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■48362 / 親記事)  複素数
□投稿者/ りょう 一般人(1回)-(2017/10/21(Sat) 11:43:53)
    次の条件をみたす複素数cは複素平面のどこにあるのでしょうか?
    [条件] 複素数zがz+1/z=cをみたすならば、|z|=1である
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48363 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/10/22(Sun) 01:54:38)
    z=r(cosθ+isinθ), c=a+biとおいて
    z+1/z=cに代入して整理すると
    (r+1/r)cosθ+(r-1/r)isinθ=a+bi
    ∴(r+1/r)cosθ=aかつ(r-1/r)sinθ=b
    (sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使ってsinθ,cosθを消去すると
    {a/(r+1/r)}^2+{b/(r-1/r)}^2=1
    整理して
    r^8-(a^2+b^2)r^6+(2a^2-2b^2-2)r^4-(a^2+b^2)r^2+1=0 … (1)
    問題の条件を満たすためには、
    (1)の実数解が(あれば)r=±1のみでなければならない。
    (1)の左辺は
    (r^2-1)^2・(r^4-(a^2+b^2-2)r^2+1)-4b^2r^4
    と変形でき、b≠0ならばr=0のとき正、r=1のとき負となるので
    0<r<1である実数解を持つ。
    従って実数解がr=±1のみであるためにはb=0でなければならない。
    (1)でb=0として整理すると
    (r^2-1)^2・(r^4-(a^2-2)r^2+1)=0
    (r^2-1)^2=0の解はr=±1なので
    r^4-(a^2-2)r^2+1=0が実数解を持たないか、
    あるいは実数解を持つ場合はr=±1となればよい。
    実数解を持たない条件は
    x^2-(a^2-2)x+1=0が実数解を持たない
    → 判別式D=(a^2-2)^2-4<0 → -2<a<2かつa≠0
    または
    x^2-(a^2-2)x+1=0が負の実数解のみを持つ
    → 軸(a^2-2)/2<0かつ判別式≧0(かつy切片>0) → a=0
    実数解を持つ場合は
    r=±1を代入するとa=±2となり、
    逆にa=±2ならばr=±1なので a=±2
    これらをまとめると -2≦a≦2 となり、
    b=0なので、条件を満たす複素数cは
    -2≦c≦2を満たす実数。

    # もっと簡潔な導き方がありそうな気がします。
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■48367 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ りょう 一般人(2回)-(2017/10/23(Mon) 11:27:27)
    有り難うございます!
解決済み!
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■48372 / ResNo.3)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ Jouk 一般人(1回)-(2017/11/12(Sun) 22:32:03)
    {x+x/(x^2+y^2)==a,(y-y/(x^2+y^2))==b,x^2+y^2==1}
    を解いて c=a+b*i=2 Sqrt[1-y^2]+0*i or c=a+b*i=-2 Sqrt[1-y^2]+0*i

         より   c は -2\[LessFullEqual]c\[LessFullEqual]2を満たす実数。
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■48371 / 親記事)  互いに素
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2017/11/09(Thu) 20:56:57)
    ご教授お願いします。
    「整数a,bについて、
       aとbが互いに素 ⇔ a^m と b^n (m,nは正整数)が互いに素」

    は、整数の素因数分解の一意性より明らか。でしょうか?
    よろしくお願いします。


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■48369 / 親記事)  2階導関数・第2次導関数
□投稿者/ 田中 一般人(1回)-(2017/10/31(Tue) 18:16:29)
    f(x)=³√xとおく。k=1,2,3,4に対し、f(x)の第k階導関数f⁽k⁾(x)をそれぞれ求めよ。
    2階導関数・第2次導関数が分かる方教えてください。
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■48364 / 親記事)  微分
□投稿者/ ただ微分するだけだとは思いますが・・・ 一般人(1回)-(2017/10/22(Sun) 15:12:11)
http://ただ微分するだけだとは思いますが・・・
    4(x^3+y^3-1)+3(xy+1)^2=0

    y''+2xy'-y=0
    を満たしていることを確かめよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48368 / ResNo.1)  Re[1]: 微分
□投稿者/ ただ微分するだけだとは思いますが・・・ 一般人(2回)-(2017/10/23(Mon) 23:28:57)
    やはり計算量が多く困難でしょうか?
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■48365 / 親記事)  数学では循環する定義・公理は許されていますか
□投稿者/ beginner 一般人(1回)-(2017/10/22(Sun) 20:54:58)
    ZFCなどの公理的集合論では公理は述語論理で書かれていますよね
    そして述語論理を構成するには真理値という真と偽の二要素からなる集合が必要なようです
    述語論理を構成するには集合論が必要で集合論を構成するには述語論理が必要で...と鶏と卵どっちが先かみたいな話にはならないのですか
    形式主義ではそのようなことが解決されるのですか
    やはり数学理論を構成するには数学から見て外側の言語(英語などの自然言語や人間の思考規則や文字)が必要なのでしょうか
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48366 / ResNo.1)  Re[1]: 数学では循環する定義・公理は許されていますか
□投稿者/ beginner 一般人(2回)-(2017/10/22(Sun) 21:02:33)
    ごめんなさいこの質問は既に答えがあったようです
解決済み!
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