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□投稿者/ プミラ 一般人(1回)-(2016/10/14(Fri) 06:53:51)
 | a+b^2+c^3=a^2+b^3+c=a^3+b+c^2 の整数解(a,b,c)を全て教えて下さい(求め方も)。 よろしくお願いします。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47779 / ResNo.1) |
Re[1]: 整数解
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□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2016/10/14(Fri) 23:22:54)
 | 2016/10/15(Sat) 08:21:24 編集(投稿者)
長くなってしまいましたので、もっと良い解き方があるかも知れません。
[一つだけ負の場合] 対称性によりa<0,b≧0,c≧0と仮定しても一般性は失われません。 このときa≧a^3,b^2≧b,c^3≧c^2なのでa+b^2+c^3≧a^3+b+c^2 等号が成り立つのはa=-1かつb=0,1かつc=0,1のときで、 いずれの場合もa+b^2+c^3<a^2+b^3+cとなり不適。 よってこの場合は解なし。
[ちょうど二つが負の場合] 対称性によりa<0,b<0,c≧0と仮定しても一般性は失われません。 このときa≧a^3,b^2>b,c^3≧c^2なのでa+b^2+c^3>a^3+b+c^2となり不適。 よってこの場合も解なし。
[すべて負の場合] 対称性によりa=min(a,b,c)と仮定しても一般性は失われません。 以下の6つの場合があります。 (1) 0>b=c=a (2) 0>b=c>a (3) 0>b>c=a (4) 0>b>c>a (5) 0>c>b=a (6) 0>c>b>a (2),(3),(4)の場合 a+b^2+c^3=a^2+b^3+cから b^2-a^2=(b^3-c^3)+(c-a) (左辺)<0, (右辺)>0なので解なし。 (5),(6)の場合 a^2+b^3+c=a^3+b+c^2から (b^3-a^3)+(c-b)=c^2-a^2 (左辺)>0, (右辺)<0 なので解なし。 (1)の場合に成り立つことは自明です。
[すべて非負の場合] 対称性によりa=min(a,b,c)と仮定しても一般性は失われませんので a≧0,b≧a,c≧aとします。すると a+b^2+c^3≧a^2+b+c^3≧a^3+b+c^2 左の等号はa=bまたはa=0,b=1 右の等号はa=cまたはa=0,c=1 これより a=b=c a=b=0,c=1 a=0,b=c=1 対称性により (a,b,c)=(t,t,t),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (tは任意の非負整数) が適解
従ってまとめると、解は (a,b,c)=(t,t,t),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (tは任意の整数)
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■47780 / ResNo.2) |
Re[2]: 整数解
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□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2016/10/15(Sat) 06:07:39)
 | 2016/10/15(Sat) 06:56:37 編集(投稿者)
らすかる様 「対称性」を使わないと場合分けが多くなり大変ですね。 この場合の「対称性」は、どうやって確認すればいいのでしょうか? ご教示ください。例えばaとbを入れ換えると 式が変わる気がするのですが。
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■47781 / ResNo.3) |
Re[3]: 整数解
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□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2016/10/15(Sat) 07:16:36)
 | 「対称性」という言葉は正しくないかも知れませんね。 a→c,c→b,b→aのように3つの文字を循環するように入れ替えれば 同じ式になる、という意味です。
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