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■47129 / 親記事)  格子点
□投稿者/ Z 一般人(7回)-(2015/04/23(Thu) 00:16:50)
    16 x^5 + 4 x^3 y^2 - 128 x^4 z - 144 x^2 y^2 z - 27 y^4 z + 256 x^3 z^2=0
             の整数解をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47125 / 親記事)  格子点
□投稿者/ Z 一般人(6回)-(2015/04/22(Wed) 15:22:50)
    -x^3 z-3 x y^2 z+y^4-y^2 z^2=0 の 整数解をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47126 / ResNo.1)  Re[1]: 格子点
□投稿者/ みずき 付き人(68回)-(2015/04/22(Wed) 20:31:35)
    -x^3z-3xy^2z+y^4-y^2z^2=0

    x=0のときy^2(y-z)(y+z)=0により、y=0またはy=±z

    以下x≠0として両辺をx^4で割り、y/x=s,z/x=tとおくと
    -t-3s^2t+s^4-s^2t^2=0⇔s^2t^2+(3s^2+1)t-s^4=0(・・・★)

    s=0のときはt=0

    以下s≠0と仮定して、★をtについて解くと
    t={-3s^2-1±(s^2+1)√(4s^2+1)}/(2s^2)
    tが有理数であるためには、4s^2+1が有理数の2乗であることが必要。
    s=q/p(p,qは整数でpは正)とおくと
    4s^2+1=4(q/p)^2+1=(4q^2+1)/(p^2)
    だから、4q^2+1が平方数であることが必要。
    4q^2+1が平方数になるのはq=0のときだけであることが知られているので
    s=0を導くが、これは矛盾。

    以上により、格子点は以下で全てです。ただし、kを任意の整数とします。
    (x,y,z)=(0,0,k),(0,k,k),(0,k,-k),(k,0,0)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47127 / ResNo.2)  Re[1]: 格子点
□投稿者/ WIZ 付き人(53回)-(2015/04/22(Wed) 23:46:29)
    みずきさんへ

    > 4s^2+1=4(q/p)^2+1=(4q^2+1)/(p^2)

    計算間違いしてませんか?
    4(q/p)^2+1 = (4q^2+p^2)/(p^2)
    ですよね?

    4q^2+p^2が平方数になるのは、q ≠ 0の場合もあると思います。
    q = 2, p = 3とか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47128 / ResNo.3)  Re[2]: 格子点
□投稿者/ みずき 付き人(69回)-(2015/04/23(Thu) 00:02:17)
    >>WIZさん

    おっしゃる通りですね。ご指摘ありがとうございます。

    >>Zさん

    失礼しました。私の47126の回答は無視してください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47123 / 親記事)  格子点
□投稿者/ Z 一般人(5回)-(2015/04/22(Wed) 01:13:57)
    x^2-8 y^2-8 y=0の整数解をお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47124 / ResNo.1)  Re[1]: 格子点
□投稿者/ みずき 付き人(67回)-(2015/04/22(Wed) 05:18:17)
    x^2=8y^2+8y
    xは偶数なのでx=2aとおけて
    (2a)^2=8y^2+8y⇔a^2=2y^2+2y
    aは偶数なのでa=2bとおけて
    (2b)^2=2y^2+2y⇔y^2+y-2b^2=0
    (判別式)=1-4(-2b^2)=c^2⇔c^2-8b^2=1
    となる整数の組(b,c)を考えれば良い。
    これはペル方程式です。(以下略)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47119 / 親記事)  不定
□投稿者/ Z 一般人(4回)-(2015/04/18(Sat) 23:50:52)
    -8 x^3 + 32 x^5 + 16 x^6 - 27 y^2 + 120 x^2 y^2 + 72 x^3 y^2 +
    16 x^4 y^2 + 54 y^4 + 192 x y^4 + 72 x^2 y^4 + 37 y^6=0
    の整数解をおねがいします.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47116 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2015/04/18(Sat) 12:42:33)
    4 x^4+16 x^3 y+8 x^2 y^2+33 x^2-16 x y^3+66 x y+4 y^4-33 y^2+8=0
    の整数解をお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47117 / ResNo.1)  Re[1]: 整数解
□投稿者/ みずき 付き人(66回)-(2015/04/18(Sat) 19:33:42)
    (4x^2+8xy-4y^2+1)(x^2+2xy-y^2+8)=0

    4x^2+8xy-4y^2+1=0⇔4(x^2+2xy-y^2)=-1
    左辺は4の倍数だが右辺は4の倍数でないので、
    これを満たす整数の組(x,y)は存在しません。

    x^2+2xy-y^2+8=0⇔(x+y)^2-2y^2=-8
    x+yは偶数なのでx+y=2aとおけて
    (2a)^2-2y^2=-8⇔2a^2-y^2=-4
    yは偶数なのでy=2bとおけて
    2a^2-(2b)^2=-4⇔a^2-2b^2=-2
    aは偶数なのでa=2cとおけて
    (2c)^2-2b^2=-2⇔2c^2-b^2=-1⇔b^2-2c^2=1
    これはペル方程式です。(以下略)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47118 / ResNo.2)  Re[2]: 整数解
□投稿者/ Z 一般人(3回)-(2015/04/18(Sat) 22:10:00)
    ありがとうございます
解決済み!
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