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■50417 / 親記事)  弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
□投稿者/ ゆゆ 一般人(1回)-(2020/07/22(Wed) 00:54:03)

    弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
    答えと回答法を知りたいです。
    よろしくお願いします。

    問題
    座標平面において,原点を中心とする半径 3 の円を C,点 (0, -1) を中心とする半径 8 の円をD とする.C と D にはさまれた領域を E とする.0 <= k <= 3 とする.直線 l と原点との距離が一定値 k であるように l が動くとき,l と E の共通部分の長さの最小値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50425 / ResNo.1)  Re[1]: 弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 19:24:55)
    2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者)

    lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし
    点(0,-1)を点Aとします。

    今、原点からlに下した垂線の足をHとすると
    条件から
    OH=k
    ∴△OHPにおいて三平方の定理により
    PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A)
    △OPH≡△OQHに注意すると
    PQ=2PH=2√(9-k^2) (B)

    さて、条件から
    H(kcosθ,ksinθ)
    (0≦θ<2π (P))
    と置くことができるのでlの方程式は
    (x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0
    整理をして
    xcosθ+ysinθ-k=0
    ∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると
    点と直線との間の距離の公式により
    AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =|sinθ+k|
    ∴(B)を求めるのと同様な過程により
    TU=2√{64-|sinθ+k|^2}
    =2√{64-(sinθ+k)^2} (C)
    (B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると
    L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2)
    ∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である
    2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
    を取ります。
    以上から求める最小値は
    2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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■50408 / 親記事)  無限和
□投稿者/ ai 一般人(1回)-(2020/07/12(Sun) 16:28:28)
    こちらの問題解ける方、お願いします
336×196 => 250×145

1594538908.png
/17KB
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50415 / ResNo.1)  Re[1]: 無限和
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2020/07/21(Tue) 19:12:47)
    s(x) = Σ[n=0, ∞]{x^(3n)} とおくと、等比級数の和より
    s(x) = lim[n→∞]{(1-x^(3(n+1)))/(1-x^3)} です。
    よって、|x| < 1 ならば、s(x) = 1/(1-x^3) となります。

    F(x) = ∫s(x)dx = Σ[n=0, ∞]{(x^(3n+1))/(3n+1)} とおきます。
    すると、求める無限和の値は -lim[x→-1]F(x) となります。

    F(x) = ∫{1/(1-x^3)}dx
    = (1/3)∫{1/(1-x)+(2+x)/(1+x+x^2)}dx
    = (1/3)∫{1/(1-x)}dx+(1/3)∫{((1/2)(1+2x)+(3/2))/(1+x+x^2)}dx
    = -(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/2)∫{1/(3/4+(x+1/2)^2)}dx

    x+1/2 = ((√3)/2)u とおくと、dx = ((√3)/2)du なので、上記最後の積分は

    (1/2)∫{1/(((√3)/2)^2+((√3)u/2)^2)}((√3)/2)du
    = (1/√3)∫{1/(1+u^2)}du
    = (1/√3)arctan(u)
    = (1/√3)arctan((2x+1)/√3)

    よって、
    -lim[x→-1]F(x)
    = -lim[x→-1]{-(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/√3)arctan((2x+1)/√3)}
    = (1/3)log(|(-1)-1|)-(1/6)log(|1+(-1)+(-1)^2|)-(1/√3)arctan((2*(-1)+1)/√3)
    = (1/3)log(2)-(1/6)log(1)-(1/√3)arctan(-1/√3)
    = (1/3)log(2)+(1/√3)(π/6)

    計算間違いしているかも知れませんので、スレ主さんの方でよく検算してみてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50416 / ResNo.2)  Re[2]: 無限和
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2020/07/21(Tue) 19:16:20)
    ↓こちらによると
    ttps://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%283n%2B1%29%2Cn%3D0+to+inf&lang=ja
    解はlog2/3+π/(3√3)らしいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50404 / 親記事)  大学一年 線形代数
□投稿者/ まい 一般人(1回)-(2020/07/10(Fri) 22:52:59)
    Aはm*n型の行列である。
    tAAx=0を満たす任意のn次列ベクトルxに対して、Ax=0が成り立つことを示せ。

    内積は未修なので、内積を用いない解答をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50405 / ResNo.1)  Re[1]: 大学一年 線形代数
□投稿者/ 黄桃 一般人(2回)-(2020/07/11(Sat) 07:17:41)
    m=n=2,
    A=
    [1 i]
    [0 0]
    とすると、tAA=O。
    x=t[1,0] とすれば、tAAx=0 かつ Ax≠0 なので、一般には命題は成り立たない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50394 / 親記事)  大学で出された行列の課題がわかりません。
□投稿者/ 大学1年生 一般人(1回)-(2020/07/06(Mon) 20:20:54)
    A,B:3×3行列
    次を示せ
    |A B|=|AーB||A+B|
    |B A|
    私、大学1年生なもので、ブロック行列の行列式の解き方はまだ習っていません。できたらでよいのですが、ブロック行列の行列式の解き方を使わない手法で教えていただけませんでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50395 / ResNo.1)  Re[1]: 大学で出された行列の課題がわかりません。
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2020/07/08(Wed) 07:55:00)
    大学4年でも、ブロック行列の行列式の解き方というものは習ってないと思いますよ。なぜなら、ブロック行列の行列式を計算する簡単な方法はないからです。

    行列式の定義から, X,Yが3x3行列の時(一般の正方行列でOKですが)、
    |X O|= |X|*|Y|
    |* Y|
    であることを示すのが本質的です(*の部分は何であってもOK,Oは3x3のゼロ行列)。

    #これを「ブロック行列の行列式の解き方」というのでは、使わない手法はないでしょう。
    #何を行列式の定義としても本質的にこの命題と同じことを示すことになると思います。
    #この命題自体は、X,Yが正方行列でありさえすれば(例えば Xが3x3, Yが 5x5 でも)成立します。
    ##初心者がこの命題を思いつくのは難しいと思うので、
    ##実は、類似の命題を既に授業や演習、課題等でやっているのではないですか?

    これが証明できれば、行列式の定義の意味が理解できていると思ってもいいでしょう。
    逆に言えば、行列式の定義がわかってなければ、証明をみてもチンプンカンプンでしょう。
    証明をするには、まず、X,Yが 2x2 行列くらいの場合、つまり、次のような場合
    [x y 0 0]
    [z w 0 0]
    [* * p q]
    [* * r s]
    に、この行列式が
    |x y|
    |z w|

    |p q|
    |r s|
    の積、つまり、(xw-yz)(ps-qr)=xwps-xwqr-yzps+yzqr、になる、ことが行列式の定義から理解できればできるでしょう。
    これでも無理なら、Xが単位行列、つまり x=w=1, y=z=0 の場合にいえることを確認し、その理由を理解し、上の場合にどうなるか再度考えてみましょう。
    それもダメならあきらめてください。おそらくこの命題を今後使うことはないでしょうから。

    あとは、
    [A B]
    [B A]
    という行列を基本操作で上の形に変形することを考えればいいでしょう。

    健闘を祈ります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50392 / 親記事)   至急この問題を解説していただきたいです
□投稿者/ 迷い人 一般人(1回)-(2020/07/02(Thu) 22:33:24)
    添付した問題の解説をお願いしたいです。
    よろしくお願いします
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