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No51856 の記事


■51856 / )  Re[1]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 01:56:45)
http://www/youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    はじめまして。マシュマロと申します。

    みたところ、「k<9/4またはk>4」が必要十分なのではないかと思います。
    以下、その説明です。


    D=b^2−4ac,s=a+b+c,m=max{a,b,c}とおきます。

    (1)m=bの場合

    この場合、仮にb<0ならばD<0となって条件に反するので
    b≧0です。

    b=0のとき、条件を満たすのはac=0のときで、
    このときはs≦0かつm=0なので、s>kmを満たすkは
    存在しません。

    よってb>0です。さらに場合分けします。

    (1‐1)ac≦0のとき

    このときはD>0となり、条件が満たされます。
    a≧0として一般性を失いません。
    このとき、sはa=b,c=0のとき最大値2bをとります。
    よってk<2ならばs>kmとなり得ます。

    (1‐2)a,c>0のとき

    D≧0となるのはac≦b^2のときで、a,c≦bの条件下においてsは
    (a,c)=(b,b/4),(b/4,b)のとき、最大値9/4bを
    とります。
    よってk<9/4ならばs>kmとなり得ます。

    (1‐3)a,c<0のとき

    a,c→0とすることによりsの上限はbであることがわかります。
    よってk<1ならばs>kmとなり得ます。

    よって、m=bの場合はk<9/4ならばs>kmとなり得ることがわかりました。


    (2)m=aの場合

    さらに場合分けします。

    (2‐1)a=0のとき

    この場合はD≧0ですが、s≦0,m=0なのでs>kmとはなり得ません。

    (2‐2)a>0,c≦0のとき

    この場合はD≧0が満たされます。
    sはb=a,c=0のとき、最大値2aをとります。
    よってk<2ならばs>kmとなり得ます。

    (2‐3)a>0,c>0のとき

    D≧0よりb≧2√(ac)ですが、b≦aよりc≦a/4です。
    よってsは(b,c)=(a,a/4)のとき、最大値9a/4をとります。
    従ってk<9/4ならばs>kmとなり得ます。

    (2‐4)a<0のとき

    m=aなのでb,c≦aです。
    D≧0となるのはb≦−2√(ac)のときです。
    sは(b,c)=(2a,a)のとき最大値4aをとります。
    よって、k>4ならばs>kmとなり得ます。

    従ってm=aの場合はk<9/4またはk>4ならば
    s>kmとなり得ることがわかりました。


    (3)m=cのとき

    これは(2)の場合と同様なので、k<9/4またはk>4のときに
    s>kmとなり得ます。


    (1)〜(3)により、求める必要十分条件は
    「k<9/4またはk>4」であることがわかりました。□


    以上のようになりました。
    場合分けが多いので合っているかどうかわかりませんが、
    参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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