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□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2025/04/14(Mon) 23:58:51)
 | 43年前の学習院大学理学部の入試問題です。
「△ABC,△A'B'C'を2つの鋭角三角形とする。このとき,
AB＜A’B', BC＜B'C', CA＜C'A' ならば △ABC＜△A'B'C'
であることを証明せよ。」
の証明の過程として、c＜c',a＜a',b＜b'とするとき,
0＜b^2＋c^2-a^2＜2bc かつ 0＜b'^2＋c'^2-a'^2＜2b'c'
△ABC＝1/4・sqr｛4b^2c^2-(b^2＋c^2-a^2)^2
△A'B'C'=1/4・sqr｛4b'^2c'^2-(b'^2＋c'^2-a'^2)^2｝
とここまで求めたのですが,これから,△ABC＜△A'B'C' であることをどう導いたらいいのか分かりません。ご教授お願いします。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■52820 / ResNo.1) |
Re[1]: 三角形の面積の大小
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□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2025/04/15(Tue) 01:31:10)
| その式からは導けません。
例えば a=b=c=9, a'=b'=10,c'=19 は
a＜a', b＜b', c＜c',
0＜b^2+c^2-a^2＜2bc かつ 0＜b'^2+c'^2-a'^2＜2b'c'
を満たしますが、△ABC＞△A'B'C'です。
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| ■52827 / ResNo.2) |
Re[2]: 三角形の面積の大小
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□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2025/04/25(Fri) 19:17:11)
| らすかる様、ご指摘有り難うございます。
２つの三角形がとも鋭角三角形であることから、0＜b^2＋c^2-a^2＜2bc, 0＜c^2＋a^2-b^2＜2ca, 0＜c^2＋b^2-c^2＜2ac および,a',b',c'についても上と同様の等式 計6つの等式が成立し、これらと a＜a',b＜b', c＜c'の条件から,2つの三角形の面積の大小を示したいのですが、出来ず悩んでいます。
何か, アドバイス頂ければ幸いです。
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| ■52828 / ResNo.3) |
Re[3]: 三角形の面積の大小
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□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2025/04/25(Fri) 19:19:50)
| 文中, 不等式の間違いです。お許し下さい。
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| ■52836 / ResNo.4) |
Re[1]: 三角形の面積の大小
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□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2025/04/28(Mon) 10:04:18)
| 2025/04/29(Tue) 14:33:24 編集(投稿者)
a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, a' = |B'C'|, b' = |C'A'|, c' = |A'B'|と解釈します。
(1)∠A' ≧ ∠Aまたは∠B' ≧ ∠Bの場合
xy座標で、頂点Aと頂点A'を原点に重ねます。
また、頂点Bと頂点B'をx軸上のx > 0の部分に置きます。
頂点の座標は、A(0, 0), B(c, 0), A'(0, 0), B'(c', 0)となります。
また、頂点Cの座標を(u, v)かつv > 0、頂点C'の座標を(u', v')かつv' > 0とします。
|△ABC| = cv/2, |△A'B'C'| = c'v'/2となります。
∠A' ≧ ∠Aであれば、b' > bと合わせて、v' = b'*sin(A') > b*sin(A) = vとなます。
∠B' ≧ ∠Bであれば、a' > aと合わせて、v' = a'*sin(B') > a*sin(B) = vとなます。
c' > cですから、c'v'/2 > cv/2といえます。
(2)∠A' < ∠Aかつ∠B' < ∠Bの場合
∠C' = π-∠A'-∠B' > π-∠A-∠B = ∠Cとなります。
xy座標で、頂点Cと頂点C'を原点に重ねます。
また、頂点Aと頂点A'をx軸上のx > 0の部分に置きます。
頂点の座標は、C(0, 0), A(b, 0), C'(0, 0), A'(b', 0)となります。
また、頂点Bの座標を(p, q)かつq > 0、頂点B'の座標を(p', q')かつq' > 0とします。
|△ABC| = bq/2, |△A'B'C'| = b'q'/2となります。
a' > aかつ∠C' > ∠Cですので、q' = a'*sin(C') > a*sin(C) = qとなます。
b' > bですから、b'q'/2 > bq/2といえます。
以上から、いずれの場合も|△A'B'C'| > |△ABC|といえます。
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