| ■52891 / ResNo.1) |
Re[1]: 難しい積分
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□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2025/06/10(Tue) 15:12:16)
 | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
I = ∫[√(2/5), 2/√5]{√{(1+√(x^4-x^2+1))/(x^6-x^8)}}dx とおきます。
x = 1/√t と置換すると、dx = (-1/2)(t^(-3/2))dt で積分範囲は [5/2, 5/4] となります。
(1+√(x^4-x^2+1))/(x^6-x^8)
= (1+√(1/(t^2)-1/t+1))/(1/(t^3)-1/(t^4))
= (t^3)(t+√(1-t+t^2))/(t-1)
= (t^3)(t^2-(1-t+t^2))/{(t-1)(t-√(1-t+t^2))}
= (t^3)(t-1)/{(t-1)(t-√(1-t+t^2))}
= (t^3)/(t-√(1-t+t^2))
よって、
I = ∫[5/2, 5/4]{√{(t^3)/(t-√(1-t+t^2))}}(-1/2)(t^(-3/2))dt
= (1/2)∫[5/4, 5/2]{1/√(t-√(1-t+t^2))}dt
更に t-u^2 = √(1-t+t^2) と置換すると、
t^2-2(u^2)t+u^4 = 1-t+t^2
⇒ (1-2u^2)t = 1-u^4
⇒ t = (1-u^4)/(1-2u^2)
# u^2 = 1/2 と仮定すると、t^2-2(u^2)t+u^4 = 1/4-t+t^2 = 1-t+t^2 と矛盾する為。
t-√(1-t+t^2) = t-(t-u^2) = u^2
(d/dt)u^2 = 1-(1/2)(2t-1)/√(1-t+t^2)
= 1-(2t-1)/{2(t-u^2)}
= {2(t-u^2)-(2t-1)}/{2(t-u^2)}
= (1-2u^2)/{2(1-u^4)/(1-2u^2)-2u^2}
= {(1-2u^2)^2}/{2(1-u^4)-(2u^2)(1-2u^2)}
= {(1-2u^2)^2}/(2-2u^2+2u^4)
⇒ {4u(1-u^2+u^4)/{(1-2u^2)^2}}du = dt
上記から
(d/dt)u^2 = 1-(1/2)(2t-1)/√(1-t+t^2)
= 1-(t-1/2)/√(3/4+(t-1/2)^2)
> 1-(t-1/2)/√((t-1/2)^2)
= 0
なので、tが増加するときu^2も単調増加です。
uの積分範囲は t = 5/4 のとき
u^2 = 5/4-√(1-5/4+25/16) = 5/4-√((16-20+25)/16) = (5-√21)/4
⇒ u = (√(5-√21))/2 = a とおきます。
t = 5/2 のとき
u = 5/2-√(1-5/2+25/4) = 5/2-√((4-10+25)/4) = (5-√19)/2
⇒ u = (√(10-2√19))/2 = b とおきます。
# 不安なので検算します。
# (5-√19)/2-(5-√21)/4 = (5-2√19+√21)/4 > (5-2√20+√20)/4 = (5-2√5)/4 > 0
I = (1/2)∫[a, b]{1/u}{4u(1-u^2+u^4)/{(1-2u^2)^2}}du
= (1/2)∫[a, b]{(4-4u^2+4u^4)/(1-4u^2+4u^4)}du
= (1/2)∫[a, b]{1+3/(1-4u^2+4u^4)}du
被積分関数を部分分数に分解します。
1/(1-2u^2) = 1/{(1-(√2)u)(1+(√2)u)} = (1/2){1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}
⇒ 1/{(1-2u^2)^2} = (1/4){1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}^2
= (1/4){1/{(1-(√2)u)^2}+2/{(1-(√2)u)(1+(√2)u)}+1/{(1+(√2)u)^2}}
= (1/4){1/{(1-(√2)u)^2}+1/{(1+(√2)u)^2}+1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}
p = 1-(√2)u, q = 1+(√2)u とおくと、du = (-1/√2)dp = (1/√2)dq です。
1-2u^2 = (1-(√2)u)(1+(√2)u) ≧ 1-2b^2 = 1-(5-√19) = √19-4 > 0 です。
u > 0 ですから、p = 1-(√2)u > 0 かつ q = 1+(√2)u > 0 といえます。
A = (1/2)∫[a, b]du = (b-a)/2
B = (3/8)∫[1-(√2)a, 1-(√2)b]{1/{(1-(√2)u)^2}+1/(1-(√2)u)}du
C = (3/8)∫[1+(√2)a, 1+(√2)b]{1/{(1+(√2)u)^2}+1/(1+(√2)u)}du
とおくと、I = A+B+C です。
B = (3/8)∫[1-(√2)a, 1-(√2)b]{1/(p^2)+1/p}(-1/√2)dp
= (3/8√2)[-1/p+log(p)]_[1-(√2)b, 1-(√2)a]
= (3/8√2){log(1-(√2)a)-log(1-(√2)b)+1/(1-(√2)b)-1/(1-(√2)a)}
C = (3/8)∫[1+(√2)a, 1+(√2)b]{1/(q^2)+1/q}(1/√2)dq
= (3/8√2)[-1/q+log(q)]_[1+(√2)a, 1+(√2)b]
= (3/8√2){log(1+(√2)b)-log(1+(√2)a)-1/(1+(√2)b)+1/(1+(√2)a)}
題意の定積分をwolframe alphaに計算させると、途中経過は分かりませんが結果は1.32ぐらいの値になります。
そして、上記の A+B+C の値も同じ値になるようなので、計算は合っているものと思います。
A+B+C に a = (√(5-√21))/2, b = (√(10-2√19))/2 を代入しても余り綺麗な式にはならなかったので、
これ以上の計算は断念しました。全体的にもっと上手い計算方法があるのかもしれませんが・・・。
長文失礼しました。
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積分不等式(1)
