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■51817 / 親記事) 　y=e^xの法線
□投稿者/ 指数関数 一般人(1回)-(2022/03/06(Sun) 01:31:38)
    xy平面の曲線y=e^x上の相異なる2点それぞれにおける法線の交点が
    y>e^xで表される領域に含まれるか計算で確認しようとしています。

    2本の法線の交点のx座標をeの肩に乗せたあたりから
    非常に雲行きが怪しくなってくるのですが、
    どのように考えるとその後上手くいくか教えて下さい。

    よろしくお願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51818 / ResNo.1) 　Re[1]: y=e^xの法線
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2022/03/06(Sun) 02:06:56)
    グラフの形とか考えずに、交点の座標をy＞e^xに代入すると
    成り立つということを示したいということでしょうか。
    それでしたら、
    2点を(p,e^p),(q,e^q)（p＜q）とすると
    それぞれの法線は
    y=-(x-p)/e^p+e^p と y=-(x-q)/e^q+e^q
    yを消去して整理すると
    x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)
    これをy=-(x-p)/e^p+e^pに代入してy座標を求めると
    y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q
    つまり交点の座標(x,y)は
    (x,y)=(p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q),(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q)
    (q-p)e^p/(e^q-e^p)＞0, e^(p+q)＞0なので
    x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)＜p
    よってe^x＜e^p … (1)
    また(q-p)/(e^q-e^p)＞0, e^q＞0なので
    y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q＞e^p … (2)
    (1)(2)からy＞e^p＞e^xなので、交点はy＞e^xの範囲にある。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51819 / ResNo.2) 　Re[2]: y=e^xの法線
□投稿者/ 指数関数 一般人(2回)-(2022/03/06(Sun) 08:58:21)
    なるほど！！
    ありがとうございます！
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51812 / 親記事) 　辺の和の最小値
□投稿者/ ポメくん 一般人(1回)-(2022/03/04(Fri) 12:34:13)
    四角形ABCDは
    ∠B=∠C<90°
    BC=1
    を満たしている。
    三辺の長さの和
    AB+CD+DA
    の最小値を求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■51814 / ResNo.1) 　Re[1]: 辺の和の最小値
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2022/03/05(Sat) 00:34:50)
    ABとCDの長さを両方とも0に近づけていくと
    DAは1に近づきますので、AB+CD+DAはいくらでも1に近い値をとれますが、
    1にはなれませんので、最小値は存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51815 / ResNo.2) 　Re[2]: 辺の和の最小値
□投稿者/ ポメくん 一般人(2回)-(2022/03/05(Sat) 11:18:19)
    すみません、∠Bと∠CとBCは変えないまま他を変えたときの最小値ということです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51816 / ResNo.3) 　Re[3]: 辺の和の最小値
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2022/03/05(Sat) 14:48:48)
    2022/03/05(Sat) 16:36:19 編集(投稿者)

    そのつもりで回答しました。
    # 最初は違う回答をしましたが少し後で修正しました。
    ∠Bと∠CとBCを変えずに、例えばAB=CD=0.0000000001とすると、
    AはBの近く、DはCの近くになりますのでDA≒1ですが、
    このときAB+CD+DA＞1となり、AB+CD+DAはいくらでも1に近いが1より大きい値をとれます。
    しかし1にはなりませんので、最小値は存在しません。
    もし最小値が存在するなら、問題に何か間違いあるいは条件不足があると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51806 / 親記事) 　条件付き確率
□投稿者/ いなり 一般人(1回)-(2022/02/23(Wed) 14:35:02)
    x^3+ax^2+bx+c=0とx^3+cx^2+dx+a=0のすべての解が自然数である
    という条件の下でb=dとなる確率っていくらになるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51807 / ResNo.1) 　Re[1]: 条件付き確率
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2022/02/24(Thu) 00:30:17)
    2022/02/24(Thu) 00:30:44 編集(投稿者)

    私の計算が間違っていなければ、条件を満たすa,b,c,dの組合せは
    (a,b,c,d)=(-6,12,-8,13),(-7,15,-9,15),(-8,13,-6,12),
    (-8,17,-10,17),(-9,15,-7,15),(-10,17,-8,17)
    の6組ですから、もし「条件を満たす方程式の組が等確率で出現する」
    という条件であれば2/3となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51811 / ResNo.2) 　Re[2]: 条件付き確率
□投稿者/ いなり 一般人(2回)-(2022/03/02(Wed) 16:42:31)
    ありがとうございました。
解決済み!
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■51808 / 親記事) 　最大公約数
□投稿者/ 東工大 一般人(1回)-(2022/02/25(Fri) 14:12:29)
    3つの正の整数a,b,cの最大公約数が1のとき
    a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3
    の最大公約数となる正の整数を全て求めよ。

    この問題を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51809 / ResNo.1) 　Re[1]: 最大公約数
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2022/02/25(Fri) 15:34:20)
    a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
    a^3+b^3+c^3=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}+3abc
    なので
    a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数は
    a+b+c,2(ab+bc+ca),3abcの最大公約数と同じ

    a+b+c=a+(b+c)
    ab+bc+ca=a(b+c)+(bc)だから
    aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数は
    aとb+cとbcの最大公約数と同じ
    もしaとb+cとbcの最大公約数が2以上だとすると、
    aとb+cとbcはいずれもある素因数pで割り切れる。
    bcがpで割り切れるならば、bかcのいずれかはpで割り切れるので
    bがpで割り切れるとする。
    このとき、b+cがpで割り切れることからcもpで割り切れ、
    a,b,cが公約数pを持つことになるので条件に反する。
    よってaとb+cとbcの最大公約数は1なので、
    aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。
    同様に、
    bとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1
    cとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1
    となるから、
    abcとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。
    よってa+b+cと2(ab+bc+ca)と3abcの最大公約数としてあり得るのは
    1,2,3,6。
    (∵a,b,cに偶数が含まれa+b+cが偶数ならすべて2で割り切れ、
    a+b+cとab+bc+caが3の倍数ならばすべて3で割り切れる)
    実際、
    (a,b,c)=(1,1,1)ならば最大公約数は3
    (a,b,c)=(1,1,2)ならば最大公約数は2
    (a,b,c)=(1,1,3)ならば最大公約数は1
    (a,b,c)=(1,1,4)ならば最大公約数は6
    となるので、
    a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数としてあり得るものは
    1,2,3,6。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51810 / ResNo.2) 　Re[2]: 最大公約数
□投稿者/ 東工大 一般人(2回)-(2022/02/25(Fri) 17:55:41)
    ありがとうございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51801 / 親記事) 　角度
□投稿者/ 角 一般人(1回)-(2022/02/22(Tue) 05:39:31)
    角MOPが120度の時の角BAHは何度ですか？点Mは辺BCの中点です。
682×495 => 250×181

1645475971.jpg/25KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■51803 / ResNo.1) 　Re[1]: 角度
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2022/02/22(Tue) 10:49:14)
    図から∠OBC=30°はわかりますが、
    ∠ABO=∠OBCでしょうか？

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■51804 / ResNo.2) 　Re[2]: 角度
□投稿者/ 角 一般人(4回)-(2022/02/22(Tue) 11:41:15)
    返信ありがとうございます！分かりません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51805 / ResNo.3) 　Re[3]: 角度
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2022/02/22(Tue) 14:10:41)
    ∠ABOがわからないのでしたら、∠BAHも定まらないと思います。
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