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■47996 / 親記事)  数列の最大項
□投稿者/ まるでお城 一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)
    aを正の数として、数列a[n]を
    a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
    と定めます。
    a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
    のうち最大の項はどれですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47997 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の最大項
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)
    logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

    xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
    f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
    f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
    1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
    1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
    0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

    よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
    n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47995 / 親記事)  財布エピコピー
□投稿者/ 中島静流 一般人(1回)-(2017/05/25(Thu) 10:46:20)
    サイトならばルイ ヴィトンの商品カタログを片手に買い物をむような気持ちで納得して検討することもできてしまいます。
    http://vuittonwallet.gger.jp/cat_ebi.html
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47985 / 親記事)  数列とmod
□投稿者/ トランク大統領 一般人(1回)-(2017/05/22(Mon) 00:03:38)
    a[1]=-4
    a[2]=8
    a[3]=420
    a[n+3]=3a[n+2]-99a[n+1]-31a[n] (n≧1)
    で定められる数列{a[n]}をmod 93で見ると、いずれも0にならない(93の倍数にならない)、
    という性質があります。

    この93という整数はどうやって見つけたらよいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47991 / ResNo.1)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2017/05/22(Mon) 19:52:37)
    別スレで書いた「条件を満たす自然数mは存在しない」の証明と同様に考えれば、
    31a[n]=-99a[n+1]+3a[n+2]-a[n+3]
    と変形したとき、mod mのmが31と互いに素であればある3項からその手前の項が
    一意的に決まり、a[0]=0なのでa[k]≡0(mod m)となる項が存在します。
    従ってa[k]≡0(mod m)となる項が存在しないためには、少なくとも
    mが31と互いに素でない、すなわち31の倍数である必要があります。
    よって31,62,93,…を考えればよいことになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47994 / ResNo.2)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 23:28:59)
    有り難うございます。

    これは問題集にあった問題なのですが、
    解けるように作ってあることがよく分かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47982 / 親記事)  数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(1回)-(2017/05/21(Sun) 20:40:36)
    a[1]=1
    a[2]=-3
    a[3]=6
    a[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n] (n≧1)
    で定められる数列{a[n]}について、次の条件をみたす自然数mは存在するでしょうか?

    条件 どの自然数nに対してもa[n]はmの倍数ではない
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■47986 / ResNo.3)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2017/05/22(Mon) 01:08:33)
    全然答えにはなっていないですが、
    とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47987 / ResNo.4)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(3回)-(2017/05/22(Mon) 01:29:34)
    No47986に返信(らすかるさんの記事)
    > 全然答えにはなっていないですが、
    > とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。
    >

    ひええぇぇ・・・
    この方針では無理そうですね
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47989 / ResNo.5)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(5回)-(2017/05/22(Mon) 03:25:21)
    でも、もし任意の自然数mに対して、ある自然数nが存在して
    a[n]はmの倍数
    となるのなら、それ自体でちょっと面白い問題ですね
    元の問題からは離れてしまいますが…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47990 / ResNo.6)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 19:03:10)
    「条件を満たす自然数mは存在しない」が証明できました。

    mod mで考えた場合、連続する3項の数の組合せは
    有限通り(m^3通り)ですから、必ず一定の周期でループします。
    そしてa[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n]を変形すると
    a[n]=3a[n+1]+3a[n+2]+a[n+3]となり、ある連続する3項から
    必ずその前の項も一意的に決まりますので、
    「先頭のk項(k>0)はループせず、k+1項めからループが始まる」
    ということはあり得ず、先頭からループが始まります。
    従ってa[k]≡a[1],a[k+1]≡a[2],a[k+3]≡a[3](mod m)となるkが
    必ず存在します。
    このとき、a[0]=3a[1]+3a[2]+a[3]=0からa[k-1]≡a[0]≡0(mod m)ですから、
    mの倍数である項a[k-1]が存在します。
    従って条件を満たす自然数mは存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47992 / ResNo.7)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(6回)-(2017/05/22(Mon) 23:22:44)
    2017/05/22(Mon) 23:38:47 編集(投稿者)

    なるほど!
    a[n]の係数1がいやらしい、mが存在しない(≒元の問題が難しくなってる)原因なんですね。

    他の線型回帰数列でも(フィボナッチ数列とか)同様のことが言えるんですね。
    有り難うございます。(って、元の問題がますます手が届かなくなってるのではありますが…)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47988 / 親記事)  2^(1/3)-1
□投稿者/ トランク 一般人(4回)-(2017/05/22(Mon) 02:22:41)
    自然数nに対して整数a[n],b[n],c[n]を
    (2^(1/3)-1)^n=a[n]+b[n]2^(1/3)+c[n]4^(1/3)
    として定めます。

    「n≧2ならばc[n]≠0」
    って正しいでしょうか?

    正しいとすると証明はどうすればよいのでしょうか?

    (他の場所で見かけて)なぜか少し気になりまして…。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]






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