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■48857 / 親記事)

　等式

□投稿者/ 喰レポ一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)

教えて下さい。

相異なる数x,y,zが
(2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)
を満たしているとき、x,y,zのうち少なく
とも一つは虚数であることを示せ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■48858 / ResNo.1)

　Re[1]: 等式

□投稿者/ らすかる一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)

(2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
(1)を(2)に代入して整理すると
z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
(4)を(3)に代入して整理すると
(3k^2-6k+4)(2x-1)=0
x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
これを解いてk=1±i/√3
x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48859 / ResNo.2)

　Re[1]: 等式

□投稿者/ らすかる一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)

別解
もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。
よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。
(x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から
2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1)
1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1)
(2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1)
この式の値をkとするとk^3=1だが
もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので
kは1の虚数三乗根。
従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。

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■48860 / ResNo.3)

　Re[2]: 等式

□投稿者/ 喰レポ一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)

大変エレガントな別解に感動いたしました。
ありがとうございました。

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■48855 / 親記事)

　（削除）

□投稿者/ -(2018/10/06(Sat) 13:02:16)

この記事は(投稿者)削除されました

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■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■48853 / 親記事)

　三角関数の面積

□投稿者/ スコルピオン一般人(1回)-(2018/10/05(Fri) 23:28:57)

θは0≦x≦πをみたす実数とする。
xy平面において以下の二つの曲線
y=2cosx　　　(0≦x≦2π)
y=sin(x-θ)　(0≦x≦2π)
で囲まれた図形の面積をθで表せ。

どうもうまく解けません。
教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48854 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角関数の面積

□投稿者/ らすかる一般人(27回)-(2018/10/06(Sat) 01:16:04)

面積をS(θ)とするとS(π-θ)=S(θ)なので
0≦θ≦π/2で考えます。
θ=π/2のときは2曲線の交点が(π/2,0)と(3π/2,0)となりますので
S(θ)=∫[π/2～3π/2]sin(x-π/2)-2cosx dx
=∫[π/2～3π/2]-3cosx dx
=[-3sinx][π/2～3π/2]
=6
0≦θ＜π/2のときは
2cosx=sin(x-θ)
2cosx=sinxcosθ-cosxsinθ
(2+sinθ)cosx=sinxcosθ
tanx=(2+sinθ)/cosθ
となり、交点は(arctan((2+sinθ)/cosθ),0)と
(arctan((2+sinθ)/cosθ)+π,0)になりますので
S(θ)=∫[arctan((2+sinθ)/cosθ)～arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]sin(x-θ)-2cosx dx
=[-cos(x-θ)-2sinx][arctan((2+sinθ)/cosθ)～arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]
=2√(5+4sinθ)
この式にθ=π/2を代入すると6となり、またS(π-θ)=S(θ)も成り立ちますので、
θの定義域全体(0≦θ≦π)に対してS(θ)=2√(5+4sinθ)となります。

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■48862 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角関数の面積

□投稿者/ スコルピオン一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 13:09:43)

とても参考になりました。
ありがとうございました。

解決済み!

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■48852 / 親記事)

　二次方程式の標準形への変換

□投稿者/ ライカー一般人(1回)-(2018/10/04(Thu) 22:18:49)

座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α＝0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a（g-α）x+2（af-ha）y+ac-α＾2＝0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α＝0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48861 / ResNo.1)

　Re[1]: 二次方程式の標準形への変換

□投稿者/ ライカー一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 05:16:54)

■No48852に返信(ライカーさんの記事)
> 座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α＝0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a（g-α）x+2（af-ha）y+ac-α＾2＝0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α＝0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。

わかりました。

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■48850 / 親記事)

　極限

□投稿者/ 三角関数一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)

x,y,zは0≦x,y,z＜2πをみたす実数で、さらに
数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

教えて下さい。
お願いします。

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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■48878 / ResNo.2)

　Re[2]: 極限

□投稿者/ 三角関数一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)

どういうことでしょうか？

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■48880 / ResNo.3)

　Re[3]: 極限

□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)

x=0
y=0
z=0
とすると
lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
sinnx+sinny+sinnzは0に収束する
∴
x=0
y=0
z=0

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■48882 / ResNo.4)

　Re[4]: 極限

□投稿者/ 三角関数一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)

cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
が収束するならば、
x=y=z=0である

ことを示していただけませんか？

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■48883 / ResNo.5)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)

x,y,zがどんな値であっても、
nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
いくらでも3に近くすることができるから、
cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
よってx=y=z=0。

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■48887 / ResNo.6)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)

x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
0≦x/(2π)<1
0≦y/(2π)<1
0≦z/(2π)<1
↓
Q=(全有理数)
Z=(全整数)
N=(全自然数)
f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
lim_{n→∞}f(n)=α
{x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
とすると
x/(2π)=u/a
y/(2π)=v/b
z/(2π)=w/c
{a,b,c}⊂N
{u,v,w}⊂Z
となるa,b,c,u,v,wがある
ax=2uπ
by=2vπ
cz=2wπ
だから
n∈Nに対して
k(n)=abcn
とすると
lim_{n→∞}f(k(n))
=lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
=lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
=3
{f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
{f(n)}も3に収束しなければならないから
α=3
lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

n∈Nに対して
m(n)=abcn+1
とすると
lim_{n→∞}f(m(n))
=lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
=lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
=cos(x)+cos(y)+cos(z)
↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
↓{f(n))}が3に収束するのだから
↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
=3
∴
cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
x=y=z=0

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