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■50514 / 親記事)  一次結合と一次独立
□投稿者/ かお 一般人(1回)-(2020/09/25(Fri) 19:09:45)
    R^n (r ∈ N) のベクトル {a_1,a_2,...,a_r,a_r+1 }がある。以下の命題 :

    (1)a_1,a_2,...,a_r が一次独立であるならば、a_1,a_2,...,a_r+1 は一次独立である。

    (2)a_1,a_2,...,a_r+1 が一次独立であるならば、a_1,a_2,...,a_r は一次独立である。

    の真偽をそれぞれ判定し、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。


    わからないのでよろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■50513 / 親記事)  証明問題です
□投稿者/ さく 一般人(1回)-(2020/09/25(Fri) 15:35:02)
    こちらの問題が分かりません。分かる方お願いします。
1109×349 => 250×78

1601015702.png
/49KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■50510 / 親記事)  z^5 = -1 を解く
□投稿者/ Megumi 一般人(6回)-(2020/09/25(Fri) 09:42:44)
     z^5 = 1 と同じように解いたのですが、これでいいのでしょうか?
     
      z = r(cosθ+isinθ)    (r、θは実数)

      z^5 = r^5(cosθ+isinθ)^5
        = r^5(cos5θ+isin5θ)
      -1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
     実部と虚部を比較して
      r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π  (n = 0, 1, 2, 3, 4)
     したがって
      r = 1
      θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5
     ゆえに
      z = 1,
      cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5)    重解?
      cos(3π/5) + isin(3π/5) = e^(i3π/5)
      cos(7π/5) + isin(7π/5) = e^(i7π/5)
      cos(9π/5) + isin(9π/5) = e^(i9π/5)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50511 / ResNo.1)  Re[1]: z^5 = -1 を解く
□投稿者/ らすかる 一般人(19回)-(2020/09/25(Fri) 11:20:18)
    >  -1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
    >  実部と虚部を比較して
    >   r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π  (n = 0, 1, 2, 3, 4)

    この部分は
    -1 = |-1|(cos(arg(-1))+isin(arg(-1))) = 1(cos(2n+1)π + isin(2n+1)π)
    ∴r^5=1, 5θ=(2n+1)π
    です。

    >   θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5

    5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。

    >   z = 1,

    突然現れたz=1は誤りです。

    >   cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5)    重解?

    重解ではありません。
    解は
    z=
    cos(π/5) + isin(π/5) = {√5+1+i√(10-2√5)}/4,
    cos(3π/5) + isin(3π/5) = {-√5+1+i√(10+2√5)}/4,
    cos(5π/5) + isin(5π/5) = -1,
    cos(7π/5) + isin(7π/5) = {-√5+1-i√(10+2√5)}/4,
    cos(9π/5) + isin(9π/5) = {√5+1-i√(10-2√5)}/4
    となります。
    もし最初から答えをe^(iπ/5)の形で書きたかったのであれば、
    z^5=-1=e^((2n+1)iπ)
    z=e^((2n+1)iπ/5)
    ∴z=e^(iπ/5),e^(3iπ/5),e^(5iπ/5)=e^(iπ),e^(7iπ/5),e^(9iπ/5)
    とするのが早いですし、そうでなくてもe^(iπ/5)の形を知っているならば
    こちらの答えを先に出した方が(cosとisinを書く手間が減る分)簡単だと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50512 / ResNo.2)  Re[2]: z^5 = -1 を解く
□投稿者/ Megumi 一般人(7回)-(2020/09/25(Fri) 11:36:09)
    > 5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。
     あちゃー、そうですね(^O^)。

     とても参考になりました。感謝です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50506 / 親記事)  空間上の点
□投稿者/ YUASOBI 一般人(1回)-(2020/09/23(Wed) 01:28:45)
    xyz座標空間上に原点O(0,0,0)と3点A,B,Cがあり、
    Aはyz平面にあり、
    線分OA,OB,OCの長さは全て等しく、
    OAとOB、OBとOC、OCとOAは全て直交し、
    A,B,Cのz座標がそれぞれ1,2,4であるとき、
    A,B,Cの座標を求めたいです。
    教えて下さい。お願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50508 / ResNo.1)  Re[1]: 空間上の点
□投稿者/ らすかる 一般人(18回)-(2020/09/23(Wed) 03:14:36)
    P(0,0,t),Q(0,t,0),R(t,0,0)(t>0)とすると
    それぞれの点から平面x+ay+bz=0までの距離は
    |bt|/√(a^2+b^2+1), |at|/√(a^2+b^2+1), |t|/√(a^2+b^2+1)だから
    これが1,2,4になるためにはb=1/4,a=1/2,t=√21
    つまりP(0,0,√21),Q(0,√21,0),R(√21,0,0)から
    4x+2y+z=0までの距離が順に1,2,4。
    x'=(x-2y)/√5, y'=(2x+y)/√5, z'=zとおいて回転すると
    P'(0,0,√21),Q'(-2√105/5,√105/5,0),R'(√105/5,2√105/5,0),
    平面は(2√5)y'+z'=0
    x''=x, y''={y'-(2√5)z'}/√21, z''={(2√5)y'+z'}/√21とおいて回転すると
    P''(0,-2√5,1),Q''(-2√105/5,√5/5,2),R''(√105/5,2√5/5,4),
    平面はz''=0
    よって、このP'',Q'',R''をA,B,Cとすれば条件を満たす。
    またyz平面に関する対称移動やzx平面に関する対称移動を行っても条件を満たすので、
    解は全部で4通りあり、具体的には
    A(0,-2√5,1),B(干2√105/5,√5/5,2),C(±√105/5,2√5/5,4)(複合同順)と
    A(0,2√5,1),B(干2√105/5,-√5/5,2),C(±√105/5,-2√5/5,4)(複合同順)。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50509 / ResNo.2)  Re[2]: 空間上の点
□投稿者/ YUASOBI 一般人(2回)-(2020/09/23(Wed) 09:37:39)
    ありがとうございました!!
    とても助かりました(*´∇`*)
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50499 / 親記事)  複素関数の部分分数分解
□投稿者/ Megumi 一般人(3回)-(2020/09/20(Sun) 13:09:52)
     実感数では
      1/(1-t^2)^2 = a/(1-t) + b/(1-t)^2 + c/(1+t) + d/(1+t)^2.

      1 = a(1-t)(1+t)^2 + b(1+t)^2 + c(1-t)^2(1+t) + d(1-t)^2
       = a(1+t-t^2-t^3) + b(1+2t+t^2) + c(1-t-t^2+t^3) + d(1-2t+t^2)
       = a + b + c + d + (a+2b-c-2d)t + (-a+b-c+d)t^2 + (-a+c)t^3.
      a + b + c + d = 1.
      a + 2b - c - 2d = 0.
      - a + b - c + d = 0.
      -a + c = 0.
      ∴a = b = c = d = 1/4.

     これにならって
      1/(z^2+1) = 1/(z+√2i)(z-√2i) = α/(z+√2i) + β(z-√2i)
      1 = α(z-√2i) + β(z+√2i)
       = αz + βz - α√2i + β√2i
       = z(α+β) - √2i(α-β)
      α+β = 0
      α-β = -1/√2i
      2α = 1/√2i.  α = 1/2√2i.  β = -1/2√2i
      ∴α/(z+√2i) + β(z-√2i) = 1/2√2i( 1/(z+√2i) - 1/(z-√2i) )
    とやったのですが、これでいいのでしょうか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50501 / ResNo.1)  Re[1]: 複素関数の部分分数分解
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2020/09/20(Sun) 20:06:43)
    (z+(√2)i)(z-(√2)i)=z^2+2≠z^2+1ですから先頭行が正しくありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50502 / ResNo.2)  Re[2]: 複素関数の部分分数分解
□投稿者/ Megumi 一般人(4回)-(2020/09/20(Sun) 22:18:15)
    回答ありがとうございます。
    1/(z^2+2)の分解でした。お騒がせしました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50503 / ResNo.3)  Re[3]: 複素関数の部分分数分解
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2020/09/21(Mon) 00:10:58)
    それでしたらα-β=-1/{(√2)i}までは正しいですが、
    次の2α=1/{(√2)i}が間違っています。
    正しくは2α=-1/{(√2)i}です。
    符号が逆ですので、最後の式を計算すると-1/(z^2+1)になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50504 / ResNo.4)  Re[4]: 複素関数の部分分数分解
□投稿者/ Megumi 一般人(5回)-(2020/09/21(Mon) 05:21:31)
    重ね重ねありがとうございます。その通りでした。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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