数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 82]

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log2とマクローリン展開についての証明(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明3(76) |

■47363 / 親記事)

　軌跡

□投稿者/ ニッキー一般人(1回)-(2015/06/23(Tue) 14:01:22)

この問題の解き方を教えてください

582×473 => 250×203

1435035682.jpg/23KB

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■47362 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ パン粉一般人(1回)-(2015/06/23(Tue) 07:12:45)

$2$ f(x):[- \pi , \pi ] \to [0,1]$
のとき
$2$ \frac{1}{2} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) \cos \theta \, \rm{d} \theta \le \sin \left( \frac{1}{2} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) \, \rm{d} \theta \right)$
を教えて下さい。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■47374 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ IT 一般人(16回)-(2015/07/05(Sun) 19:21:23)

少し直観的ですが

(1/2)∫[-π..π]f(x)dx=tとおくと,０≦t≦π
tを固定したとき,
cosθのグラフから分かるように #ここをどうやって厳密に示すかが問題です.#
　∫[-π..π]f(θ)cosθdθは,f(x)=1:-t≦x≦t,f(x)=0:x＜-tまたはx＞t,のとき最大となる。
よって、
∫[-π..π]f(θ)cosθdθ≦∫[-t..t]cosθdθ=[sinθ][-t..t]=2sint=2sin{(1/2)∫[-π..π]f(x)dx}

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■47355 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 鰓一般人(1回)-(2015/06/20(Sat) 17:09:33)

$2$ a,b,c$ が三角形の三辺であるとき、
$2$ \frac{3abc-a^3}{b+c-a} + \frac{3abc-b^3}{c+a-b} + \frac{3abc-c^3}{a+b-c} < 3(ab+bc+ca)$

教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47357 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ ひよこ一般人(17回)-(2015/06/21(Sun) 08:41:26)

まず、第一項について、
$2$ \frac{3abc-a^3}{b+c-a}<\frac{3}{2}(ab+ac)$
を示す。これが出来れば、文字を入れ替えて足し合わせれば結論がでる。

仮定よりa>0, b+c-a>0であるので、上式を変形して
$2$ 2(3bc-a^2)<3(b+c)(b+c-a)$
を示せば良い。
右辺-左辺を整理すると、
$2$ 2a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc = (a^2+3b^2-3ab) + (a^2+3c^2-3ac) =(a-\sqrt{3}b)^2 +(2\sqrt{3}-3)ab + (a-\sqrt{3}c)^2 +(2\sqrt{3}-3)ac$
となるが、ここで、2√3-3>0であるから、a,b,c>0より、右辺は正である。
以上をまとめれば良い。

どうでしょうか？
あと、不等式の出どころについて、さしつかえなければ教えてもらえるとうれしいです。

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■47359 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ ねむねむ一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 12:46:07)

2015/06/21(Sun) 14:24:26 編集(投稿者)
2015/06/21(Sun) 14:24:08 編集(投稿者)

他にも
$2$\frac{3 a b c-a^3}{b+c-a}<3 b c$
を示す（3次関数の極小値が正であることは見易い）．あるいは，
$2$b+c-a=2 x,\ c+a-b=2 y,\ a+b-c=2 z$
とおくと， $2$x,\ y,\ z>0$ で
$2$a=y+z,\ b=z+x,\ c=x+y,$
なので，結論の不等式は
$2$\frac{x^4 (y+z)+y^4 (z+x)+z^4 (x+y)+6 x y z (x y+y z+z x)}{2 x y z}>0$
となる．と言った方法がありますね．

なお，右辺の係数の下限は
$2$6 + 6 \sqrt{3} \cos \frac{11 \pi}{18}=2.445\ldots$
辺りかと．

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■47351 / 親記事)

　合成数

□投稿者/ べっきー一般人(1回)-(2015/06/20(Sat) 08:34:28)

自然数の逆数和は発散しますよね。
素数の逆数和も発散しますよね。
合成数の逆数和は発散しますか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47353 / ResNo.1)

　Re[1]: 合成数

□投稿者/ らすかる大御所(350回)-(2015/06/20(Sat) 11:22:36)

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+… が発散しますので、先頭の二つを除いた
1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+… も発散しますね。するとそれぞれの分母から1を引いた
1/4+1/6+1/10+1/12+1/16+1/18+… も発散しますので、合成数の逆数和も発散します。

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■47354 / ResNo.2)

　Re[1]: 合成数

□投稿者/ IT 一般人(14回)-(2015/06/20(Sat) 11:31:33)

2015/06/20(Sat) 12:29:58 編集(投稿者)

正の偶数の逆数（1/2を除く）の和は発散なので、合成数の逆数和は発散。　でもいいと思います。

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■47361 / ResNo.3)

　Re[2]: 合成数

□投稿者/ ベッキー一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 15:14:40)

お二人とも明解な回答を有り難うございました。

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■47349 / 親記事)

　素数

□投稿者/ 恵美子一般人(1回)-(2015/06/19(Fri) 13:52:24)

f(x)=4x+1 という多項式は、無数の自然数 n に対して f(n) が素数になりますよね。
2次の多項式でこのような性質をもつものは存在しますか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47350 / ResNo.1)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ みずき一般人(1回)-(2015/06/19(Fri) 19:26:56)

こちらに（↓）
https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes#Prime_formulas_and_polynomial_functions

『It is not even known whether there exists a univariate polynomial of degree at least 2 that assumes an infinite number of values that are prime』
と書いてあります。参考までに。

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■47356 / ResNo.2)

　Re[2]: 素数

□投稿者/ 恵美子一般人(2回)-(2015/06/21(Sun) 06:56:10)

有難うございます

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■47358 / ResNo.3)

　不等式

□投稿者/ キワリモート一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 10:35:46)

場合分けの後の解答の仕方が分かりません

750×1334 => 140×250

1434850546.jpg/189KB

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