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□投稿者/ 筑波 一般人(1回)-(2025/05/10(Sat) 10:03:30)
 | f(x)はx≧0で連続で、f(0)=0かつx>0においてf'(x)>0を満たすとする。t>0に対して、
曲線y=f(x)とx軸および直線x=tとで囲まれる図形をx軸のまわりに一回転してできる立体の体積をX(t)、
曲線y=f(x)とy軸および直線y=f(t)とで囲まれる図形をy軸のまわりに一回転してできる立体の体積をY(t)、
とする。また、X(0)=Y(0)=0とする。このとき、t≧0で常にX(t)=Y(t)となるf(x)を全て求めよ。
教えて下さい。
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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
| ■52870 / ResNo.2) |
Re[2]: 回転体の体積
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□投稿者/ 健作 一般人(5回)-(2025/05/10(Sat) 22:09:55)
| Y(t)はdxではなくdyでは？
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| ■52871 / ResNo.3) |
Re[1]: 回転体の体積
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□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2025/05/11(Sun) 09:21:29)
| > Y(t)はdxではなくdyでは？
仰る通りでした。申し訳ありません。
y = f(x)がx > 0で一価関数と仮定し、y = f(x)の逆関数をx = h(y)とします。
x = 0でy = f(0) = 0より、h(0) = 0です。
また、dx/dy = (d/dy)h(y) = h'(y)です。
# 上記のダッシュ「'」はyによる微分
よって、
Y(t) = π∫[0,f(t)]{x^2}dy
= π∫[0,f(t)]{h(y)^2}h'(y)dy
= (π/3)(h(f(t))^3)
= (π/3)(t^3)
# 以下「'」はtによる微分
X(t) = Y(t)
⇒ πg(t) = (π/3)(t^3)
⇒ g'(t) = t^2 = f(t)^2
⇒ f(t) = t または f(t) = -t
x > 0でf'(x) > 0より、題意を満たすのはf(x) = xのみとなります。
# また間違ってたらごめんなさい!
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| ■52872 / ResNo.4) |
Re[2]: 回転体の体積
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□投稿者/ 健作 一般人(6回)-(2025/05/11(Sun) 16:59:09)
| x = h(y)とするなら
Y(t) = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}dy
ではないのでしょうか？
y=f(x)のとき
X(t) = π∫[0,t]{f(x)^2}dx
であるのと同様に
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| ■52873 / ResNo.5) |
Re[1]: 回転体の体積
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□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2025/05/11(Sun) 18:51:56)
| 成程。まるでどっちが質問して、どっちが回答してるのか分からなくなりました。
h(t)^2の原始関数をH(t), H(0) = 0とすると、
Y(t) = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}dy = πH(f(t))
X(t) = Y(t)
⇒ πg(t) = πH(f(t))
⇒ g'(t) = f(t)^2, H'(f(t))f'(t) = (h(f(t))^2)f'(t) = (t^2)f'(t)
⇒ f(t)^2 = (t^2)f'(t)
f(0) = 0かつx > 0においてf'(x) > 0より、x > 0でf(x) > 0です。
よって、t > 0のとき、
⇒ 1/t^2 = f'(t)/(f(t)^2)
⇒ -1/t+C = -1/f(t) (Cは積分定数)
⇒ t/(1-Ct) = f(t)
0/(1-C*0) = 0 = f(0)だから、上記はt = 0でも成り立ちます。
検算
C = 0のとき、y = x, x = y
X(t) = π∫[0,t]{x^2}dx = (π/3)(t^2)
Y(t) = π∫[0,t]{x^2}dx = (π/3)(t^2)
C ≠ 0かつ1-Ct ≠ 0のとき、y = x/(1-Cx) = (-1/C)(1+1/(Cx-1))
(1-Cx)y = x ⇒ y = (Cy+1)x
Cy+1 ≠ 0のとき、x = y/(Cy+1) = (1/C)(1-1/(Cy+1))
X(t) = (π/(C^2))∫[0,t]{1+2/(Cx-1)+1/((Cx-1)^2)}dx
= (π/(C^2))[x+(2/C)ln(|Cx-1|)-(1/C)/(Cx-1)]_[0,t]
= (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-(1/C)/(Ct-1)-1/C}
= (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-(1/C)(1+Ct-1)/(Ct-1)}
= (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-t/(Ct-1)}
= (π/(C^2)){t(Ct-2)/(Ct-1)+(2/C)ln(|Ct-1|)}
Y(t) = (π/(C^2))∫[0,t/(1-Ct)]{1-2/(Cy+1)+1/((Cy+1)^2)}dy
= (π/(C^2))[y-(2/C)ln(|Cy+1|)-(1/C)/(Cy+1)]_[0,t/(1-Ct)]
= (π/(C^2)){t/(1-Ct)-(2/C)ln(|Ct/(1-Ct)+1|)-(1/C)/(Ct/(1-Ct)+1)+1/C}
= (π/(C^2)){t/(1-Ct)-(2/C)ln(|1/(1-Ct)|)-(1/C)/(1/(1-Ct))+1/C}
= (π/(C^2)){t/(1-Ct)+(2/C)ln(|1-Ct|)+t}
= (π/(C^2)){t(2-Ct))/(1-Ct)+(2/C)ln(|1-Ct|)}
・・・とどうやら大丈夫そうです。
但し、1-Ct = 0やCy+1 = 0の場合も積分範囲を分けて極限として吟味する必要があると思いますが、
私はもう限界ですので、勝手ながらこれでこのスレの最後の発言とさせて頂きます。
# 安直にこのスレに口を出したことを後悔しています。
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| ■52875 / ResNo.6) |
Re[2]: 回転体の体積
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□投稿者/ 筑波 一般人(2回)-(2025/05/14(Wed) 22:09:09)
| とても理解り易かったです。ご丁寧に有難う御座いました。
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解決済み! |
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積分不等式(1)