数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 57]

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■51899 / 親記事)

　三角関数

□投稿者/ 2022 一般人(1回)-(2022/06/25(Sat) 20:15:19)

$2$\large f(x)= {\Large \frac{x}{\sin x}} - {\Large \frac{\pi}{2}} \tan {\Large \frac{x}{2}} -1$

とするとき任意の $2$\large \triangle ABC$ の二つの角 $2$\large A$ と $2$\large B$ に対して

$2$\large f(A+B) > f(A)+f(B)$

であることの証明を教えて下さい。

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■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■51895 / 親記事)

　連続関数と有理数と代数的無理数と超越数

□投稿者/ 福澤一般人(1回)-(2022/06/24(Fri) 22:03:09)

f(x)は実数から実数への連続関数で
任意の有理数xに対してf(x)は有理数、
任意の無理数xに対してf(x)は無理数、
を満たすようなものとします。

このようなf(x)のうち、
少なくとも1つの代数的無理数αに対してf(α)が超越数となる
ようなものの例を何か教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51896 / ResNo.1)

　Re[1]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数

□投稿者/ マシュマロ一般人(18回)-(2022/06/25(Sat) 02:28:45)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

これは面白い問題ですね。
たとえばこんな関数はどうでしょうか。

ｆ（√２）＝ｅとし、ｘ≦０およびｘ≧４ではｆ（ｘ）＝ｘとします。

以下、残りの部分を定義していきます。まず、

①　ｍ／２＾ｋ（ｍ，ｋは非負整数）

の形の数のうち√２を超えない最大のものをＰ（ｋ）とし、
各Ｐ（ｋ）のうち重複するものを除いてｎ番目に小さい数をＡ（ｎ）とおきます。

また①の形の数のうち√２より大きい最小の数をＱ（ｋ）とし、
そのうち重複するものを除いてｎ番目に大きい数をＢ（ｎ）とおきます。

ｅについても同様に、①の形の数のうちｅを超えない最大の数をＲ（ｋ）とし、
そのうち重複するものを除いてｎ番目に小さい数をＣ（ｎ）とおきます。

さらに、①の形の数のうちｅより大きい最小の数をＳ（ｋ）とし、
そのうち重複するものを除いてｎ番目に大きい数をＤ（ｎ）とします。

区間［０，Ａ（１）］においてはｆをｆ（０）＝０，ｆ（Ａ（１））＝Ｃ（１），となる１次関数とし、
［Ａ（１），Ａ（２）］においてはｆ（Ａ（１））＝Ｃ（１），ｆ（Ａ（２））＝Ｃ（２）となる１次関数とします。

以下同様に、［Ａ（ｒ），Ａ（ｒ＋１）］においては
ｆ（Ａ（ｒ））＝Ｃ（ｒ），ｆ（Ａ（ｒ＋１））＝Ｃ（ｒ＋１）となる１次関数として定義していきます。

また区間［Ｂ（１），４］においてはｆ（Ｂ（１））＝Ｄ（１），ｆ（４）＝４となる１次関数とし、
［Ｂ（２），Ｂ（１）］においてはｆ（Ｂ（２））＝Ｄ（２），ｆ（Ｂ（１））＝Ｄ（１）となる１次関数とします。

以下同様に、［Ｂ（ｒ＋１），Ｂ（ｒ）］においては
ｆ（Ｂ（ｒ＋１））＝Ｄ（ｒ＋１），ｆ（Ｂ（ｒ））＝Ｄ（ｒ）となる１次関数として定義していきます。

以上でｆが定義できました。
区分けして定義した各区間においてｆは有理数係数の（定数ではない）１次式になっているので
有理数に対しては有理数，無理数に対しては無理数の値をとります。
しかもｆ（√２）の値ｅは超越数です。

ということで、一応例が示されたのではないかと思います。
以上の内容がご参考になれば幸いです。
ではでは☆

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51898 / ResNo.2)

　Re[2]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数

□投稿者/ 福澤一般人(2回)-(2022/06/25(Sat) 18:35:02)

興味深い構成方法で驚きました。
ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51891 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 教えてください一般人(2回)-(2022/06/22(Wed) 21:36:55)

$2$\large 0<x<1$ において $2$ \Large{ \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x \sqrt{1+x}} > \frac{\pi}{4}}$ であることの証明を教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■51892 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/06/22(Wed) 22:52:10)

証明すべき不等式を(A)とすると
0＜x＜1 (B)
により
(A)⇔(4-πx)√(1+x)-4√(1-x)＞0
⇔{(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)}/{(4-πx)√(1+x)+4√(1-x)}＞0
⇔(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)＞0
⇔(x+1){(πx)^2-8πx+16}+16x-16＞0
⇔(π^2)x^3-8πx^2+32x+(πx)^2-8πx＞0
⇔(π^2)x^2-8πx+32+(π^2)x-8π＞0
⇔(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π＞0 (A)'
ここで
f(x)=(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π
と置くと
f(x)=(π^2){x^2-(8/π-1)x}+32-8π
=(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+32-8π-(4-π/2)^2
=(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+16-4π-(π^2)/4
で
0＜4/π-1/2＜1
ゆえ
f(x)≧16-4π-(π^2)/4＞16-3.2・4-(3.2^2)/4=16-12.8-2.56＞0
∴(A)'は成立するので(A)は成立します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51893 / ResNo.2)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2022/06/22(Wed) 22:57:25)

x=sint（0＜t＜π/2）とすると
{√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}
={(1+x)-√(1-x^2)}/{x(1+x)}
=(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}
f(t)=(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}とおくと
f'(t)=(√2)cos(t+π/4)(sint+1)(cost-1)/{(sint)^2(1+sint)^2}
となるのでf(t)は0＜t＜π/4で減少、π/4＜t＜π/2で増加
すなわち{√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}は
0＜x＜1/√2で減少、1/√2＜x＜1で増加なので
x=1/√2のとき最小値2√2-2をとることがわかる。
49/25＜50/25=2
7/5＜√2
2√2-2＞4/5=0.8
π＜3.2からπ/4＜0.8
従って0＜x＜1で(与式)＞0.8＞π/4

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51894 / ResNo.3)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 教えてください一般人(3回)-(2022/06/24(Fri) 11:03:37)

どちらの方法も理解出来ました。
ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51885 / 親記事)

　数列の極限

□投稿者/ わずか一般人(1回)-(2022/06/18(Sat) 01:09:40)

実数の数列{a[n]}が
na[n+1]=(n+1)a[n]-max{a[n],n^2} (n=1,2,3,‥)
を満たしている
lim[n→∞]a[n]/n^2を求めよ

この問題を教えて下さい

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■51888 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の極限

□投稿者/ そう一般人(1回)-(2022/06/19(Sun) 06:13:33)

既にあなたがその問題を教えてくださっています。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51889 / ResNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

□投稿者/ マシュマロ一般人(16回)-(2022/06/20(Mon) 09:13:07)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

この問題については、次のようなステップで解けそうですね。

①　十分大きなｎに対してa［ｎ］≦ｎ＾２となることを示す。

②　十分大きなｎに対してa［ｎ］＝ｋｎ－ｎ＾２（ｋ：定数）となることを示す。

③　よって極限値は－１になる。

①は、a［ｎ］＞ｎ＾となる間は条件式からa［ｎ＋１］＝a［ｎ］となることと、一旦ｎ＾２以下になったらその後もそうであることを帰納法で示せば導かれます。

②は、①を満たすｎにたいして条件式のｍaｘの項がｎ＾２になり、
a［ｎ＋１］＝（ｎ＋１）／ｎ・a［ｎ］－ｎとなることから計算されます。

各段階で引かれたｎが１段階ごとに（ｎ＋１）／ｎ倍されていくので、
ｎ → ｎ＋１ → ｎ＋２ → ……

となってｒ番目にはｒとなることに注目します。

最初に①の条件が成り立つのがｎ＝ｍのときとし、a［ｍ］＝ｋとすると
ｒ（≧ｍ）に対して

a［ｒ］＝－ｒ（ｒ－ｍ）＋ｋｒ／ｍ

となるので、求める極限値は－１になることがわかります。

ご参考になれば幸いです。
ではでは＾＾

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51890 / ResNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

□投稿者/ マシュマロ一般人(17回)-(2022/06/20(Mon) 09:17:23)
http:///www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

ちょっと修正ですが、②でｋの文字を使ったので、その後に出てくる
a［ｍ］＝ｋのところは別の文字、たとえばｐにしておいた方が
混乱しにくくてよかったですね。
なので、そのように訂正します。
ではでは＾＾

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51886 / 親記事)

　（削除）

□投稿者/ -(2022/06/18(Sat) 11:44:56)

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