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■51904 / 親記事) 　代数学の問題
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□投稿者/ Milo 一般人(1回)-(2022/06/29(Wed) 18:37:30)
    大学数学の代数学の問題です。ご協力お願いしたいです。

    問題T :={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}⊂Zを法10に関する完全代表系として固定する。数字「０」を x ∈ Z とする。
    任意の 0 ≤ i ≤ 9 に対して、法 10 に関して x + i と合同な T の元を ai とする.また，ai の法 10 に関す る剰余類を ai ∈ Z/10Zとおく.(Z/10Z)^× を Z/10Z の既約剰余類群とする.
    (1) 各0 ≤ i ≤ 9に対して，ai を求めよ.
    (2) 加法群 Z/10Z において，ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (3) 加法群 Z/10Z において，ai の位数が 5 となる i をすべて求めよ.
    (4) ai ∈ (Z/10Z)^×となる i をすべて求めよ.
    (5) 乗法群 (Z/10Z)^× において，ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (6) ai が乗法群 (Z/10Z)^× の生成元となるような i をすべて求めよ.
    (答のみでよい.)
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■51906 / ResNo.1) 　Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(21回)-(2022/06/30(Thu) 08:00:42)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは＾＾

    数字０をｘとするという部分の意味がちょっとわかりにくいのですが、
    同値類の元の一つということなら、１０ｎの形の数ということかもしれません。

    そうだとするとｘ＝１０ｎを足しても剰余類としては変わらないので、
    （１）はai＝i（０≦i≦９）ですね。
    また位数１というのは単位元なので、（２）はi＝０です。

    位数５は５倍してはじめて１０の倍数になる数なので、（３）は０以外の偶数、すなわち２，４，６，８ですね。

    （４）は１０と互いに素な数なので１，３，７，９です。

    （５）はそのうちの（乗法に関する）単位元なので１ですね。

    またこの乗法群において１の位数は１，９の位数は２，また３と７の位数は４なので、（６）の答えは位数が４となる３，７になります。

    ということで、ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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