数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 32]

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■50210 / 親記事)

　複素積分の絶対値の評価

□投稿者/ 3316 一般人(6回)-(2020/02/07(Fri) 08:40:57)

2020/02/07(Fri) 09:50:33 編集(投稿者)

　添付図の第1行

　　|∫[0→π]i/(R^3･e(3iθ)+1) dθ|≦∫[0→π]|i/(R^3･e(3iθ)+1) dθ|

で、右辺が左辺より大きくなる場合を教えてください。

　　∫[0→π]i/(R^3･e(3iθ)+1) dθ

は、複素平面上で原点を中心とする半径Rの円に沿った積分です。

　たとえば

　　|∑[k=0→N]zk|
　= |z0 + z1 + …… zk| ≦ |z0| + |z1| + …… |zk|
　　　　　　　　　　　　 = ∑[k=0→N]|zk|
からのアナロジーで納得すればいいんですかね？

630×255 => 250×101

_____001.png/17KB

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50211 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素積分の絶対値の評価

□投稿者/ m 一般人(2回)-(2020/02/07(Fri) 11:20:32)

どんな"場合"が要求されているのかよく分かりません（もう少し詳しく書いてください。）が、例えば

$2$f(z) = z$ の単位円 $2$C: z=e^{i \theta} \ (0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ 上の線積分を考えると

$2$|\displaystyle\int_C f(z) dz| = | \displaystyle\int_0^{2 \pi} f(e^{i \theta}) i e^{i \theta} d \theta | \leq \displaystyle\int_0^{2 \pi} |f(e^{i \theta}) i e^{i \theta} d \theta |$

の左辺は $2$0$ 、右辺は $2$2 \pi$ になります。
ちなみに $2$f(z) = z^n \ (n \neq -1)$ としても、上と同じ結果が成り立ちます。

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■50212 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素積分の絶対値の評価

□投稿者/ 3316 一般人(7回)-(2020/02/07(Fri) 13:02:16)

　ああ、なるほど。
　丁寧な回答まことにありがとうございました。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■50206 / 親記事)

　リーマン積分可能性

□投稿者/ もけ一般人(1回)-(2020/01/22(Wed) 12:38:48)

一変数関数f(x)とg(y)がそれぞれ[a,b]と[c,d]でリーマン積分可能なとき、二変数関数f(x)g(y)が[a,b]×[c,d]で積分可能で、その値がf(x)とg(y)をそれぞれリーマン積分したものの積に等しいことを示せ。

この問題がわかりません。リーマン和から考えてみたのですが、二重極限をどうするかなど、完全に手が止まってます。リーマン和から話を進めるやり方で教えてください

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50207 / ResNo.1)

　Re[1]: リーマン積分可能性

□投稿者/ m 一般人(1回)-(2020/01/23(Thu) 18:36:07)

$2$J = [a, b], \ K = [c, d], \ I = J \times K$ とし、 $2$I$ の分割 $2$\Delta$ とその代表点 $2$\xi$ にたいし関数 $2$h(x, y) = f(x) g(y)$ のリーマン和を $2$S(h, \Delta, \xi)$ とかく。

$2$\lim_{|\Delta| \to 0} S(h, \Delta, \xi) = \displaystyle\int_J f \times \displaystyle\int_K g$
が代表点の取り方に依存せず成り立つことを示す。

分割 $2$\Delta$ とその代表点 $2$\xi$ を固定する。
記号の確認：
$2$\Delta = \{J_i \times K_j \}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$
$2$\xi = \{(\lambda_{i,j}, \mu_{i, j}) \in J_i \times K_j \}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$
また $2$v(A)$ でAの体積を表す。（たとえば $2$v(I) = (b-a)(d-c)$ ）

ちゃんと書くと長いので要点ぽいところだけ書きます。

$2$f, g$ は有界より $2$\exists M \gt 0, |f| \lt M , |g| \lt M$ が成り立つ。

新たに代表点 $2$\bar{\xi}$ を
$2$J$ の分割 $2$\Delta_x := \{J_i \}_i$ の新しい代表元 $2$\bar{\lambda} = \{\bar{\lambda_i} \}_i$ と
$2$K$ の分割 $2$\Delta_y := \{K_j \}_j$ の新しい代表元 $2$\bar{\mu} = \{\bar{\mu_j} \}_j$ を使って
$2$\bar{\xi} = \{(\bar{\lambda_i}, \bar{\mu_j}) \}_{i, j}$ で定めます。

このとき次が成り立ちます。

1. $2$S(h, \Delta, \bar{\xi}) = S(f, \Delta_x, \bar{\lambda}) S(g, \Delta_y, \bar{\mu}) \to \displaystyle\int_J f \times \displaystyle\int_K g$

2. $2$|S(h, \Delta, \xi) - S(h, \Delta, \bar{\xi})| \leq M v(J) (S(g, \Delta_x) - s(g, \Delta_x)) + M v(K) (S(f, \Delta_y) - s(f, \Delta_y)) \to 0$

（ただし $2$S(g, \Delta_x)$ は過剰和、 $2$s(g, \Delta_x)$ は不足和。）

1のヒント：
代表点がx, yでそろっている（格子点のようになっている）ので二重のΣがΣの積に分解できます。

2のヒント：
$2$|f(\lambda_{i, j})g(\mu_{i, j}) - f(\bar{\lambda_i})g(\bar{\mu_j})| \leq |f(\lambda_{i, j})g(\mu_{i, j}) - f(\lambda_{i, j})g(\bar{\mu_j})| + |f(\lambda_{i, j})g(\bar{\mu_j}) - f(\bar{\lambda_i})g(\bar{\mu_j})|$
$2$ \cdots \leq M|g(\mu_{i, j}) - g(\bar{\mu_j})| + M|f(\lambda_{i, j}) - f(\bar{\lambda_i})|$

1, 2が示せれば２つを組み合わせて証明完了です。
わからないことがあれば聞いてください。

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■50208 / ResNo.2)

　Re[2]: リーマン積分可能性

□投稿者/ もけ一般人(2回)-(2020/01/23(Thu) 22:29:27)

ご返事ありがとうございます。後半の方はなんとか自分で理解できそうです。ただ、一番最初のf,gの有界について、これはリーマン積分可能⇒有界ということでしょうか？これは必ず成立するのでしょうか？

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■50209 / ResNo.3)

　Re[3]: リーマン積分可能性

□投稿者/ もけ一般人(3回)-(2020/01/24(Fri) 00:07:34)

すみません、勘違いしていました。解決しました。本当にありがとうございます！

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■50205 / 親記事)

　デデキントの切断による実数の構成

□投稿者/ あーは一般人(1回)-(2020/01/19(Sun) 19:17:06)

この体について教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

問い　以下の演算が well-defined であり, Q の演算の拡張であることを示せ.

演算: 2つの実数(A1,A2)と(B1,B2)の和(A1,A2)+(B1,B2)=(C1,C2)をつぎのように定義する:
C2={x+y􏰇􏰇｜x∈A2,y∈B2}, C1=Q\C2
def def
(A1, A2) 􏰆 0, (B1, B2) 􏰆 0 の場合に積 (A1, A2) · (B1, B2) = (D1, D2) を次のように定義する

D2={xy􏰇􏰇｜x∈A2,y∈B2}, D1=Q\D2
def def

一般の場合には, α < 0, β ⩾ 0; α ⩾ 0, β < 0 α < 0, β < 0 に応じて, それぞれ　　　　
αβ = －((－α)β); αβ = －(α(－β)); αβ = (－α)(－β) と定義する.

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■50203 / 親記事)

　ベルトラン・チェビチェフの定理について。

□投稿者/ コルム一般人(2回)-(2020/01/02(Thu) 20:09:09)

ベルトラン・チェビチェフの定理をわかりやすく証明していただけないでしょうか？教えていただけると幸いなのですが。すみません。

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■50201 / 親記事)

　ガウスの発散定理

□投稿者/ らむぱる一般人(1回)-(2019/12/29(Sun) 13:51:00)