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■52860 / 親記事)  定積分
□投稿者/ 1000 一般人(1回)-(2025/05/08(Thu) 19:02:26)
    ∫[0→π/18]cos(x-π/6)sin(x)cos(x+π/6)dx
    の求め方を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52861 / ResNo.1)  Re[1]: 定積分
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2025/05/09(Fri) 01:05:25)
    ∫[0〜π/18]cos(x-π/6)sin(x)cos(x+π/6)dx
    =∫[0〜π/18]sin(x){cos(x+π/6)cos(x-π/6)}dx
    =∫[0〜π/18]sin(x){(1/2){cos(2x)+cos(π/3)}}dx
    =∫[0〜π/18]sin(x){(1/2){2(cos(x))^2-1+(1/2)}}dx
    =∫[0〜π/18]sin(x)(cos(x))^2-(1/4)sin(x)dx
    =[-(cos(x))^3/3+(1/4)cos(x)][0〜π/18]
    =(1/12)[-4(cos(x))^3+3cos(x)][0〜π/18]
    =(1/12)[-cos(3x)][0〜π/18]
    =(1/12)(-(√3/2)+1)
    =(2-√3)/24
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52862 / ResNo.2)  Re[2]: 定積分
□投稿者/ 1000 一般人(2回)-(2025/05/09(Fri) 07:27:22)
    ありがとうございます&#128557;
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52857 / 親記事)  二次関数の9に等しい桁
□投稿者/ ポイントカード 一般人(1回)-(2025/05/06(Tue) 20:57:07)
    a,bを任意の正の整数としf(x)=x^2+ax+bとします
    正の整数からなる増加数列c[n]でn→∞のとき
    (f(c[n])の桁のうち9であるものの個数)/(f(c[n])の桁数) → 1
    となるものは存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52859 / ResNo.1)  Re[1]: 二次関数の9に等しい桁
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2025/05/07(Wed) 00:26:59)
    もしaとbを任意に決めて良いのであれば、
    a=4, b=3, c[n]=10^n-2 (8,98,998,9998,…)
    とすればf(c[n])は9を2n個並べた数になりますので、存在します。
    ※この例では(9の桁の数)/(桁数)は常に1です。

    もし任意のa,bに対してそのようなc[n]は存在するか、という意味でしたら
    私には難しくて答えられませんが、おそらくは存在すると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52850 / 親記事)  ベクトル
□投稿者/ ホットプレート 一般人(1回)-(2025/05/05(Mon) 14:25:01)
    以下の条件を満たす平面上の3点A,B,Cは存在するのでしょうか?

    ・A,B,Cは三角形をなし、△ABCは平面の原点Oを内部に含む
    ・Oから見た位置ベクトルをA(↑a),B(↑b),C(↑c)とすると平面上に以下のような点P(↑p)が存在する:
    ↑p=x↑a+y↑b+z↑c ならば x,y,zのどれかは負
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52851 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2025/05/05(Mon) 16:04:17)
    存在しません。
    Pが平面上のどこにあっても必ず非負実数x,y,zで↑p=x↑a+y↑b+z↑cと書けます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52853 / ResNo.2)  Re[2]: ベクトル
□投稿者/ ホットプレート 一般人(3回)-(2025/05/05(Mon) 18:15:08)
    ありがとうございます。

    もしかして、下の条件から△ABCは平面の原点Oを内部に含まない、ということが導けるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52855 / ResNo.3)  Re[3]: ベクトル
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2025/05/05(Mon) 23:36:22)
    ある点Pでどれかが必ず負
    →「x,y,zがすべて非負」で平面全体を覆えない
    →A,B,Cがすべて、点Oを通るある直線に関して同じ側または直線上にある
    →原点Oは△ABCの辺上または外部
    ということになるかと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52856 / ResNo.4)  Re[4]: ベクトル
□投稿者/ ホットプレート 一般人(4回)-(2025/05/06(Tue) 09:20:26)
    ありがとうございます
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52844 / 親記事)  式の値を求める
□投稿者/ 健作 一般人(1回)-(2025/05/02(Fri) 20:19:36)
    をみたす実数で







    をみたしているとき



    の値とその求め方を教えてください
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52845 / ResNo.1)  Re[1]: 式の値を求める
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2025/05/03(Sat) 14:58:58)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    cx = ca/b-bc/a
    ay = ab/c-ca/b
    bz = bc/a-ab/c
    ⇒ cx+ay+bz = 0・・・・・(1)

    (1/c)x = a/(bc)-b/(ca)
    (1/a)y = b/(ca)-a/(ab)
    (1/b)z = c/(ab)-a/(bc)
    ⇒ (1/c)x+(1/a)y+(1/b)z = 0・・・・・(2)

    p = a/b+b/a, q = b/c+c/b, r = c/a+a/cとおくと、
    p+x = 2a/b, q+y = 2b/c, r+z = 2c/a
    ⇒ (p+x)(q+y)(r+z) = (2a/b)(2b/c)(2c/a)
    ⇒ pqr+pyz+qzx+rxy+pqz+qrx+rpy+xyz = 8・・・・・(3)

    pqr = (a/b+b/a)(b/c+c/b)(c/a+a/c)
    = (a/b)(b/c)(c/a)+(a/b)(b/c)(a/c)+(a/b)(c/b)(c/a)+(a/b)(c/b)(a/c)
    +(b/a)(b/c)(c/a)+(b/a)(b/c)(a/c)+(b/a)(c/b)(c/a)+(b/a)(c/b)(a/c)
    = 1+(a/c)^2+(c/b)^2+(a/b)^2+(b/a)^2+(b/c)^2+(c/a)^2+1
    = (a/b-b/a)^2+(b/c-c/b)^2+(c/a-a/c)^2+8
    = x^2+y^2+z^2+8・・・・・(4)

    (1)(2)より、
    0 = (cx+ay+bz)(x/c+y/a+z/b)
    = x^2+y^2+z^2+(c/a+a/c)xy+(a/b+b/a)yz+(b/c+c/b)zx
    = x^2+y^2+z^2+rxy+pyz+qzx・・・・・(5)

    (3)(4)(5)より、
    (x^2+y^2+z^2+8)-(x^2+y^2+z^2)+pqz+qrx+rpy+xyz = 8
    ⇒ pqz+qrx+rpy = -xyz・・・・・(6)

    (5)(6)より、
    (x^2+y^2+z^2)^2 = (rxy+pyz+qzx)^2
    ⇒ x^4+y^4+z^4+2{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2} = (rxy)^2+(pyz)^2+(qzx)^2+2xyz(rpy+pqz+qrx)
    ⇒ x^4+y^4+z^4 = (r^2-2)(xy)^2+(p^2-2)(yz)^2+(q^2-2)(zx)^2+2xyz(-xyz)

    ここで、
    p^2-2 = (a/b+b/a)^2-2 = (a/b)^2+(b/a)^2 = (a/b-b/a)^2+2 = x^2+2
    同様に、q^2-2 = y^2+2, r^2-2 = z^2+2ですので、
    ⇒ x^4+y^4+z^4 = (z^2+2)(xy)^2+(x^2+2)(yz)^2+(y^2+2)(zx)^2-2(xyz)^2
    ⇒ x^4+y^4+z^4-(xyz)^2 = 2{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2}
    ⇒ {x^4+y^4+z^4-(xyz)^2}/{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2} = 2

    # もっと上手い計算方法があるのかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52846 / ResNo.2)  Re[2]: 式の値を求める
□投稿者/ 健作 一般人(2回)-(2025/05/03(Sat) 22:36:20)

    ありがとうございます

    すごい…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52848 / ResNo.3)  Re[1]: 式の値を求める
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2025/05/03(Sat) 23:46:51)
    条件から
    x=a/b-b/a=(a^2-b^2)/(ab)
    y=b/c-c/b=(b^2-c^2)/(bc)
    z=c/a-a/c=(c^2-a^2)/(ca)

    x^2+y^2-z^2
    =(a^2-b^2)^2/(ab)^2+(b^2-c^2)^2/(bc)^2-(c^2-a^2)/(ca)^2
    ={(a^2-b^2)^2*c^2+(b^2-c^2)^2*a^2-(c^2-a^2)^2*b^2}/(abc)^2
    ={(a^2-b^2)^2*c^2+(b^4-2b^2c^2+c^4)*a^2-(c^4-2c^2a^2+a^4)*b^2}/(abc)^2
    ={(a^2-b^2)^2*c^2+(b^4+c^4)*a^2-(c^4+a^4)*b^2}/(abc)^2
    ={(a^2-b^2)^2*c^2+(a^2-b^2)c^4+(a^2b^4-a^4b^2)}/(abc)^2
    ={(a^2-b^2)^2*c^2+(a^2-b^2)c^4+(b^2-a^2)a^2b^2}/(abc)^2
    =-{(a^2-b^2)((b^2-a^2)c^2-c^4+a^2b^2}/(abc)^2
    =-{(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2+a^2)}/(abc)^2
    =-(a^2-b^2)/(ab)・(b^2-c^2)/(bc)・(c^2+a^2)/(ca)
    =-xy・(c^2+a^2)/(ca)

    (x^2+y^2-z^2)^2=x^2y^2・(c^2+a^2)^2/(ca)^2
    =x^2y^2・(c^4+2c^2a^2+a^4)/(ca)^2
    =x^2y^2・(c^4-2c^2a^2+a^4+4c^2a^2)/(ca)^2
    =x^2y^2・{(c^2-a^2)^2/(ca)^2+4}
    =x^2y^2(z^2+4)

    x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^2y^2z^2+4x^2y^2
    x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^2y^2z^2
    x^4+y^4+z^4-x^2y^2z^2=2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
    ∴(x^4+y^4+z^4-x^2y^2z^2)/(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52849 / ResNo.4)  Re[2]: 式の値を求める
□投稿者/ 健作 一般人(4回)-(2025/05/04(Sun) 12:04:26)
    ありがとうございます

    なるほど…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52843 / 親記事)  難しい積分
□投稿者/ 智恵袋 一般人(1回)-(2025/05/02(Fri) 19:39:50)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13314153288
    この積分の求め方を教えて下さい。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52891 / ResNo.1)  Re[1]: 難しい積分
□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2025/06/10(Tue) 15:12:16)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    I = ∫[√(2/5), 2/√5]{√{(1+√(x^4-x^2+1))/(x^6-x^8)}}dx とおきます。
    x = 1/√t と置換すると、dx = (-1/2)(t^(-3/2))dt で積分範囲は [5/2, 5/4] となります。

    (1+√(x^4-x^2+1))/(x^6-x^8)
    = (1+√(1/(t^2)-1/t+1))/(1/(t^3)-1/(t^4))
    = (t^3)(t+√(1-t+t^2))/(t-1)
    = (t^3)(t^2-(1-t+t^2))/{(t-1)(t-√(1-t+t^2))}
    = (t^3)(t-1)/{(t-1)(t-√(1-t+t^2))}
    = (t^3)/(t-√(1-t+t^2))

    よって、
    I = ∫[5/2, 5/4]{√{(t^3)/(t-√(1-t+t^2))}}(-1/2)(t^(-3/2))dt
    = (1/2)∫[5/4, 5/2]{1/√(t-√(1-t+t^2))}dt

    更に t-u^2 = √(1-t+t^2) と置換すると、
    t^2-2(u^2)t+u^4 = 1-t+t^2
    ⇒ (1-2u^2)t = 1-u^4
    ⇒ t = (1-u^4)/(1-2u^2)
    # u^2 = 1/2 と仮定すると、t^2-2(u^2)t+u^4 = 1/4-t+t^2 = 1-t+t^2 と矛盾する為。

    t-√(1-t+t^2) = t-(t-u^2) = u^2

    (d/dt)u^2 = 1-(1/2)(2t-1)/√(1-t+t^2)
    = 1-(2t-1)/{2(t-u^2)}
    = {2(t-u^2)-(2t-1)}/{2(t-u^2)}
    = (1-2u^2)/{2(1-u^4)/(1-2u^2)-2u^2}
    = {(1-2u^2)^2}/{2(1-u^4)-(2u^2)(1-2u^2)}
    = {(1-2u^2)^2}/(2-2u^2+2u^4)
    ⇒ {4u(1-u^2+u^4)/{(1-2u^2)^2}}du = dt

    上記から
    (d/dt)u^2 = 1-(1/2)(2t-1)/√(1-t+t^2)
    = 1-(t-1/2)/√(3/4+(t-1/2)^2)
    > 1-(t-1/2)/√((t-1/2)^2)
    = 0
    なので、tが増加するときu^2も単調増加です。

    uの積分範囲は t = 5/4 のとき
    u^2 = 5/4-√(1-5/4+25/16) = 5/4-√((16-20+25)/16) = (5-√21)/4
    ⇒ u = (√(5-√21))/2 = a とおきます。

    t = 5/2 のとき
    u = 5/2-√(1-5/2+25/4) = 5/2-√((4-10+25)/4) = (5-√19)/2
    ⇒ u = (√(10-2√19))/2 = b とおきます。

    # 不安なので検算します。
    # (5-√19)/2-(5-√21)/4 = (5-2√19+√21)/4 > (5-2√20+√20)/4 = (5-2√5)/4 > 0

    I = (1/2)∫[a, b]{1/u}{4u(1-u^2+u^4)/{(1-2u^2)^2}}du
    = (1/2)∫[a, b]{(4-4u^2+4u^4)/(1-4u^2+4u^4)}du
    = (1/2)∫[a, b]{1+3/(1-4u^2+4u^4)}du

    被積分関数を部分分数に分解します。
    1/(1-2u^2) = 1/{(1-(√2)u)(1+(√2)u)} = (1/2){1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}
    ⇒ 1/{(1-2u^2)^2} = (1/4){1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}^2
    = (1/4){1/{(1-(√2)u)^2}+2/{(1-(√2)u)(1+(√2)u)}+1/{(1+(√2)u)^2}}
    = (1/4){1/{(1-(√2)u)^2}+1/{(1+(√2)u)^2}+1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}

    p = 1-(√2)u, q = 1+(√2)u とおくと、du = (-1/√2)dp = (1/√2)dq です。
    1-2u^2 = (1-(√2)u)(1+(√2)u) ≧ 1-2b^2 = 1-(5-√19) = √19-4 > 0 です。
    u > 0 ですから、p = 1-(√2)u > 0 かつ q = 1+(√2)u > 0 といえます。

    A = (1/2)∫[a, b]du = (b-a)/2
    B = (3/8)∫[1-(√2)a, 1-(√2)b]{1/{(1-(√2)u)^2}+1/(1-(√2)u)}du
    C = (3/8)∫[1+(√2)a, 1+(√2)b]{1/{(1+(√2)u)^2}+1/(1+(√2)u)}du
    とおくと、I = A+B+C です。

    B = (3/8)∫[1-(√2)a, 1-(√2)b]{1/(p^2)+1/p}(-1/√2)dp
    = (3/8√2)[-1/p+log(p)]_[1-(√2)b, 1-(√2)a]
    = (3/8√2){log(1-(√2)a)-log(1-(√2)b)+1/(1-(√2)b)-1/(1-(√2)a)}

    C = (3/8)∫[1+(√2)a, 1+(√2)b]{1/(q^2)+1/q}(1/√2)dq
    = (3/8√2)[-1/q+log(q)]_[1+(√2)a, 1+(√2)b]
    = (3/8√2){log(1+(√2)b)-log(1+(√2)a)-1/(1+(√2)b)+1/(1+(√2)a)}

    題意の定積分をwolframe alphaに計算させると、途中経過は分かりませんが結果は1.32ぐらいの値になります。
    そして、上記の A+B+C の値も同じ値になるようなので、計算は合っているものと思います。
    A+B+C に a = (√(5-√21))/2, b = (√(10-2√19))/2 を代入しても余り綺麗な式にはならなかったので、
    これ以上の計算は断念しました。全体的にもっと上手い計算方法があるのかもしれませんが・・・。

    長文失礼しました。
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■52892 / ResNo.2)  Re[2]: 難しい積分
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2025/06/10(Tue) 17:11:45)
    同じ値になっているようですね。
    WolframAlphaでは短い桁数しか得られないようですが、Pari/GPを使うと
    1.3205397285378648116075198430985816391362542655890234416958000760311016204193874…
    のように必要な桁数の値が得られます。
    そしてWIZさんが書かれた式に具体値を代入して多桁を計算してもやはり
    1.3205397285378648116075198430985816391362542655890234416958000760311016204193874…
    となり、ピタリ同じ値が得られます。
    で、A+B+Cをゴリゴリ計算してみたところ
    {6log(√7-2)+6log(5+2√19+2√(23+5√19))-9log(3)+4√(47+5√19)-4√7}/(16√2)
    となりました。これ以上簡単になりそうな気はしません。

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