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■52302 / 親記事)  これだけで求められるの?
□投稿者/ 無糖 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 20:45:49)
    0以上の実数から0以上の実数への関数fが
    0≦x<yをみたす任意の実数x,yに対して
    f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)}
    をみたしています。
    f(0)=1のときf(5)は何になるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52303 / ResNo.1)  Re[1]: これだけで求められるの?
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2023/09/08(Fri) 01:47:12)
    粗く考えたところf(5)=0でないといけないようですが、
    きちんとした証明はできていません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52305 / ResNo.2)  Re[1]: これだけで求められるの?
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2023/09/08(Fri) 21:58:32)
    証明できました。
    f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} から
    f(x)^2≧f(y)^2 なので
    f(x)は広義単調減少
    またf(x)が広義単調減少であれば
    f(x)^2≧max{f(y)^2,(y-x)f(y)} ⇔ f(x)^2≧(y-x)f(y)
    なので、以下では広義単調減少を前提として
    f(y)≦f(x)^2/(y-x) … (1)
    について考える。

    (1)で
    (x,y)=(0,2)とすると f(2)≦f(0)^2/2=1/2
    (x,y)=(2,3)とすると f(3)≦f(2)^2≦1/4
    (x,y)=(3,7/2)とすると f(7/2)≦f(3)^2/(1/2)≦1/8
    (x,y)=(7/2,15/4)とすると f(15/4)≦f(7/2)^2/(1/4)≦1/16
    (x,y)=(15/4,31/8)とすると f(31/8)≦f(15/4)^2/(1/8)≦1/32
    (x,y)=(31/8,63/16)とすると f(63/16)≦f(31/8)^2/(1/16)≦1/64
    ・・・
    (x,y)=(4-1/2^n,4-1/2^(n+1))とすると
    f(4-1/2^(n+1))≦f(4-1/2^n)^2/(1/2^(n+1))≦1/2^(n+3)
    ・・・
    のようになるから、n→∞としてf(4)=0
    f(x)は広義単調減少の非負値関数だから、x≧4のときf(x)=0となり、f(5)=0。

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■52306 / ResNo.3)  Re[2]: これだけで求められるの?
□投稿者/ 無糖 一般人(2回)-(2023/09/09(Sat) 15:28:57)
    すごい…ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52296 / 親記事)  不等式
□投稿者/ アルナルディ 一般人(1回)-(2023/09/05(Tue) 03:44:09)
    -1<a,b,c<1のとき(a+b+c)^2+3>(ab+bc+ca)^2+3(abc)^2の証明教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52297 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2023/09/05(Tue) 05:09:10)
    (左辺)-(右辺)
    =(1-a^2){(b+c)^2+b^2c^2+1}+(1-b^2){(c+a)^2+c^2a^2+1}+(1-c^2){(a+b)^2+a^2b^2+1}
    >0
    で言えますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52298 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ アルナルディ 一般人(2回)-(2023/09/05(Tue) 08:57:11)
    このような複雑な式変形全く思いもつきませんでした
    ありがとうございました
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■52280 / 親記事)  期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(1回)-(2023/09/01(Fri) 11:25:45)
    2023/09/01(Fri) 17:25:13 編集(投稿者)

    nを正の整数とします。
    0以上n以下の整数を無作為に1つ選び記録するという試行を繰り返します。
    第k回目の試行において記録された整数をa_kとします(k=1,2,3,...)。
    a_1, a_2, a_3, a_4, ......, a_k, ...... について、
    初めてa_{k-1}<a_kとなる番号kの期待値と、
    そのときのa_kの期待値を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52294 / ResNo.1)  Re[1]: 期待値
□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)
    a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
    E(X)
    =Σ[j=1〜∞]j*P(X=j)
    =Σ[j=1〜∞]([h=1〜j]1)*P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞][j=h〜∞]P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞]P(X≧h)
    =Σ[h=0〜∞]P(X>h)
    =Σ[h=0〜∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
    =((n+1)^n)*Σ[h=0〜∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
    =((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
    =((n+1)/n)^(n+1).

    a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
    E(Y)
    =Σ[j=1〜n]j*P(Y=j)
    =Σ[j=1〜n]j*Σ[s=2〜∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
    =(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1〜n]j*(1-(n/(n+1))^j)
    =n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52295 / ResNo.2)  Re[2]: 期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(2回)-(2023/09/04(Mon) 20:21:42)
    教えていただき、ありがとうございました。
解決済み!
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■52292 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ たま 一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 16:06:12)
    nは2以上の整数で1+2^n+4^nが素数であるとき、nの素因数を求めよ。

    教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52293 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2023/09/03(Sun) 00:55:51)
    n=2,3,4,5,6,7,…に対して
    2^n≡4,1,2,4,1,2,… (mod 7)
    4^n≡2,1,4,2,1,4,… (mod 7)
    なのでn≡1,2 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡0 (mod 7)
    n≡0 (mod 3)のとき1+2^n+4^n≡3 (mod 7)
    またn=3のとき1+2^n+4^n=73で素数
    従って1+2^n+4^nが素数のときnは素因数3を持つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52288 / 親記事)  二次方程式の定数を求める
□投稿者/ aaa 一般人(1回)-(2023/09/02(Sat) 15:14:00)
    2x^2+(m-4)x+2=0

    の式において実数解を持つときの定数mの値の範囲を求めよ
    という参考書の問題において私は式を

    2x^2+Ax+2=0に変形し

    (2x+1)(x+2),(2X+2)(x+1),(2x-1)(x-2),(2X-2)(x-1)の形に変形することで、

    Aが5または-5であるということを突き止めました。
    つまり、私はmの範囲は-1と9以外のすべての実数だと考えました。
    しかし、回答は

    m&#8804;0,m&#8805;8と、私の回答とは違っており
    私のこの解方において、計算間違いをしている箇所を指摘してください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52289 / ResNo.1)  Re[1]: 二次方程式の定数を求める
□投稿者/ aaa 一般人(2回)-(2023/09/02(Sat) 15:15:19)
    回答が文字化けしてしましました。
    mの範囲は
    0以下、8以上
    になります
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52290 / ResNo.2)  Re[1]: 二次方程式の定数を求める
□投稿者/ X 一般人(6回)-(2023/09/02(Sat) 15:25:30)
    >>mの範囲は-1と9以外のすべての実数
    というのは
    >>(2x+1)(x+2),〜突き止め
    たことからの予想であり、証明がありません。

    つまり、計算間違い以前に値の範囲の計算をしていません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52291 / ResNo.3)  Re[2]: 二次方程式の定数を求める
□投稿者/ aaa 一般人(3回)-(2023/09/02(Sat) 15:44:53)
    そういえばですが、私の予想通りの形にならない場合があるから
    解の公式が存在しているという認識は合っていますか
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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