| ■50471 / ResNo.1) |
Re[1]: cosの不等式
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□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2020/08/23(Sun) 13:55:27)
 | f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。
f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、
f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、
0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)＞1を言えば十分。
また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり
f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、
π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)＞1を言えば十分。
この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0,
π/4≦x＜3π/8でh(x)＜0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから
f(x)+g(x)+h(x)は
π/4≦x＜3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x
3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x
cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから
π/4≦x＜3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
π/4≦x＜3π/8の場合
cosxはπ/4≦x＜3π/8で減少関数であり
cos(π/4)=√2/2＜3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2＞3/8なので3/8＜t＜3/4
このとき
f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
=(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512＞1
3π/8≦x≦π/2の場合
cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり
cos(3π/8)=√(2-√2)/2＜2/5, cos(π/2)=0なので0≦t＜2/5
このとき
f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
=8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625＞1
従ってf(x)+g(x)+h(x)＞1は常に成り立つ。
# もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。
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積分不等式(1)