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■48009 / 親記事)  代数学の問題
□投稿者/ socksman 一般人(1回)-(2017/06/08(Thu) 14:56:50)
    以下の問題が分かりません。

    解説をお願いします。
1080×219 => 250×50

IMG_20170607_230206.jpg
/49KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48514 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/08/17(Fri) 14:59:57)
    (1)
    Gを位数|G|=4の群
    x∈G
    [x]をxから生成される巡回群
    とする
    [x]はGの部分群だから
    部分群[x]の位数|[x]|は4の約数だから
    (|[x]|=1).or.(|[x]|=2).or.(|[x]|=4)
    |[x]|=4となる[x]がある時
    |[x]|=|G|=4だから[x]=Gとなり
    Gは1元xから生成される巡回群だから
    GはZ/4Zと同型である

    |[x]|=4となるxが無い時
    |[x]|=1の時xは単位元0だから
    x≠0となるすべてのxに対して
    |[x]|=2となる
    G={0,a,b,c}とすると
    |[a]|=|[b]|=|[c]|=2だから
    a+a=b+b=c+c=0
    aの逆元はaだからa+b≠0≠b+a,a+c≠0≠c+a
    b≠0だからa+b≠a≠b+a,b+c≠c≠c+b
    a≠0だからa+b≠b≠b+a,a+c≠c≠c+a
    ∴a+b=c=b+a
    c≠0だからa+c≠a≠c+a,b+c≠b≠c+b
    ∴a+c=b=c+a
    bの逆元はbだからb+c≠0=c+b
    ∴b+c=a=c+b
    0=(0,0)
    a=(1,0)
    b=(0,1)
    c=(1,1)
    とすれば
    a+a=b+b=c+c=0(mod2)
    a+b=b+a=c
    a+c=c+a=b(mod2)
    b+c=c+b=a(mod2)
    だから
    GはZ/2Z×Z/2Zと同型である

    (2)
    {1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2)}
    {1,(1,2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3,4,2)}
    {1,(1,3,2,4),(1,2)(3,4),(1,4,2,3)}

    (3)
    {1,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
    {1,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)}
    {1,(1,4),(2,3),(1,4)(2,3)}
    {1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
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■47847 / 親記事)  位相空間の問題
□投稿者/ ユークリッド 一般人(1回)-(2017/01/07(Sat) 23:55:27)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする。AはdのAへの制限により距離空間となる。このとき、次の条件が同値であることを示せ。

    (1)(A,d)は完備。

    (2)Aは(X,d)の閉集合。

    全然分かりません。よろしくお願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48513 / ResNo.1)  Re[1]: 位相空間の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2018/08/16(Thu) 08:14:07)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする
    AはdのAへの制限により距離空間となる
    N=(全自然数)
    clA=(Aの閉包)とする
    (1)→(2)の証
    (A,d)は完備
    b∈cl(A)とする
    任意の自然数n∈Nに対して
    a_n∈{x∈X|d(x,b)<1/n}∩A
    となるa_nが存在する
    任意のε>0に対して
    n_0>1/εとなる自然数n_0がある
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<1/n<1/n_0<ε
    となるから
    lim_{n→∞}a_n=b
    {a_n}_{n∈N}はbに収束する
    収束する数列はコーシー列だから
    {a_n}_{n∈N}は完備Aのコーシー列となるから
    Aの要素に収束するから
    b∈A
    だから
    cl(A)=A
    だから
    ∴Aは(X,d)の閉集合

    (2)→(1)の証
    Aは(X,d)の閉集合
    A⊃{a_n}_{n∈N}はコーシー列
    とする
    (X,d)は完備だから
    lim_{n→∞}a_n=b∈X
    となるbがある
    任意のε>0に対して
    ある自然数n_0が存在して
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<ε
    だから
    a_{n_0+1}
    ∈{x∈X|d(x,b)<ε}∩{a_n}_{n∈N}
    ⊂{x∈X|d(x,b)<ε}∩A
    だから
    {x∈X|d(x,b)<ε}∩A≠φ
    だから
    b∈cl(A)
    Aは閉集合だから
    b∈cl(A)=A
    だから
    b∈A
    Aのコーシー列はAの要素に収束するから
    ∴(A,d)は完備
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■48466 / 親記事)  剰余の定理について。
□投稿者/ コルム 一般人(2回)-(2018/06/30(Sat) 09:45:09)
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48512 / ResNo.1)  Re[1]: 剰余の定理について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/08/12(Sun) 09:12:53)
    問題に
    整式P(x)は(x+1)^2で割ると割り切れて、
    と書いてあるから
    No.4
    P(x)=(x+1)^2{(x-2)Q(x)+a}+r(x)

    P(x)が(x+1)^2で割り切れるためには
    r(x)=0
    でなければならない
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■48507 / 親記事)  積分計算
□投稿者/ こいち 一般人(11回)-(2018/07/29(Sun) 01:32:27)
    (x-1)^2/(x^2+1)^2について不定積分の解法を、解ける方お願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48508 / ResNo.1)  Re[1]: 積分計算
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2018/07/29(Sun) 02:08:19)
    (x-1)^2/(x^2+1)^2
    =(x^2-2x+1)/(x^2+1)^2
    =(x^2+1)/(x^2+1)^2-2x/(x^2+1)^2
    =1/(x^2+1)-2x/(x^2+1)^2
    と分ければ、1/(x^2+1)の不定積分はarctanx、
    2x/(x^2+1)^2の不定積分はx^2+1=tとおけば簡単ですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48509 / ResNo.2)  Re[2]: 積分計算
□投稿者/ こいち 一般人(12回)-(2018/07/29(Sun) 10:58:01)
    なるほど。発想が乏しかったです。
    やっぱりコツなどではなく経験なのでしょうか...(-_-;)

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■48496 / 親記事)  広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)
    ∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx
    の解き方を教えてください。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48500 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)
    a≠0かつb≠0のとき
    ∫e^(-ax)・sin(bx)dx
    =e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx
    なので
    (1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1
    (a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1
    ∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2
    従って
    b=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]0dx=0
    b≠0,a=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0〜∞]は発散
    b≠0,a<0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]は発散
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)

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■48501 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)
    の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48503 / ResNo.3)  Re[3]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)
    a>0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので
    lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0
    x=0のとき
    e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので
    x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2)
    よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)

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■48506 / ResNo.4)  Re[4]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)
    解くことができました。ありがとうございました!
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