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■50419 / 親記事)  大学数学 確率論
□投稿者/ みんく 一般人(1回)-(2020/07/26(Sun) 22:49:01)
    すみません。こちらの問題の解き方教えてください。途中式と答えもお願いします!
828×834 => 249×250

B628899E-6F01-4513-8328-DA99219BE401.jpeg
/92KB
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■50418 / 親記事)  線形代数 行列
□投稿者/ とらほー 一般人(1回)-(2020/07/26(Sun) 22:02:46)
    行列の問題です
    途中式も含めて教えていただけると助かります
640×159 => 250×62

5C2CD0C9-1AED-48F9-B9CD-A75508605498.jpeg
/29KB
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■50417 / 親記事)  弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
□投稿者/ ゆゆ 一般人(1回)-(2020/07/22(Wed) 00:54:03)

    弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
    答えと回答法を知りたいです。
    よろしくお願いします。

    問題
    座標平面において,原点を中心とする半径 3 の円を C,点 (0, -1) を中心とする半径 8 の円をD とする.C と D にはさまれた領域を E とする.0 <= k <= 3 とする.直線 l と原点との距離が一定値 k であるように l が動くとき,l と E の共通部分の長さの最小値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50425 / ResNo.1)  Re[1]: 弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 19:24:55)
    2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者)

    lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし
    点(0,-1)を点Aとします。

    今、原点からlに下した垂線の足をHとすると
    条件から
    OH=k
    ∴△OHPにおいて三平方の定理により
    PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A)
    △OPH≡△OQHに注意すると
    PQ=2PH=2√(9-k^2) (B)

    さて、条件から
    H(kcosθ,ksinθ)
    (0≦θ<2π (P))
    と置くことができるのでlの方程式は
    (x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0
    整理をして
    xcosθ+ysinθ-k=0
    ∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると
    点と直線との間の距離の公式により
    AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =|sinθ+k|
    ∴(B)を求めるのと同様な過程により
    TU=2√{64-|sinθ+k|^2}
    =2√{64-(sinθ+k)^2} (C)
    (B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると
    L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2)
    ∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である
    2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
    を取ります。
    以上から求める最小値は
    2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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■50408 / 親記事)  無限和
□投稿者/ ai 一般人(1回)-(2020/07/12(Sun) 16:28:28)
    こちらの問題解ける方、お願いします
336×196 => 250×145

1594538908.png
/17KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50415 / ResNo.1)  Re[1]: 無限和
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2020/07/21(Tue) 19:12:47)
    s(x) = Σ[n=0, ∞]{x^(3n)} とおくと、等比級数の和より
    s(x) = lim[n→∞]{(1-x^(3(n+1)))/(1-x^3)} です。
    よって、|x| < 1 ならば、s(x) = 1/(1-x^3) となります。

    F(x) = ∫s(x)dx = Σ[n=0, ∞]{(x^(3n+1))/(3n+1)} とおきます。
    すると、求める無限和の値は -lim[x→-1]F(x) となります。

    F(x) = ∫{1/(1-x^3)}dx
    = (1/3)∫{1/(1-x)+(2+x)/(1+x+x^2)}dx
    = (1/3)∫{1/(1-x)}dx+(1/3)∫{((1/2)(1+2x)+(3/2))/(1+x+x^2)}dx
    = -(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/2)∫{1/(3/4+(x+1/2)^2)}dx

    x+1/2 = ((√3)/2)u とおくと、dx = ((√3)/2)du なので、上記最後の積分は

    (1/2)∫{1/(((√3)/2)^2+((√3)u/2)^2)}((√3)/2)du
    = (1/√3)∫{1/(1+u^2)}du
    = (1/√3)arctan(u)
    = (1/√3)arctan((2x+1)/√3)

    よって、
    -lim[x→-1]F(x)
    = -lim[x→-1]{-(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/√3)arctan((2x+1)/√3)}
    = (1/3)log(|(-1)-1|)-(1/6)log(|1+(-1)+(-1)^2|)-(1/√3)arctan((2*(-1)+1)/√3)
    = (1/3)log(2)-(1/6)log(1)-(1/√3)arctan(-1/√3)
    = (1/3)log(2)+(1/√3)(π/6)

    計算間違いしているかも知れませんので、スレ主さんの方でよく検算してみてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50416 / ResNo.2)  Re[2]: 無限和
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2020/07/21(Tue) 19:16:20)
    ↓こちらによると
    ttps://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%283n%2B1%29%2Cn%3D0+to+inf&lang=ja
    解はlog2/3+π/(3√3)らしいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50404 / 親記事)  大学一年 線形代数
□投稿者/ まい 一般人(1回)-(2020/07/10(Fri) 22:52:59)
    Aはm*n型の行列である。
    tAAx=0を満たす任意のn次列ベクトルxに対して、Ax=0が成り立つことを示せ。

    内積は未修なので、内積を用いない解答をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50405 / ResNo.1)  Re[1]: 大学一年 線形代数
□投稿者/ 黄桃 一般人(2回)-(2020/07/11(Sat) 07:17:41)
    m=n=2,
    A=
    [1 i]
    [0 0]
    とすると、tAA=O。
    x=t[1,0] とすれば、tAAx=0 かつ Ax≠0 なので、一般には命題は成り立たない。

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