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■52424 / 親記事)  微分可能な点を求める問題
□投稿者/ むぎ 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 17:11:19)
    この問題の解法を教えていただきたいです。微分可能かの問題です
2075×790 => 250×95

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/142KB
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■52430 / ResNo.1)  Re[1]: 微分可能な点を求める問題
□投稿者/ WIZ 一般人(16回)-(2023/12/31(Sun) 00:44:44)
    Qは有理数体、Rは実数体と解釈して回答します。
    バックスラッシュは環境依存文字らしいので、差集合はR-Qと表記します。

    関数f(x)の定義は
    x ∈ Qならば、f(x) = (x-2)^2
    x ∈ R-Qならば、f(x) = 0
    となります。

    微分可能である点は連続でなければなりません。

    x = aでf(x)が連続であるためには、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|f(x)-f(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    しかし、a ∈ Qかつa ≠ 2で、f(a) = (a-2)^2 > εとなるεに対して、
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(a)| = |f(a)| ≧ εとなり、
    x ≠ 2でf(x)は連続ではなく微分可能でもないと言えます。

    a = 2のときは、x ∈ R-Qのときはεとδの値に関わらず、
    |f(x)-f(a)| = 0 < εとなります。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = (x-2)^2 = |x-2|^2 < εとする為に、
    δ < √εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は連続と言えます。

    微分可能性は、x = aでf'(a)が存在すると仮定すると、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    a = 2の場合、f'(2)が存在すると仮定すると、
    f'(2) = lim[h→0]{(f(2+h)-f(2))/h}
    h ∈ Qならば、lim[h→0]{(h^2)/h} = 0
    h ∈ R-Qならば、lim[h→0]{0/h} = 0
    となり、f'(2) = 0であることが必要です。

    f'(2) = 0と仮定します。
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(2)| = 0ですので、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = 0 < εが成り立ちます。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = |x-2|^2より、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = |x-2| < εより、δ < εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は微分可能と言えます。

    # トマエ関数で検索すると参考になる情報が見られます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52423 / 親記事)  極限の問題2
□投稿者/ むぎ 一般人(2回)-(2023/12/30(Sat) 17:08:57)
    この問題の解法を教えていただきたいです
1907×860 => 250×112

S__137854994_0.jpg
/125KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52427 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の問題2
□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2023/12/30(Sat) 17:33:48)
    2023/12/30(Sat) 22:36:53 編集(投稿者)

    πを以下の様な無限級数と考えます。
    π = 3.1415・・・
    = 3+1/10+4/(10^2)+1/(10^3)+5/(10^4)+・・・

    ここでπを10進小数で表した時の各桁の数字を数列と見なし、
    a[0] = 3, a[1] = 1, a[2] = 4, a[3] = 1, a[4] = 5, ・・・
    とすれば、
    π = Σ[k=0,∞]{a[k]/(10^k)} = Σ[k=0,∞]{a[k](10^(-k))}
    と表せます。

    lim[n→∞]{[(10^n)π]/(10^n)}
    = lim[n→∞]{[(10^n)Σ[k=0,∞]{a[k](10^(-k))}]/(10^n)}
    = lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}

    ガウスの記号の中の小数部分、つまり正で1未満となる部分は無視できますから、
    # 厳密には、lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}において、
    # k > nの部分の和は、
    # Σ[k=n+1,∞]{a[k](10^(n-k))} < Σ[k=1,∞]{9*(10^(-k))} = 9*(1/10)/(1-(1/10)) = 1
    # なので、ガウスの記号内のΣ[k=n+1,∞]{a[k](10^(n-k))}の値は無視できるということです。

    lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}
    = lim[n→∞]{(Σ[k=0,n]{a[k](10^(n-k))})/(10^n)}
    = lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{a[k](10^(-k))}}
    = π
    となります。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52421 / 親記事)  極限の問題
□投稿者/ むぎ 一般人(1回)-(2023/12/30(Sat) 17:03:21)
    写真の問題の解き方を教えていただきたいです。
1668×982 => 250×147

1703923401.jpg
/158KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52425 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の問題
□投稿者/ むぎ 一般人(6回)-(2023/12/30(Sat) 17:20:29)
    こちらの問題は間違っていました失礼しました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52416 / 親記事)  複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)
    α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
    直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52419 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)
    2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

    条件から
    d[k]=|(1+α^k)/2|
    ∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
    d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
    =(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
    =(1/4){2+α^k+\(α^k)}
    更にθ=2π/11と置くと
    d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
    ={cos(kθ/2)}^2
    ここでk=1,2,3,4,5より
    kθ/2<π/2
    ∴d[k]=cos(kθ/2)
    となるので
    e^(iθ/2)=β
    と置くと
    β^11=-1
    d[k]=(β^k+1/β^k)/2
    よって
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1〜5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
    =(1/2)Σ[k=1〜5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
    =(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
    =(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
    =(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
    =(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
    =1/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52434 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)
    ありがとうございました!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52415 / 親記事)  三角形
□投稿者/ バイアス 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:47:35)
    △OABにおいて角Oの大きさをθラジアンとする。
    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)
    が成り立つことを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52420 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 07:59:07)
    2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)

    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理
    ⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A)
    ∴(A)を証明します。

    ((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB)
    =2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2
    ((∵)和積の公式と半角の公式)
    =2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}
    =2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B)
    ここで
    0<A<π,0<B<π,0<θ<π (P)
    A+B+θ=π (Q)

    0<A+B<π
    なので
    sin(A+B)>0 (C)
    更に(P)(Q)より
    0<(A+B)/2<π/2
    -π/2<(A-B)/2<π/2
    又、
    (A+B)/2=(A-B)/2=0
    とはなりえないので
    cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}<1 (D)
    (C)(D)より
    (B)>0
    よって(A)は成立します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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