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□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
 | x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに 数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。
教えて下さい。 お願いします。
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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48878 / ResNo.2) |
Re[2]: 極限
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□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
 | どういうことでしょうか?
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■48880 / ResNo.3) |
Re[3]: 極限
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□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
 | x=0 y=0 z=0 とすると lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3 cosnx+cosny+cosnzは3に収束する lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0 sinnx+sinny+sinnzは0に収束する ∴ x=0 y=0 z=0
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■48882 / ResNo.4) |
Re[4]: 極限
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□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
 | cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、 sin(nx)+sin(ny)+sin(nz) が収束するならば、 x=y=z=0である
ことを示していただけませんか?
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■48883 / ResNo.5) |
Re[1]: 極限
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□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
 | x,y,zがどんな値であっても、 nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を いくらでも3に近くすることができるから、 cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。 よってx=y=z=0。
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■48887 / ResNo.6) |
Re[1]: 極限
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□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
 | x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時 0≦x/(2π)<1 0≦y/(2π)<1 0≦z/(2π)<1 ↓ Q=(全有理数) Z=(全整数) N=(全自然数) f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz) lim_{n→∞}f(n)=α {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q とすると x/(2π)=u/a y/(2π)=v/b z/(2π)=w/c {a,b,c}⊂N {u,v,w}⊂Z となるa,b,c,u,v,wがある ax=2uπ by=2vπ cz=2wπ だから n∈Nに対して k(n)=abcn とすると lim_{n→∞}f(k(n)) =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z) =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz) =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ) =3 {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから 部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから {f(n)}も3に収束しなければならないから α=3 lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3
n∈Nに対して m(n)=abcn+1 とすると lim_{n→∞}f(m(n)) =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z) =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z) =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z) =cos(x)+cos(y)+cos(z) ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから ↓{f(n))}が3に収束するのだから ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから =3 ∴ cos(x)+cos(y)+cos(z)=3 ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1 ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから x=y=z=0
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