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■記事リスト / ▼下のスレッド
■48842 / 親記事)  三角関数
□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 14:45:37)
    a,b,cは定数で、任意の実数θに対して
    (cos3θ+acos2θ+bcosθ+c)^2+(sin3θ+asin2θ+bsinθ+c)^2=1
    が成り立つならばa=b=c=0であることの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48843 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2018/09/26(Wed) 16:17:55)
    θ=π/2を代入すると (-a+c)^2+(-1+b+c)^2=1 … (1)
    θ=-π/2を代入すると (-a+c)^2+(1-b+c)^2=1 … (2)
    (1)-(2)を整理すると (b-1)c=0 … (a)
    θ=π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+((√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (3)
    θ=-π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+(-(√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (4)
    (3)-(4)を整理すると (a+b)c=0 … (b)
    θ=2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+(-(√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (5)
    θ=-2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+((√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (6)
    (5)-(6)を整理すると (a-b)c=0 … (c)
    c≠0と仮定すると(b)(c)からa+b=0,a-b=0なのでa=b=0
    すると(a)が成り立たず不適、従ってc=0
    (1)+(2)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=2b … (7)
    (3)+(5)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=b … (8)
    (7)-(8)からb=0、これを(8)に代入してa=0
    よって任意の実数θについて与式が成り立つならばa=b=c=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48844 / ResNo.2)  Re[2]: 三角関数
□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 20:44:55)
    有り難うございました。
    とても助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48840 / 親記事)  対数不等式
□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2018/09/25(Tue) 14:43:10)
    定数aが 0<a<1のとき
       log_a^2(a^2-x^2)-log_a(ax)≧0を解け。

    という問題が答えと合いません。解答はa/√(1+a^2)≦x<a です。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48841 / ResNo.1)  Re[1]: 対数不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/09/25(Tue) 17:00:37)
    問題の式から0<x<a
    log[a^2](a^2-x^2)-log[a](ax)≧0
    log[a^2](a^2-x^2)≧log[a](ax)
    (1/2)log[a](a^2-x^2)≧log[a](ax)
    log[a](a^2-x^2)≧2log[a](ax)
    log[a](a^2-x^2)≧log[a](a^2x^2)
    a^2-x^2≦a^2x^2
    x^2(a^2+1)≧a^2
    x^2≧a^2/(a^2+1)
    x≧a/√(a^2+1)
    0<a/√(a^2+1)<aなので
    a/√(a^2+1)≦x<a

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48845 / ResNo.2)  Re[2]: 対数不等式
□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2018/09/27(Thu) 10:51:01)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48830 / 親記事)  数列
□投稿者/ 楼蘭山 一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 20:44:15)
    数列{a[n]}は、a[1]=1/2であり、
    全てのn≧2に対して
    a[n]=(1/2)Σ[k=1,n-1]a[k]a[n-k]
    を満たしている。
    (1)全てのn≧2に対して、
    Σ[i=1,n-1]a[i](Σ[j=1,n-i]a[j])=2Σ[k=2,n]a[k]
    および
    2na[n]=1-Σ[k=1,n-1]a[k]
    が成り立つことを示せ。
    (2)a[n]をnで表せ。



    (1)から分かりません。お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48827 / 親記事)  三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)
    実数a,b,cが0<a<c<b<1を満たすとき、
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
    の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48828 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)
    x>2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)>0
    x<-2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)<0
    ∴解の絶対値は2以下

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48829 / ResNo.2)  Re[2]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)
    ひとつ質問よろしいでしょうか。
    虚数解をもつことはないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48831 / ResNo.3)  Re[3]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)
    ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
    でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
    この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
    (そのことを示す必要はありますが)大丈夫でした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48836 / ResNo.4)  Re[4]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)
    解答を以下のように訂正します。

    f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
    f(-2)=-(2a+2b+c+2)<0
    f(-1)=a+(1-b)+(1-c)>0
    f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}<0
    f(2)=2(1-a)+(b-c)+b>0
    なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
    従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48837 / ResNo.5)  Re[5]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)
    ありがとうございます!!
    こうやれば良かったんですね。
    非常に爽快な解法を教えていただき
    大変勉強になりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48825 / 親記事)  ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 15:04:35)
    4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある。このとき
    (1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする。ただし、0<a<1である。このとき
    点Dの座標をaを用いて表せ。

    (2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする。
    @平面αと線分BCの交点を求めよ。
    A四面体OABCの体積をVとする。四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
    そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする。このとき、V1/Vの値を求めよ。
    教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
    (2)からわかりません。
    マルチポストですみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48864 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/10/16(Tue) 16:07:26)
    4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある.
    このとき
    (1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする.
    ただし、0<a<1である.
    D
    =(1-a)B+aC
    =(1-a)(4,-1,3)+a(-2,1,7)
    =(4-6a,2a-1,4a+3)

    (2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする.
    @平面αと線分BCの交点をD=(x,y,z)とすると
    Dは平面α上の点だから
    (D-A,n↑)=0
    ((x,y,z)-(1,2,4),(-3,1,2))=0
    -3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0
    Dは線分BC上の点だから(1)から
    (x,y,z)=D=(4-6a,2a-1,4a+3)
    x=4-6a
    y=2a-1
    z=4a+3
    だからこれを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
    -3(4-6a-1)+(2a-1-2)+2(4a+3-4)=0
    -3(3-6a)+2a-3+2(4a-1)=0
    -9+18a+2a-3+8a-2=0
    28a-14=0
    2a-1=0
    2a=1
    a=1/2
    これを(x,y,z)に代入すると
    x=4-6/2=1
    y=2/2-1=0
    z=4/2+3=5
    ∴平面αと線分BCの交点は
    (1,0,5)

    A四面体OABCの体積をVとする.
    四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
    そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする.

    平面αと線分OCの交点をE=(x,y,z)とすると
    OC上の点だから
    (x,y,z)=tC,0<t<1となるtがあるから
    (x,y,z)=t(-2,1,7)=(-2t,t,7t)
    平面α上の点だから
    これを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
    -3(-2t-1)+t-2+2(7t-4)=0
    6t+3+t-2+14t-8=0
    21t-7=0
    3t-1=0
    3t=1
    t=1/3
    E=(x,y,z)=(-2/3,1/3,7/3)
    OE=(1/3)OC
    CE=(2/3)CO
    CD=(1/2)CB
    だから
    |△CDE|=(1/2)|CD||CE|sin∠BCO
    |△BCO|=(1/2)|BC||CO|sin∠BCO
    だから
    |△CDE|/|△BCO|
    =(|CD|/|BC|)(|CE|/|CO|)
    =(1/2)(2/3)
    =1/3

    V1=|CADE|
    の底面は△CDE,高さはAと面BCOの距離

    V=|OABC|
    の底面は△BCO,高さはAと面BCOの距離
    だから
    V1/V
    =|△CDE|/|△BCO|
    =1/3
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48866 / ResNo.2)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2018/10/22(Mon) 19:13:28)
    ありがとうございました。とても助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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