数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 39]

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■記事リスト / ▼下のスレッド

■48824 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 虚言症一般人(1回)-(2018/09/21(Fri) 08:33:32)

$2$0 < x < 2 \pi$ において
$2$ ( \pi -x) \sin x - 2 \cos x \, \log \left( 2 \sin \frac{x}{2} \right) \ge 1$
が成り立つことの証明を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48838 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2018/09/23(Sun) 14:22:56)

与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0＜x≦πに関して示せば十分。

0＜x≦π/2のとき
sinx＞x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
cosx＜1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
2sin(x/2)＜xから
log(2sin(x/2))＜logx＜(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
=(2x^3-9x^2+18x-11)/6
なので
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
＞(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
=(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
=(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
＞1　（ただしt=5-3x＞0）

π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
=ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
=ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
siny＞y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
cosy＞1-y^2/2=(-y^2+2)/2
2cos(y/2)＞(16-3y)/8から
log(2cos(y/2))＞log((16-3y)/8)＞(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
=(-9y^2+64)/128
なので
ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
＞y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
=(-37y^4+138y^2+384)/384
=y^2(138-37y^2)/384+1
≧1

∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48839 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 虚言症一般人(2回)-(2018/09/24(Mon) 22:50:11)

有り難うございます。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■48814 / 親記事)

　複素級数のコーシー積

□投稿者/ Make 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 18:30:48)

複素級数のコーシー積の絶対収束性（写真の上の問い）を証明したのですが、これで正しいでしょうか？

解答は、次のコメントで添付します。

1700×2338 => 182×250

1537003848.jpg/147KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■48816 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素級数のコーシー積

□投稿者/ めぇぷる一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 22:17:29)

正しいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48817 / ResNo.3)

　Re[3]: 複素級数のコーシー積

□投稿者/ Make 一般人(4回)-(2018/09/15(Sat) 22:34:01)

ありがとうございます！

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48818 / ResNo.4)

　Re[3]: 複素級数のコーシー積

□投稿者/ Make 一般人(5回)-(2018/09/15(Sat) 22:53:34)

すみません。もう一つだけ確認したいことがございます。

証明の中で、以下の画像のように極限の収束先の方が値が大きいという不等式を使いましたが、Σ[k=0,n](α_k)は正項級数でかつΣ[n=0,∞](α_n)が絶対収束の級数であるということから明らかに成り立つとしても良いのでしょうか？

1152×648 => 250×140

1537019614.png/42KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48820 / ResNo.5)

　Re[4]: 複素級数のコーシー積

□投稿者/ めぇぷる一般人(2回)-(2018/09/16(Sun) 05:58:18)

良いでしょう。問題ないです。

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■48821 / ResNo.6)

　Re[5]: 複素級数のコーシー積

□投稿者/ Make 一般人(6回)-(2018/09/16(Sun) 08:09:38)

ありがとうございます！

これで理解できました！

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-6]

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■48813 / 親記事)

　統計学

□投稿者/ GGG 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 17:33:00)

統計学の問題です

正規分布に従う母集団の平均が90であるとわかっている。この母集団のうち特定のグループから標本を１０個取り出したとき、この標本の平均は88.5、分散が2.5であった。
このグループAの平均は母集団の平均と差があると言えるか。有意水準0.05で検定したい。

この問題で棄却域を求める方法は以下の通りで正しいのでしょうか？？

t検定を行う。
自由度9であり、標本平均 X、不変分散 U^2、統計量 t 母平均 μとおくと

棄却域は
|t|>t(0.025)*(n-1)
となり

|(X-μ)/(√(U^2/n)| > t(0.025)*(n-1)

|(X-90)/(√(25/90))| > 2.262*9

20.358 < 3√10(X-90)/5 , 3√10(X-90)/5 < -20.358

10.737 < X -90 , X-90 < -10.737

100.737 < X , X < 79.263

これが棄却域となり、標本の平均は88.5であり、棄却域には含まれず有意な差があるとは言えない。

この解法で正しいのでしょうか？
統計学が難しくてなかなか理解できません。
統計学に精通されている方、どうかご教授ください。
よろしくお願い致します。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48819 / ResNo.1)

　Re[1]: 統計学

□投稿者/ 黄桃一般人(1回)-(2018/09/16(Sun) 03:35:33)

マルチポストしすぎでしょう。

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■48808 / 親記事)

　確率

□投稿者/ 感謝一般人(4回)-(2018/09/12(Wed) 18:20:41)

表が出やすいコインが何枚かある。
これらを一斉に投げるとき、
表が出るコインの枚数が
裏が出るコインの枚数以上になる確率が、
コインの表が出る確率以上になることは
当たり前のことでしょうか？
それとも証明すべきことなのでしょうか？

もし証明がいることなら、その証明を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48809 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ らすかる一般人(14回)-(2018/09/13(Thu) 08:26:07)

証明すべきことだと思います。

コインの枚数をn枚、表が出る確率をp（1/2＜p＜1）、
表が出るコインの枚数の方が裏が出るコインの枚数より多い確率をq、
表が出るコインがk枚になる確率をa[k]とすると
a[k]=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)
またp＞1/2から
2p＞1
p＞1-p
∴p/(1-p)＞1

n=2m+1（m≧1）のとき
a[2m+1]/a[0]={p/(1-p)}^(2m+1) から a[2m+1]＞a[0]・{p/(1-p)}^n＞a[0]{p/(1-p)}
同様に
a[2m]/a[1]={p/(1-p)}^(2m-1) から a[2m]＞a[1]{p/(1-p)}
a[2m-1]/a[2]={p/(1-p)}^(2m-3) から a[2m-1]＞a[2]{p/(1-p)}
以下同様に
a[2m-2]＞a[3]{p/(1-p)}
a[2m-3]＞a[4]{p/(1-p)}
・・・
a[m+2]＞a[m-1]{p/(1-p)}
a[m+1]＝a[m]{p/(1-p)}　（※ここだけ{p/(1-p)}^1なので等号）
なので
q=Σ[k=m+1～2m+1]a[k]＞Σ[k=0～m]a[k]{p/(1-p)}=(1-q){p/(1-p)}
q＞(1-q){p/(1-p)}
q(1-p)＞(1-q)p
q-pq＞p-pq
∴q＞p

n=2m（m≧1）のときは上記のようにするとa[m]だけ余ることに注意して
q=Σ[k=m～2m]a[k]=a[m]+Σ[k=m+1～2m]a[k]
＞a[m]+Σ[k=0～m-1]a[k]{p/(1-p)}=a[m]+(1-q){p/(1-p)}＞(1-q){p/(1-p)}
から同様にq＞p

n=1のときはq=p

従って表が出るコインの枚数が裏が出るコインの枚数以上になる確率は、
コインの表が出る確率以上。

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■48812 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ 感謝一般人(5回)-(2018/09/14(Fri) 20:28:35)

当たり前のように思っていましたが、
証明はなかなか工夫がいるのですね。
有り難うございました。

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■48804 / 親記事)

　確率

□投稿者/ 教えて下さい一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 22:52:39)

n個のくじ箱が並べてあり、どの箱にもn本のくじが入っている。
左からk番目の箱にはk本の当りくじが入っている。(k=1,2,…,n)
これらn個のくじ箱から無作為に1つの箱を選び1本くじを引き、
それを箱に戻しもう一度引いて、少なくとも1本当りを引く確率と
n個のくじ箱から無作為に2つの箱を選んで1本ずつくじを引き
少なくとも1本当りを引く確率ではどちらが大きいか。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48805 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2018/09/12(Wed) 00:02:58)

前者は
1-{Σ[k=1～n-1](1/n)(k/n)}^2=1-{(n-1)/(2n)}^2=(n+1)(3n-1)/(4n^2)=a
同じ箱から2回引くことにすると
Σ[k=0～n-1](1/n){1-(k/n)^2}=(n+1)(4n-1)/(6n^2)=b
(後者)=cとすると
((n-1)/n)c+(1/n)b=aから
c=(na-b)/(n-1)=(n+1)(9n-2)/(12n^2)
そして
c-a=(n+1)/(12n^2)＞0なので
後者の方が大きい。

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