数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 65]

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■48507 / 親記事)

　積分計算

□投稿者/ こいち一般人(11回)-(2018/07/29(Sun) 01:32:27)

(x-1)^2/(x^2+1)^2について不定積分の解法を、解ける方お願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48508 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分計算

□投稿者/ らすかる一般人(25回)-(2018/07/29(Sun) 02:08:19)

(x-1)^2/(x^2+1)^2
=(x^2-2x+1)/(x^2+1)^2
=(x^2+1)/(x^2+1)^2-2x/(x^2+1)^2
=1/(x^2+1)-2x/(x^2+1)^2
と分ければ、1/(x^2+1)の不定積分はarctanx、
2x/(x^2+1)^2の不定積分はx^2+1=tとおけば簡単ですね。

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■48509 / ResNo.2)

　Re[2]: 積分計算

□投稿者/ こいち一般人(12回)-(2018/07/29(Sun) 10:58:01)

なるほど。発想が乏しかったです。
やっぱりコツなどではなく経験なのでしょうか...(-_-;)

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■48502 / 親記事)

　積分範囲の極限

□投稿者/ こいち一般人(5回)-(2018/07/28(Sat) 15:12:24)

1)lim(n→∞)1/n{√(1/n)+√(2/n)+...+√(n/n)}
(2)lim(n→∞){1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n}
(3)lim(n→∞){1/√(n^2+1^2)+1/√(n^2+2^2)+...+1/√(n^2+n^2)}
この3問の極限値を求める問題です。積分の範囲に含まれているので何かしら積分を利用するのかと思いますが、解法が分かりません。分かる方お願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48504 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分範囲の極限

□投稿者/ らすかる一般人(24回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:41)

他板で回答しました。

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■48505 / ResNo.2)

　Re[2]: 積分範囲の極限

□投稿者/ こいち一般人(8回)-(2018/07/28(Sat) 16:07:14)

ありがとうございました！！！助かりました。

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■48496 / 親記事)

　広義積分の質問

□投稿者/ こいち一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)

∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx
の解き方を教えてください。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■48500 / ResNo.1)

　Re[1]: 広義積分の質問

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)

a≠0かつb≠0のとき
∫e^(-ax)・sin(bx)dx
=e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx}
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx}
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx
なので
(1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1
(a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1
∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2
従って
b=0のとき
(与式)=∫[0～∞]0dx=0
b≠0,a=0のとき
(与式)=∫[0～∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0～∞]は発散
b≠0,a＜0のとき
(与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0～∞]は発散
b≠0,a＞0のとき
(与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0～∞]=b/(a^2+b^2)

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■48501 / ResNo.2)

　Re[2]: 広義積分の質問

□投稿者/ こいち一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)

b≠0,a＞0のとき
(与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0～∞]=b/(a^2+b^2)
の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。

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■48503 / ResNo.3)

　Re[3]: 広義積分の質問

□投稿者/ らすかる一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)

a＞0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので
lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0
x=0のとき
e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので
x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2)
よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)

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■48506 / ResNo.4)

　Re[4]: 広義積分の質問

□投稿者/ こいち一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)

解くことができました。ありがとうございました！

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■48493 / 親記事)

　複素数計算

□投稿者/ かず一般人(3回)-(2018/07/18(Wed) 11:30:28)

前回の続きになってしまうのですがすみません
虚部を0とした時実部を求める問題なのですが、
K/{(jω+1)(jω+0.5)(jω+3)}=-{K(3.5ω^2-1.5)}/{(1+ω^2)(0.25+ω^2)(9+ω^2)}+j*{Kω(ω^2-4.5)}/{(1+ω^2)(0.25+ω^2)(9+ω^2)}

ω=0,√4.5が0より実部は2K/3,4K/99と計算したのですが答えが違うようです
計算し直してもこうなってしまうのですが恐らく実部虚部に分けるところが違う気がするのですがどこが間違えてしまってるでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48494 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数計算

□投稿者/ らすかる一般人(18回)-(2018/07/18(Wed) 12:10:32)

K/{(jω+1)(jω+0.5)(jω+3)}
=K(jω-1)(jω-0.5)(jω-3)/{(-ω^2-1)(-ω^2-0.25)(-ω^2-9)}
=K(-1.5(3ω^2-1)+jω(ω^2-5))/{(1+ω^2)(0.25+ω^2)(9+ω^2)}
=-1.5K(3ω^2-1)/{(1+ω^2)(0.25+ω^2)(9+ω^2)}+jKω(ω^2-5)/{(1+ω^2)(0.25+ω^2)(9+ω^2)}
となりますので、そこまでの計算に問題がありそうです。

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■48495 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数計算

□投稿者/ かず一般人(4回)-(2018/07/18(Wed) 13:01:18)

計算し直したら答えが合いました
もう少し計算練習したいとおもいます
ありがとうございました

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■48489 / 親記事)

　複素数の実部と虚部の分け方がわかりません

□投稿者/ かず一般人(1回)-(2018/07/17(Tue) 16:16:10)

K/{jω(jω+1)(jω+2)}=-3K/{(1+ω^2)(4+ω^2)}+j{K(ω^2-2)}/{ω(1+ω^2)(4+ω^2)}
となるのですが途中式がありませんでした
どのように計算すればいいのでしょうか

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■48490 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数の実部と虚部の分け方がわかりません

□投稿者/ らすかる一般人(16回)-(2018/07/17(Tue) 16:57:41)

K/{jω(jω+1)(jω+2)}
={Kj(jω-1)(jω-2)}/{j^2ω(jω+1)(jω-1)(jω+2)(jω-2)}
=-{Kj(jω-1)(jω-2)}/{ω(1+ω^2)(4+ω^2)}
=-{K(-jω^2+3ω+2j)}/{ω(1+ω^2)(4+ω^2)}
=-{K(3ω)}/{ω(1+ω^2)(4+ω^2)}-{K(-jω^2+2j)}/{ω(1+ω^2)(4+ω^2)}
=-3K/{(1+ω^2)(4+ω^2)}+j{K(ω^2-2)}/{ω(1+ω^2)(4+ω^2)}
となります。

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■48491 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数の実部と虚部の分け方がわかりません

□投稿者/ かず一般人(2回)-(2018/07/17(Tue) 18:19:35)

返信ありがとうございます
ちなみに分母が(jω+1)(jω+2)(jω+3)の時は(jω-1)(jω-2)(jω-3)を分母分子に掛け合わせればいいということでしょうか

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■48492 / ResNo.3)

　Re[3]: 複素数の実部と虚部の分け方がわかりません

□投稿者/ らすかる一般人(17回)-(2018/07/17(Tue) 18:48:15)

その通りです。

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