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■51910 / 親記事)  複素数
  
□投稿者/ 仔犬 一般人(1回)-(2022/07/01(Fri) 17:01:03)
    教えて下さい。

    (z-1)(w-1)=|z|=|w|=1
    をみたす複素数z,wを全て求めよ。
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■51913 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/07/01(Fri) 22:29:59)
    以下の方針はオイラーの公式を学習済みという前提ですので
    注意して下さい。

    問題の方程式から
    (z-1)(w-1)=1 (A)
    |z|=|w|=1 (B)
    (B)より
    z=e^(ia) (C)
    (但し0≦a<2π (D))
    w=e^(ib) (E)
    (但し0≦b<2π (F))
    と置くことができます。
    (C)(E)を(A)に代入すると
    e^{i(a+b)}-e^(ia)-e^(ib)=0
    ∴e^(ia)-e^{i(a-b)}=1
    となるので複素数の相等の定義により
    cosa-cos(a-b)=1 (G)
    sin(a-b)=0 (H)
    (D)(F)より
    -2π<a-b<2π
    ∴(H)より
    a-b=0,π,-π
    (i)a-b=0のとき
    (G)より
    cosa=2
    ゆえ題意を満たす(z,w)の組は存在しません。
    (ii)a-b=πのとき
    (G)より
    cosa=0
    ∴(C)より
    a=π/2,3π/2
    となるので(F)より
    (a,b)=(3π/2,π/2)
    ∴(C)(E)から
    z=-i,w=i
    (iii)a-b=-πのとき
    (C)(G)より
    a=π/2,3π/2
    ∴(F)より
    (a,b)=(π/2,3π/2)
    ∴(C)(E)から
    z=i,w=-i

    以上から
    (z,w)=(i,-i),(-i,i)
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■51914 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2022/07/02(Sat) 01:09:14)
    (z,w)=(i,-i)のとき
    (z-1)(w-1)=(i-1)(-i-1)=2
    になると思います。

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■51916 / ResNo.3)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2022/07/02(Sat) 09:41:03)
    >>ラスカルさんへ
    ご指摘ありがとうございます。
    >>仔犬さんへ
    ごめんなさい、途中で計算を間違えていました。
    修正を考えましたが、No.51913の方針では
    計算が煩雑になりますので、別の方針で
    アップします。


    問題の方程式から
    (z-1)(w-1)=1 (A)
    |z|=1 (B)
    |w|=1 (C)
    (A)から
    zw-z-w=0
    (z-1)w=z
    ∴w=z/(z-1) (A)'
    これを(C)に代入し、
    |z|/|z-1|=1
    更に(B)を代入して
    |z-1|=1 (C)'
    ここで(B)より
    z=cosθ+isinθ (D)
    (0≦θ<2π)
    と置くことができるので、(C)'は
    (cosθ-1)^2+(sinθ)^2=1
    ∴-2cosθ+2=1
    cosθ=1/2
    ∴θ=π/3,5π/3
    よって(D)より
    z=1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2
    これらを(A)'に代入して
    (z,w)=(1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2),(1/2-i(√3)/2,1/2+i(√3)/2)

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■51922 / ResNo.4)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ 仔犬 一般人(2回)-(2022/07/18(Mon) 22:45:11)
    友達に聞いて解決しました。すみませんでした。
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