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■51917 / 親記事)  複素数の極形式表示
□投稿者/ がんばるます 一般人(1回)-(2022/07/03(Sun) 09:23:36)
    z = 8・√(1 - i)を極形式で示したいのですが、全然分かりません、、、。もし可能でしたら途中式を含めた解答をご教授していただけたら幸いです。ちなみに補足でiは虚数単位です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■51910 / 親記事)  複素数
□投稿者/ 仔犬 一般人(1回)-(2022/07/01(Fri) 17:01:03)
    教えて下さい。

    (z-1)(w-1)=|z|=|w|=1
    をみたす複素数z,wを全て求めよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■51913 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/07/01(Fri) 22:29:59)
    以下の方針はオイラーの公式を学習済みという前提ですので
    注意して下さい。

    問題の方程式から
    (z-1)(w-1)=1 (A)
    |z|=|w|=1 (B)
    (B)より
    z=e^(ia) (C)
    (但し0≦a<2π (D))
    w=e^(ib) (E)
    (但し0≦b<2π (F))
    と置くことができます。
    (C)(E)を(A)に代入すると
    e^{i(a+b)}-e^(ia)-e^(ib)=0
    ∴e^(ia)-e^{i(a-b)}=1
    となるので複素数の相等の定義により
    cosa-cos(a-b)=1 (G)
    sin(a-b)=0 (H)
    (D)(F)より
    -2π<a-b<2π
    ∴(H)より
    a-b=0,π,-π
    (i)a-b=0のとき
    (G)より
    cosa=2
    ゆえ題意を満たす(z,w)の組は存在しません。
    (ii)a-b=πのとき
    (G)より
    cosa=0
    ∴(C)より
    a=π/2,3π/2
    となるので(F)より
    (a,b)=(3π/2,π/2)
    ∴(C)(E)から
    z=-i,w=i
    (iii)a-b=-πのとき
    (C)(G)より
    a=π/2,3π/2
    ∴(F)より
    (a,b)=(π/2,3π/2)
    ∴(C)(E)から
    z=i,w=-i

    以上から
    (z,w)=(i,-i),(-i,i)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51914 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2022/07/02(Sat) 01:09:14)
    (z,w)=(i,-i)のとき
    (z-1)(w-1)=(i-1)(-i-1)=2
    になると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51916 / ResNo.3)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2022/07/02(Sat) 09:41:03)
    >>ラスカルさんへ
    ご指摘ありがとうございます。
    >>仔犬さんへ
    ごめんなさい、途中で計算を間違えていました。
    修正を考えましたが、No.51913の方針では
    計算が煩雑になりますので、別の方針で
    アップします。


    問題の方程式から
    (z-1)(w-1)=1 (A)
    |z|=1 (B)
    |w|=1 (C)
    (A)から
    zw-z-w=0
    (z-1)w=z
    ∴w=z/(z-1) (A)'
    これを(C)に代入し、
    |z|/|z-1|=1
    更に(B)を代入して
    |z-1|=1 (C)'
    ここで(B)より
    z=cosθ+isinθ (D)
    (0≦θ<2π)
    と置くことができるので、(C)'は
    (cosθ-1)^2+(sinθ)^2=1
    ∴-2cosθ+2=1
    cosθ=1/2
    ∴θ=π/3,5π/3
    よって(D)より
    z=1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2
    これらを(A)'に代入して
    (z,w)=(1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2),(1/2-i(√3)/2,1/2+i(√3)/2)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51907 / 親記事)  三角形の基本的な性質
□投稿者/ Visschers 一般人(1回)-(2022/06/30(Thu) 15:15:07)
    △ABCは辺の長さがAB>BC、AC>BCを満たしているものとする。
    この△ABCの内部に点Pをとると、
    PA+PB+PC<AB+AC
    であることの証明を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51909 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形の基本的な性質
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2022/06/30(Thu) 22:09:56)
    Pを通りBCに平行な直線とAB,ACとの交点をD,Eとすると
    △ADE∽△ABCなのでAD>DE,AE>DE
    ∠APD≧90°のときAD>APなのでAP+DE<AD+AE
    ∠APD<90°のときAE>APなのでAP+DE<AE+AD
    従っていずれの場合もAP+DE<AD+AE … (1)
    よって
    PA+PB+PC<PA+(BD+DP)+(CE+EP)
    =PA+BD+CE+(DP+EP)
    =PA+BD+CE+DE
    =BD+CE+(AP+DE)
    <BD+CE+(AD+AE) (∵(1)より)
    =(AD+BD)+(AE+CE)
    =AB+AC

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51915 / ResNo.2)  Re[2]: 三角形の基本的な性質
□投稿者/ Visschers 一般人(2回)-(2022/07/02(Sat) 08:42:02)
    なるほど〜!
    こんなに綺麗に示せるんですね。

    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



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■51904 / 親記事)  代数学の問題
□投稿者/ Milo 一般人(1回)-(2022/06/29(Wed) 18:37:30)
    大学数学の代数学の問題です。ご協力お願いしたいです。

    問題T :={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}⊂Zを法10に関する完全代表系として固定する。数字「0」を x ∈ Z とする。
    任意の 0 &#8804; i &#8804; 9 に対して、法 10 に関して x + i と合同な T の元を ai とする.また,ai の法 10 に関す る剰余類を ai ∈ Z/10Zとおく.(Z/10Z)^× を Z/10Z の既約剰余類群とする.
    (1) 各0 &#8804; i &#8804; 9に対して,ai を求めよ.
    (2) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (3) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 5 となる i をすべて求めよ.
    (4) ai ∈ (Z/10Z)^×となる i をすべて求めよ.
    (5) 乗法群 (Z/10Z)^× において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (6) ai が乗法群 (Z/10Z)^× の生成元となるような i をすべて求めよ.
    (答のみでよい.)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51906 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(21回)-(2022/06/30(Thu) 08:00:42)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    数字0をxとするという部分の意味がちょっとわかりにくいのですが、
    同値類の元の一つということなら、10nの形の数ということかもしれません。

    そうだとするとx=10nを足しても剰余類としては変わらないので、
    (1)はai=i(0≦i≦9)ですね。
    また位数1というのは単位元なので、(2)はi=0です。

    位数5は5倍してはじめて10の倍数になる数なので、(3)は0以外の偶数、すなわち2,4,6,8ですね。

    (4)は10と互いに素な数なので1,3,7,9です。

    (5)はそのうちの(乗法に関する)単位元なので1ですね。

    またこの乗法群において1の位数は1,9の位数は2,また3と7の位数は4なので、(6)の答えは位数が4となる3,7になります。

    ということで、ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51903 / 親記事)  上極限・下極限
□投稿者/ りこ 一般人(1回)-(2022/06/29(Wed) 10:52:52)
    こちらの問題がわからず困っています。どなたか教えていただきたいです!
1284×511 => 250×99

IMG_20220629_105150.jpg
/135KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51905 / ResNo.1)  Re[1]: 上極限・下極限
□投稿者/ マシュマロ 一般人(20回)-(2022/06/30(Thu) 07:43:50)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    数列{an}は−2,3/2,−4/3,5/4,−6/5,……

    となるので、たとえば上限については a2だと3/2以降の数の上限、すなわち3/2です。

    同様に考えて(1)はそれぞれ3/2,3/2,(2n+1)/2n,(2n+1)/2nですね。

    下限については、たとえば a3だと−4/3以降の数の下限なので−4/3になります。

    同様に考えて(2)はそれぞれ、−2,−4/3,−(2n+2)/(2n+1),−(2n+2)/(2n+1)です。

    よってn→∞の極限を考えると(3)はそれぞれ1,−1となりますね。

    ということで、ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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