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■48016 / 親記事)  計算量について
□投稿者/ サボり部 一般人(1回)-(2017/07/07(Fri) 14:14:21)
    P=NP問題の読み物を読んでいた時に疑問がでてきました。
    基本ソートの計算量はO(n^2)です。

    これについては感覚的にですが、n個のものを参照することをn回繰り返すので、n^2程度の多項式時間の計算量だと感じます。

    それに対して、ある数nの素因数を求めるアルゴリズムでは、√n以下の数字で順に割っていけば解が出ます。ソートの時と同じように考えると、自分の(間違った)感覚では計算量がO(√n)に感じます。
    実際には2進数で表した時の桁数を考えて、A=log[2]nとし、√n=(√2)^Aなので、指数関数時間かかるというのが正しいです。
    確かに指数関数時間でなければ暗号化に使えなくなるのでその意味では納得できるのですが…。

    ソートでは2進数に表し直すという処理はせず、素因数を求める方ではその処理をするというのはどのような違いから出てきているのでしょうか?
    根本的なことが分かっていないのかもしれませんが、よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48020 / ResNo.1)  Re[1]: 計算量について
□投稿者/ ななし 一般人(1回)-(2017/07/12(Wed) 07:46:56)
    > それに対して、ある数nの素因数を求めるアルゴリズムでは、√n以下の数字で順に割っていけば解が出ます。ソートの時と同じように考えると、自分の(間違った)感覚では計算量がO(√n)に感じます。

    そのとおり、O(√n)だと思います。

    計算量が多項式時間かどうかどうかというのは、入力データのサイズがmの場合にmの多項式になるかどうかということなので、数nをデータで表したときにどのくらいのサイズなのかを考える必要があります。2進数で表すこと考えると(別に10進数でも構いません)、
    2進数m桁の数nを素因数分解するとき、nは大体2^mなので、√nは2^(m/2)くらいであり、計算量はO(√n)=O(2^(m/2))となって、これは指数時間となりますね。

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■48009 / 親記事)  代数学の問題
□投稿者/ socksman 一般人(1回)-(2017/06/08(Thu) 14:56:50)
    以下の問題が分かりません。

    解説をお願いします。
1080×219 => 250×50

IMG_20170607_230206.jpg
/49KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48514 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/08/17(Fri) 14:59:57)
    (1)
    Gを位数|G|=4の群
    x∈G
    [x]をxから生成される巡回群
    とする
    [x]はGの部分群だから
    部分群[x]の位数|[x]|は4の約数だから
    (|[x]|=1).or.(|[x]|=2).or.(|[x]|=4)
    |[x]|=4となる[x]がある時
    |[x]|=|G|=4だから[x]=Gとなり
    Gは1元xから生成される巡回群だから
    GはZ/4Zと同型である

    |[x]|=4となるxが無い時
    |[x]|=1の時xは単位元0だから
    x≠0となるすべてのxに対して
    |[x]|=2となる
    G={0,a,b,c}とすると
    |[a]|=|[b]|=|[c]|=2だから
    a+a=b+b=c+c=0
    aの逆元はaだからa+b≠0≠b+a,a+c≠0≠c+a
    b≠0だからa+b≠a≠b+a,b+c≠c≠c+b
    a≠0だからa+b≠b≠b+a,a+c≠c≠c+a
    ∴a+b=c=b+a
    c≠0だからa+c≠a≠c+a,b+c≠b≠c+b
    ∴a+c=b=c+a
    bの逆元はbだからb+c≠0=c+b
    ∴b+c=a=c+b
    0=(0,0)
    a=(1,0)
    b=(0,1)
    c=(1,1)
    とすれば
    a+a=b+b=c+c=0(mod2)
    a+b=b+a=c
    a+c=c+a=b(mod2)
    b+c=c+b=a(mod2)
    だから
    GはZ/2Z×Z/2Zと同型である

    (2)
    {1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2)}
    {1,(1,2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3,4,2)}
    {1,(1,3,2,4),(1,2)(3,4),(1,4,2,3)}

    (3)
    {1,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
    {1,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)}
    {1,(1,4),(2,3),(1,4)(2,3)}
    {1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
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■48004 / 親記事)  準同型写像
□投稿者/ エントロピー 一般人(1回)-(2017/06/03(Sat) 21:59:22)
    以下の問題について質問があります。

    「群Z/12Zから群Z/14Zへの準同型写像fをすべて求めよ。」

    12と14の最大公約数が2なので、2個であるのは分かります。

    また、f(0)=f(1)=・・・f(13)=0となる0写像が答えの1個となるのも分かります。

    しかし、もう一つは求められません。

    f(1)、f(2)、f(3)、・・・、f(13)の値はどうなるのでしょうか?

    教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48005 / ResNo.1)  Re[1]: 準同型写像
□投稿者/ バラ肉 一般人(1回)-(2017/06/03(Sat) 22:37:17)
    12f(1)=0となることに気を付けてf(1)の値を決めればいいのでは?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48006 / ResNo.2)  Re[2]: 準同型写像
□投稿者/ エントロピー 一般人(2回)-(2017/06/04(Sun) 17:36:01)
    f(n)(nはZ/12Zの元)において、nが偶数ならば0で、奇数ならば7と出ましたが、これで正しいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48011 / ResNo.3)  Re[1]: 準同型写像
□投稿者/ ナオ 一般人(1回)-(2017/06/12(Mon) 09:01:15)
http://mybostonbag.exblog.jp/
    ご情報ありがとうございます。
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■48000 / 親記事)  互いに素
□投稿者/ on 一般人(1回)-(2017/06/01(Thu) 23:19:52)
    自然数mに対して、φ(m)を1以上m以下の自然数でmと互いに素なものの個数とするとき、
    2以上の自然数nに対して、2^n-1はφ(2^n-1)で割り切れないことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48001 / ResNo.1)  Re[1]: 互いに素
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/06/02(Fri) 01:58:37)
    aが2^n-1と互いに素ならば(2^n-1)-aも2^n-1と互いに素
    aと(2^n-1)-aが一致することはないからφ(2^n-1)は偶数
    従って2^n-1はφ(2^n-1)では割り切れない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48002 / ResNo.2)  Re[2]: 互いに素
□投稿者/ on 一般人(2回)-(2017/06/03(Sat) 09:48:43)
    有り難うございます!
解決済み!
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■47996 / 親記事)  数列の最大項
□投稿者/ まるでお城 一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)
    aを正の数として、数列a[n]を
    a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
    と定めます。
    a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
    のうち最大の項はどれですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47997 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の最大項
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)
    logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

    xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
    f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
    f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
    1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
    1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
    0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

    よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
    n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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