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■50878 / 親記事)  cosθ
  
□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤 一般人(1回)-(2021/07/01(Thu) 21:04:48)
    cosθ, cos2θ, cos3θ, cos4θ, ....... , coskθ, .......
    という数列のどこか連続する4項が有理数ならば、
    この数列は全ての項が有理数だと言えますか?
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■50879 / ResNo.1)  Re[1]: cosθ
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2021/07/02(Fri) 21:45:06)
    # θとタイプするのが面倒なので、t とタイプさせて頂きます。

    cos(t) が有理数であることが示せれば十分です。
    何故なら、任意の自然数 k に対して、cos(kt) は cos(t) の整数係数の整式になるからです。

    k を自然数、p, q, r, s を有理数として、
    p = cos(kt) ・・・・・(1)
    q = cos((k+1)t) ・・・・・(2)
    r = cos((k+2)t) ・・・・・(3)
    s = cos((k+3)t) ・・・・・(4)
    とします。

    (1)(2)より、
    q = cos(kt)cos(t)-sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-sin(kt)sin(t)
    ⇒ sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-q ・・・・・(5)

    (1)(3)(5)より、
    r = cos(kt)cos(2t)-sin(kt)sin(2t)
    = p(2cos(t)^2-1)-2sin(kt)sin(t)cos(t)
    = p(2cos(t)^2-1)-2(p*cos(t)-q)cos(t)
    = 2q*cos(t)-p ・・・・・(6)

    q ≠ 0 ならば、(6)より
    cos(t) = (p+r)/(2q) ・・・・・(7)

    q = 0 ならば、(6)より
    r = -p ・・・・・(8)

    (2)より、
    q = cos((k+1)t) = 0
    ⇒ sin((k+1)t) = ±1 ・・・・・(9)

    (3)(8)(9)より、
    r = cos((k+1)t)cos(t)-sin((k+1)t)sin(t) = -sin((k+1)t)sin(t)
    ⇒ (-p)^2 = (-sin((k+1)t)sin(t))^2 = sin(t)^2
    ⇒ p^2 = 1-cos(t)^2
    ⇒ cos(t)^2 = 1-p^2 ・・・・・(10)

    (4)(5)より、
    s = cos(kt)cos(3t)-sin(kt)sin(3t)
    = p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)(3sin(t)-4sin(t)^3)
    = p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)sin(t)(3-4sin(t)^2)
    = p(4cos(t)^3-3cos(t))-p*cos(t)(4cos(t)^2-1)
    = -2p*cos(t) ・・・・・(11)

    p ≠ 0 ならば、(11)より
    cos(t) = -s/(2p) ・・・・・(12)

    p = 0 ならば、(10)より
    cos(t) = ±1 ・・・・・(13)

    以上から、
    q ≠ 0 なら cos(t) = (p+r)/(2q)
    q = 0 かつ p ≠ 0 なら cos(t) = -s/(2p)
    q = 0 かつ p = 0 なら cos(t) = ±1
    ・・・と、いずれも cos(t) は有理数になります。
    よって、連続4項が有理数なら全項が有理数と言えます。
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■50882 / ResNo.2)  Re[2]: cosθ
□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤 一般人(2回)-(2021/07/04(Sun) 14:58:13)
    大変美しい解答を有難うございました。
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