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□投稿者/ Keiko 一般人(1回)-(2015/08/29(Sat) 00:26:16)
 | 3×3正値エルミート行列A=:(a_ij),B=:(b_ij)について,
a22b33-a32~b32+b22a33-b32~a32>0となる事を示す問題です。
どなたか証明をお願い致します。
a32~はa32の共役複素数の意味です。
a22b33-a32~b32+b22a33-b32~a32
=Re(a22)Re(b33)+Re(b22)Re(a33)-2(Re(a32)Re(b32)+Im(a32)Im(b32))
となると思いますがここから先に進めません。
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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
| ■47489 / ResNo.2) |
Re[2]: 行列の正値性の証明
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□投稿者/ Keiko 一般人(2回)-(2015/09/05(Sat) 12:35:25)
| なるほど納得です。どうも有難うございます。
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解決済み! |
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| ■47491 / ResNo.3) |
Re[3]: 行列の正値性の証明
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□投稿者/ Keiko 一般人(3回)-(2015/09/07(Mon) 10:32:33)
 | まことに申し訳ありません。
もう一つ質問なのですが
A,Bは2×2正値エルミート行列とします。(A+B)~ijは行列A+Bのi,j成分に対する余因子を表すものとします。
d_ij:=(A+B)~ij-A~ij-B~ijと定義すると,
余因子行列,
d_11,d_12
d_21,d_22
(これはエルミート行列になる事は直ぐに分かる)
が正値になる事を示すにはどうすればいいでしょうか?
d_21=\bar{d_12},d_11>0,d_22>0になる事は分かったのですがそこからが。。
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| ■47495 / ResNo.5) |
Re[5]: 行列の正値性の証明
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□投稿者/ Keiko 一般人(4回)-(2015/09/10(Thu) 05:04:35)
| 2015/09/10(Thu) 06:58:09 編集(投稿者)
2015/09/10(Thu) 06:56:31 編集(投稿者)
2015/09/10(Thu) 06:30:51 編集(投稿者)
cof(A+B)-cof(A)-cof(B)=Oは仰る通りでした。失礼いたしました。
そもそも,n-1個のn×n正値エルミート行列A_1,A_2,…,A_{n-1}に於いて,
記号A_1(i|j)はA_1からi行目とj列目を取り除いてできる(n-1)×(n-1)行列の意味でそれは(n-1)×(n-1)正値エルミート行列となる。
そして,
d_ij:=1/(n-1)!Σ_[k=0..n-2](-1)^kΣ_[{m_1,m_2,…,m_{(n-1)-k}}⊂{1,2,…,n-1}]det(A_{m_1}(i|j),A_{m_2}(i|j),…,A_{m_{(n-1)-k}(i|j)})
とおいた時,d_ij=d_ji~,d_ii>0となる事も分かる。
この時,
D_n:=
d_11,d_21~,…,d_n1~
d_21,d_22,…, d_n2~
: : :
d_n1,d_n2,…,d_nn
も正値エルミール行列になる事を示してます。
そもそもn=3の時,
D_3≠cof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)でした(^_^;)
D_3の各成分の符号は正で一定ですがcof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)では(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)成分では負になるのでした。
D_3=cof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)だとばっかり思い込んでおりました。
兎に角,D_nが正値である事はどのように証明できますでしょうか?
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| ■47496 / ResNo.6) |
Re[6]: 行列の正値性の証明
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□投稿者/ Keiko 一般人(5回)-(2015/09/10(Thu) 06:48:12)
| 2015/09/10(Thu) 06:49:51 編集(投稿者)
参考として
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902×164 => 250×45
1441835292.jpg/48KB
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