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■52280 / 親記事)  期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(1回)-(2023/09/01(Fri) 11:25:45)
    2023/09/01(Fri) 17:25:13 編集(投稿者)

    nを正の整数とします。
    0以上n以下の整数を無作為に1つ選び記録するという試行を繰り返します。
    第k回目の試行において記録された整数をa_kとします(k=1,2,3,...)。
    a_1, a_2, a_3, a_4, ......, a_k, ...... について、
    初めてa_{k-1}<a_kとなる番号kの期待値と、
    そのときのa_kの期待値を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52294 / ResNo.1)  Re[1]: 期待値
□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)
    a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
    E(X)
    =Σ[j=1〜∞]j*P(X=j)
    =Σ[j=1〜∞]([h=1〜j]1)*P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞][j=h〜∞]P(X=j)
    =Σ[h=1〜∞]P(X≧h)
    =Σ[h=0〜∞]P(X>h)
    =Σ[h=0〜∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
    =((n+1)^n)*Σ[h=0〜∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
    =((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
    =((n+1)/n)^(n+1).

    a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
    E(Y)
    =Σ[j=1〜n]j*P(Y=j)
    =Σ[j=1〜n]j*Σ[s=2〜∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
    =(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1〜n]j*(1-(n/(n+1))^j)
    =n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52295 / ResNo.2)  Re[2]: 期待値
□投稿者/ ハリス 一般人(2回)-(2023/09/04(Mon) 20:21:42)
    教えていただき、ありがとうございました。
解決済み!
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■52275 / 親記事)  複素数と図形
□投稿者/ sato 一般人(1回)-(2023/08/24(Thu) 20:43:57)
    異なる複素数α、β、γが2α^2+β^2+γ^2-2αβ-2αγ=0を満たすとき、
    (1) (γ-α)/(β-α) の値を求めよ。
    (2) 複素数平面上で、3点A(α)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCはどのような三角形か。
    (3)α、β、γがxの3次方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)の解であるとき、α、β、γおよびkの値を求めよ。

    という問題です。

    (3)が質問です。

    解答の最初では以下のようになっています。

     @からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。
    よって、方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。
     【@とは(1)の解答の中で、(γ-α)/(β-α)=±i とあります】

    質問1
     「@からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。」

     これは、少なくとも1つが虚数でなければ、iが出てこないからという理解でよいでしょうか。

    質問2
      「方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。」

     この説明で、例えば、「1つが虚数解で、2つが実数解」ということはありえないのでしょうか。

    以上2点よろしくお願いいたします。


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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52276 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数と図形
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2023/08/24(Thu) 22:05:51)
    質問1はその考え方でOKです。
    質問2に関して
    実数係数三次方程式の解は
    ・実数解1つのみ
    ・実数解2つのみ
    ・実数解3つのみ
    ・実数解1つと虚数解2つ
    の場合しかあり得ません。
    なぜなら、実数係数n次方程式において
    x=a+bi(b≠0)が解であるとき、x=a-biも必ず解になるからです。
    これにより、虚数解は必ず偶数個となります。

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■52264 / 親記事)  大学の積分の問題です
□投稿者/ ウリウリ 一般人(1回)-(2023/08/15(Tue) 15:53:00)
    ∫[0→1]{√(1-x^2)logx}/x^2+b dx
    ※括弧()内のみルートの中に入っています

    この問題が解く方針を教えていただきたいです

    広義積分を使います
    最初にエックスをcostに置換し、その後部分積分をするという方針で進めていたのですが、手が止まってしまいました

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■52261 / 親記事)  整数の例
□投稿者/ うさぽよ 一般人(2回)-(2023/08/15(Tue) 11:42:01)
    以下の条件を全て満たす整数m,p,qの例をいくつかご教示下さい。
    [  ] はガウス記号です。

    条件
    ・pとqは相異なる素数
    ・m>pq
    ・[m/p][m/q]=m[m/(pq)]
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■52263 / ResNo.1)  Re[1]: 整数の例
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2023/08/15(Tue) 14:04:33)
    任意の異なる素数p,qと任意の2以上の自然数nに対してm=npqとすれば成り立つと思います。
    よって具体例を挙げるなら、例えば
    (m,p,q)=(12,2,3),(18,2,3),(24,2,3),…,
    (20,2,5),(30,2,5),(40,2,5),…,
    (30,3,5),(45,3,5),(60,3,5),…


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■52271 / ResNo.2)  Re[2]: 整数の例
□投稿者/ うさぽよ 一般人(3回)-(2023/08/21(Mon) 22:47:05)
    ありがとうございます。
    もう一つ教えて下さい。
    次の命題は正しいですか?

    命題
    相異なる素数p,qと、正の整数m(≧pq)が
    [m/p][m/q]=m[m/(pq)]
    を満たすならば、mには素因数が2個以上存在する。
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■52272 / ResNo.3)  Re[3]: 整数の例
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2023/08/21(Mon) 23:19:17)
    「素因数が2個以上存在」は「合成数」という意味ではなく
    「相異なる2個以上の素因数が存在」という意味ですよね?
    それならば、(m,p,q)=(8,2,3)が反例となります。

    # もし「合成数」という意味ならば、明らかに成り立ちます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52273 / ResNo.4)  Re[4]: 整数の例
□投稿者/ うさぽよ 一般人(4回)-(2023/08/22(Tue) 02:20:20)
    そうです、わかりにくくてすみません。
    反例ありがとうございました!
解決済み!
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■52254 / 親記事)  位相数学
□投稿者/ 数学 一般人(1回)-(2023/07/28(Fri) 10:11:38)
    位相数学なんですが、わかる方いらっしゃいますか???
850×173 => 250×50

IMG_4445.jpeg
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