
    とします。

    Σ[n≦x]D(n)〜xlogx
    は有名なのですが、
    Σ[n≦x]E(n)〜???
    はどうなるのでしょうか。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47246 / ResNo.1) 　Re[1]: 約数
□投稿者/ らすかる 大御所(325回)-(2015/05/22(Fri) 23:26:32)
    Σ[n≦x]D(n)=x+[x/2]+[x/3]+…+[x/n]なので
    {Σ[n≦x]x/n}-n＜D(n)＜Σ[n≦x]x/nとなり
    D(n)〜Σ[n≦x]x/n=xΣ[n≦x]1/n〜xlogx
    ということだと思いますが、偶数だけならば
    Σ[n≦x]E(n)=[x/2]+[x/4]+…+[x/(2[n/2])]なので
    {Σ[2m≦x]x/(2m)}-m＜E(n)＜Σ[2m≦x]x/(2m)となり
    E(n)〜Σ[2m≦x]x/(2m)=(x/2)Σ[2m≦x]1/m〜(x/2)log(x/2)〜(xlogx)/2
    となると思います。
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■47247 / ResNo.2) 　Re[2]: 約数
□投稿者/ aaa 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 06:23:29)
    ありがとうございました。m(_ _)m
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■47235 / 親記事) 　部分列
□投稿者/ ビニル 一般人(1回)-(2015/05/20(Wed) 17:00:19)
    以下の条件をみたす実数列{a[n]}の具体例を教えて下さい。

    条件
    任意の実数aに対し、aに収束する部分列が存在する。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47236 / ResNo.1) 　Re[1]: 部分列
□投稿者/ らすかる 大御所(324回)-(2015/05/20(Wed) 18:41:29)
    以下のような例でいかがでしょうか。

    1,-1,
    2,-2,3/2,-3/2,1,-1,1/2,-1/2,
    4,-4,15/4,-15/4,7/2,-7/2,13/4,-13/4,3,-3,11/4,-11/4,5/2,-5/2,9/4,-9/4,
    　2,-2,7/4,-7/4,3/2,-3/2,5/4,-5/4,1,-1,3/4,-3/4,1/2,-1/2,1/4,-1/4,
    8,-8,63/8,-63/8,31/4,-31/4,61/8,-61/8,15/2,-15/2,・・・
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47239 / ResNo.2) 　Re[2]: 部分列
□投稿者/ ビニル 一般人(2回)-(2015/05/21(Thu) 17:53:03)
    素晴らしい発想に脱帽です。
    ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■47234 / 親記事) 　無限集合
□投稿者/ X-FILE 一般人(1回)-(2015/05/19(Tue) 20:47:05)
    Aが無限集合である ⇔ Aの真部分集合Bで|A|=|B|となるものが存在する

    この証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47237 / ResNo.1) 　Re[1]: 無限集合
□投稿者/ X-FILE 一般人(2回)-(2015/05/20(Wed) 20:54:05)
    すみません、|A|は集合Aの濃度を表しています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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