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■52372 / 親記事)  速度
□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2023/11/03(Fri) 09:56:29)
    よろしくお願いいたします。
    問題
     表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合で増加している球がある。半径が10cmになった瞬間において、次のものを求めよ。
    (1)半径の増加する速度

    表面積の増加を始めてt秒後の球の半径をrcm, 表面積をScm^2とする。

    dS/dt=4πと解答に書いてあるのですが、dS/dtがなぜ4πになるのかわかりません。基本的なことだとは思うのですがよろしくお願いします。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52373 / ResNo.1)  Re[1]: 速度
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2023/11/03(Fri) 12:50:57)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    「s」は「秒」の意味と解釈します。

    「表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合」を数式で表すと「dS/dt = 4π」となります。
    dS/dtは時間tに対する表面積Sの変化率を表しているからです。
    勿論、表面積Sの単位は「cm^2」で、時間tの単位は「「s(秒)」です。

    以下余談

    半径をr[cm]とすると、表面積はS = 4πr^2[cm^2]ですから、
    4π = dS/dt = (dS/dr)(dr/dt) = ((d/dt)4πr^2)(dr/dt) = (8πr)(dr/dt)
    ⇒ dr/dt = 4π/(8πr) = 1/(2r)

    よって、r = 10[cm]の時の半径の増加速度はdr/dt = 1/(2*10) = 1/20[cm/s]
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52374 / ResNo.2)  Re[2]: 速度
□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2023/11/03(Fri) 17:45:02)
    ありがとうございました。
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■52368 / 親記事)  i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(1回)-(2023/10/23(Mon) 22:19:11)
    オイラーの公式によりi=e^(iπ/2)だから、
    i^i=(e^(iπ/2))^i=e^((iπ/2)*i)=e^(-π/2)だと思います。

    一方、指数法則よりa≠0に対して(a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bなので、
    a=e,c=0とすると、(e^b)^0=e^(b*0)=(e^0)^bですが、
    (e^b)^0=1かつe^(b*0)=e^0=1なので(e^0)^b=1^b=1だと思います。
    上記を使うと(i^i)^4=(i^4)^i=1^i=1となるので、
    i^iは1の4乗根の±1か±iのどれかということになり、
    e^(-π/2)に一致しません。

    どこが間違っているのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52369 / ResNo.1)  Re[1]: i^iについて
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2023/10/23(Mon) 23:25:39)
    (a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bという指数法則は
    ・aが0以外の実数かつbとcが整数
    ・a>0かつbとcが実数
    のときは成り立ちますが、それ以外の時は一般に成り立ちません。
    (つまり虚数には使えません。)

    i^i=e^(-π/2)も違います。
    i^i=e^(ilogi)=e^{i(log|i|+iargi)}=e^{i(i(π/2+2nπ))}=e^(-π/2-2nπ)
    のように多価になります。

    1^i=1も違います。
    1^i=e^(ilog1)=e^{i(log|1|+iarg1)}=e^{i(i(2nπ)}=e^(-2nπ)
    のように、これも多価になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52370 / ResNo.2)  Re[1]: i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(2回)-(2023/10/23(Mon) 23:45:55)
    指数関数は周期2πiを持ち、対数関数は複素数では多価関数となるのを忘れていました。
    回答ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52357 / 親記事)  複素数平面
□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2023/10/12(Thu) 13:05:25)
    すみません。問題と質問内容はファイルにしました。よろしくお願いいたします。
745×1053 => 177×250

1697083525.jpg
/116KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■52359 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数平面
□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2023/10/12(Thu) 18:31:48)
    ありがとうございます。確かに教科書にそう書いてありました。
    この方法でやることはこの問題では無理なのでしょうか?
    もし添付ファイルの解き方で解けるのであれば教えていただきたいです。
    どうしてもこの形だと両辺を2乗したくなります。
    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52360 / ResNo.3)  Re[3]: 複素数平面
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2023/10/13(Fri) 00:14:27)
    普通にzに関する二次方程式
    (√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
    を解の公式で解けばよいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52361 / ResNo.4)  Re[4]: 複素数平面
□投稿者/ waka 一般人(3回)-(2023/10/13(Fri) 08:54:33)
    ありがとうございました。解けました。
    念のため確認なのですが、解の公式で係数が虚数のときでも、zに関する2次方程式の時には解の公式が使えるという認識でよろしいでしょうか。係数が虚数の時は使えないという問題があったと思うのですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52362 / ResNo.5)  Re[5]: 複素数平面
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2023/10/13(Fri) 09:04:47)
    解の公式は
    ax^2+bx+c=0
    a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c=0
    a(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a)
    (x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
    x+b/(2a)=±√(b^2-4ac)/(2a)
    x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
    というただの式変形ですから、虚数でも問題なく使えます。
    √の中身が虚数になる場合は展開する必要がありますが、
    今回の問題では(負の)実数ですのでそのような問題もありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52363 / ResNo.6)  Re[3]: 複素数平面
□投稿者/ パン 一般人(1回)-(2023/10/13(Fri) 09:45:32)
    (√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
    (√3+i)z^2-(√3+i)(√3-i)z+(√3+i)(√3-i)^2=0
    z^2-(√3-i)z+(√3-i)^2=0
    z^2+(i-√3)z+(i-√3)^2=0
    z^3-(i-√3)^3=0
    z^3=(i-√3)^3
    z=(i-√3)ωと(i-√3)ω^2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52356 / 親記事)  (x+1)^n-x^n
□投稿者/ plan:D 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 20:20:47)
    nは3以上の奇数で、pはnを割り切る素数のうち最小のものとする。
    このとき、任意の整数xに対して(x+1)^n-x^nはpで割り切れない、
    というのは正しいでしょうか?
    反例か証明を教えてほしいです。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52366 / ResNo.1)  Re[1]: (x+1)^n-x^n
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2023/10/14(Sat) 22:36:21)
    # 証明できたような気がしますが、あまり自信がないので識者の方のツッコミをお願いします。

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    素数pは正の整数とします。

    x ≡ 0 (mod p)または、x+1 ≡ 0 (mod p)つまりx ≡ -1 (mod p)の場合、
    (x+1)^n-x^nがpで割り切れないことは容易に分かるので、
    以下でxは法pで0にも-1にも合同でない整数とします。

    xの法pで(剰余体Z/pZで)の逆元をyとします。つまりxy ≡ 1 (mod p)です。
    xは法pで0に合同ではないので、このようなyは必ず存在し、剰余類としては唯一に定まります。
    また、yも法pで0に合同ではありません。
    更に、xは法pで-1に合同ではないのと、-1の逆元は-1であることから、yは-1に合同ではありません。
    # 合同でない2つの剰余類の逆元同志も合同にはならない為。

    (x+1)^n-x^n = rとおくと、
    ⇒ (y(x+1))^n-(yx)^n ≡ (y^n)r (mod p)
    ⇒ (1+y)^n-1 ≡ (y^n)r (mod p)
    つまり、r ≡ 0 (mod p)であることと、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは同値です。

    yは法pで0にも-1にも合同ではないので、1+yは法pで1にも0にも合同ではありません。
    よって、1 < m ≦ p-1である自然数mが存在して、(1+y)^m ≡ 1 (mod p)となります。
    尚、mは(1+y)^m ≡ 1 (mod p)を満たす最小の自然数とします。
    # 上記はフェルマーの小定理の応用で、mはp-1の約数となります。

    (1+y)^n ≡ 1 (mod p)であるためにはnがmの倍数であることが必要です。
    しかし、nの最小因数がpであり、1 < m < pであるため、nはmで割り切れません。

    以上から、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは不可能であり、
    (x+1)^n-x^n = r ≡ 0 (mod p)であることも不可能と言えます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52355 / 親記事)  定積分
□投稿者/ cysteine 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 19:36:08)
    ∫[0→π] (√sinθ) sin(θ/2) dθ
    の求め方をご教示下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52365 / ResNo.1)  Re[1]: 定積分
□投稿者/ X 一般人(10回)-(2023/10/13(Fri) 19:15:19)
    ガリガリ解くと以下の通りです。
    (お勧めはできませんが。)

    tan(θ/2)=t
    と置くと、
    θ:0→π

    t:0→∞
    が対応し、
    sinθ=2t/(1+t^2)
    sin(θ/2)=t/√(1+t^2)
    dθ=2dt/(1+t^2)
    ∴(与式)=2√2∫[t:0→∞]{(t√t)/(1+t^2)^2}dt
    更に
    √t=u
    と置くと
    t=u^2
    dt=2udu

    (与式)=4√2∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
    =4√2{∫[u:0→∞]du/(1+u^4)-∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2} (A)
    ここで
    I=∫[u:0→∞]du/(1+u^4) (B)
    とすると
    I=[u/(1+u^4)][u:0→∞]+4∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
    =4I-4∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2
    ∴∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2=(3/4)I
    となるので(A)(B)から
    (与式)=(√2)∫[u:0→∞]du/(1+u^4)

    さて、
    1+u^4=(1+u^2)^2-2u^2
    =(u^2+u√2+1)(u^2-u√2+1)
    に注意すると
    1/(1+u^4)=(au+b)/(u^2+u√2+1)+(cu+d)/(u^2-u√2+1) (C)
    (a,b,c,dは定数)
    の形に部分分数分解でき、(C)の右辺を通分すると
    ((C)の右辺を通分したときの分子)=(u^2-u√2+1)(au+b)+(u^2+u√2+1)(cu+d)
    =(a+c)u^3+(b+d-a√2+c√2)u^2+(a+c-b√2+d√2)u+b+d
    ∴(C)の両辺の係数比較により
    a+c=0 (D)
    b+d-a√2+c√2=0 (E)
    a+c-b√2+d√2=0 (F)
    b+d=1 (G)
    (D)(E)(F)(G)を連立で解いて
    (a,b,c,d)=(1/(2√2),1/2,-1/(2√2),1/2)

    ∴1/(1+u^4)=(u/√2+1)/{2(u^2+u√2+1)}+(-u/√2+1)/{2(u^2-u√2+1)}
    となるので
    (与式)=(1/2)∫[u:0→∞]{(u+√2)/(u^2+u√2+1)-(u-√2)/(u^2-u√2+1)}du
    =(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+2√2)/(u^2+u√2+1)-(2u-2√2)/(u^2-u√2+1)}du
    =(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+√2)/(u^2+u√2+1)+(√2)/{(u+1/√2)^2+1/2}
    -(2u-√2)/(u^2-u√2+1)+(√2)/{(u-1/√2)^2+1/2}}du
    =(1/4)[log{(u^2+u√2+1)/(u^2-u√2+1)}+2arctan(u√2+1)+2arctan(u√2-1)][u:0→∞]
    =(1/4)・2π
    =π/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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