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■51959 / 親記事)  確率
□投稿者/ ピザ 一般人(1回)-(2022/10/05(Wed) 11:11:08)
    箱の中に1から8の整数が書かれた8個のボールがあり、
    2個取り出して、2個の玉に書かれた|整数の差|が1であればその2個は捨て、
    |整数の差|が1より大きければ2個とも箱に戻す、という行動を繰り返す。
    n回行動をし終えた時点で箱が空になる確率を求めよ。

    この問題が解けないので教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■51978 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/10/12(Wed) 18:54:03)
    求める確率をP[n]とします。

    ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
    k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
    R[8,6]=4/(8C2)=1/7
    R[6,4]=3/(6C2)=1/5
    R[4,2]=2/(4C2)=1/3
    R[2,0]=1
    ∴箱の中の玉の個数が
    l回目の行動の前後で8個から6個に
    l+m回目の行動の前後で6個から4個に
    なり、
    n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
    である確率をQ[n,l,m]とすると
    Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
    ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
    ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
    ={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
    =(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n

    よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
    q[n]=Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l]Q[n,l,m]
    =Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
    =(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1〜n-l](6/5)^(m-1)
    =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
    =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
    =(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
    =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
    =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
    =(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
    =(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
    =(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
    ={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
    =(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)


    (i)n≧4のとき
    P[n]=R[4,2]q[n-2]
    =(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
    (ii)n=1,2,3のとき
    箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
    P[n]=0
    (もっと簡単な方法があるかもしれません。)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51982 / ResNo.2)  Re[2]: 確率
□投稿者/ ピザ 一般人(2回)-(2022/10/14(Fri) 10:36:45)
    有り難うございます。
    感激です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51984 / ResNo.3)  Re[2]: 確率
□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2022/10/18(Tue) 11:26:05)
    No51978に返信(Xさんの記事)
    > 求める確率をP[n]とします。
    >
    > ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
    > k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
    > R[8,6]=4/(8C2)=1/7
    > R[6,4]=3/(6C2)=1/5
    > R[4,2]=2/(4C2)=1/3
    > R[2,0]=1
    > ∴箱の中の玉の個数が
    > l回目の行動の前後で8個から6個に
    > l+m回目の行動の前後で6個から4個に
    > なり、
    > n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
    > である確率をQ[n,l,m]とすると
    > Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
    > ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
    > ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
    > ={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
    > =(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
    >
    > よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
    > q[n]=Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l]Q[n,l,m]
    > =Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
    > =(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1〜n-l](6/5)^(m-1)
    > =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
    > =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
    > =(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
    > =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
    > =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
    > =(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
    > =(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
    > =(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
    > ={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
    > =(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)
    >
    > ∴
    > (i)n≧4のとき
    > P[n]=R[4,2]q[n-2]
    > =(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
    > (ii)n=1,2,3のとき
    > 箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
    > P[n]=0
    > (もっと簡単な方法があるかもしれません。)


    1回目に (2,3) が取り出された場合,1 が今後取り出されることがなくなるので箱からすべての玉が取り出されることがなくなります。
    この計算では個数のみを気にしていて取り出され方が加味されていないようなので先の例が起こることが加味されていません。
    おそらくこの計算よりさらに複雑になります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51989 / ResNo.4)  Re[1]: 確率
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/10/20(Thu) 18:17:48)
    >>nackyさんへ
    ご指摘ありがとうございます。
    >>ピザさんへ
    もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
    nackyさんの仰る通りです。
    私の回答は無視して下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51983 / 親記事)  行列のノルム
□投稿者/ 学生 一般人(1回)-(2022/10/17(Mon) 17:50:00)
    sup(v≠0)|Av|/|v|=sup(|v|=1)|Av|
    Aを複素数成分のk次正方行列とする
    vは数ベクトル空間C^kを動く
    これの証明をx=y&#8644;x<=yかつy<=xのような形の証明を教えてください
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51985 / ResNo.1)  Re[1]: 行列のノルム
□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 11:40:49)
    まず実数からなる集合 となっているとき が成り立つので

    が成り立つ.

    また を任意にとると上限の定義よりある について

    が成り立つ. ここで とおくと であり

    が成り立つ. は任意だったので と極限をとると

    が得られる.

    ちなみにですが実際は

    であることから求める等式は得られます.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51986 / ResNo.2)  Re[2]: 行列のノルム
□投稿者/ 学生 一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 12:28:20)
    解答ありがとうございます。
    とても理解しやすかったです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51979 / 親記事)  不定積分
□投稿者/ 積分 一般人(1回)-(2022/10/13(Thu) 12:42:40)
    ∫dx/√(x-√(x^2-1))を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51980 / ResNo.1)  Re[1]: 不定積分
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2022/10/13(Thu) 14:21:12)
    t=√(x-√(x^2-1))とおくと
    x=(t^4+1)/(2t^2)
    dx=(t^4-1)/t^3 dt
    となるので
    ∫dx/√(x-√(x^2-1))
    =∫(t^4-1)/t^4 dt
    =t+1/(3t^3)+C
    =√(x-√(x^2-1))+1/{3(x-√(x^2-1))^(3/2)}+C

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51981 / ResNo.2)  Re[2]: 不定積分
□投稿者/ 積分 一般人(2回)-(2022/10/13(Thu) 15:13:24)
    なるほど…
    このように大胆に置換すればよかったわけですか

    ありがとうございました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51975 / 親記事)  解析学
□投稿者/ 数学を勉強する者 一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 15:22:20)
    (1-z)^(-k-1)=Σ(n=k→∞)(n,k)z^(n-k)
    (n,k)は二項係数
    kは0以上の整数で、開円板B(0;1)で成り立つことの証明を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51977 / ResNo.1)  Re[1]: 解析学
□投稿者/ なか卯 一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 20:46:54)
    (1/(1-z))^(k+1)
    =(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+…)^(k+1)
    =(k,k)+(k+1,k)z+(k+2,k)z^2+(k+3,3)z^3+(k+4,k)z^4+(k+5,5)z^5+…
    =Σ[n=k→∞](n,k)z^(n-k)

    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51973 / 親記事)  二等辺三角形
□投稿者/ 扇 一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 00:19:42)
    三角形OABはOA=OB=(√5)/3,AB=1の二等辺三角形で
    辺OAの中点をM, 線分BMを2:3に内分する点をPとする。
    Pから辺OBに下ろした垂線の足をHとするとき、
    線分BHの長さを求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51974 / ResNo.1)  Re[1]: 二等辺三角形
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2022/10/11(Tue) 07:48:56)
    1÷2=1/2、√((√5/3)^2-(1/2)^2)=√11/6 なので
    O(0,√11/6), A(-1/2,0), B(1/2,0) とおける。
    このとき M=(O+A)/2 なので M(-1/4,√11/12)
    Mから直線OBに下した垂線の足をCとすると、条件からBH=(2/5)BC
    (点Pの座標を求める必要はない)
    直線OBの傾きは (√11/6-0)/(0-1/2)=-√11/3 なので
    直線MCの傾きは 1/(-√11/3)=3√11/11
    直線OB上の点は((1-t)/2,t√11/6)と表せるので
    直線OBに直交する直線は y=(3√11/11)(x-(1-t)/2)+t√11/6 と書ける。
    この直線がMを通るとき(x,y)=(-1/4,√11/12)を代入してtを求めると
    t=19/20となるので、Cの座標は((1-t)/2,t√11/6)にt=19/20を代入して
    C(1/40,19√11/120)
    このときBC=√((1/40-1/2)^2+(19√11/120-0)^2)=19√5/60
    となるので、BH=(2/5)BC=19√5/150

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51976 / ResNo.2)  Re[2]: 二等辺三角形
□投稿者/ 扇 一般人(2回)-(2022/10/11(Tue) 20:31:26)
    すごく分かりやすかったです
    ありがとうございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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