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■51975 / 親記事)  解析学
□投稿者/ 数学を勉強する者 一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 15:22:20)
    (1-z)^(-k-1)=Σ(n=k→∞)(n,k)z^(n-k)
    (n,k)は二項係数
    kは0以上の整数で、開円板B(0;1)で成り立つことの証明を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51977 / ResNo.1)  Re[1]: 解析学
□投稿者/ なか卯 一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 20:46:54)
    (1/(1-z))^(k+1)
    =(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+…)^(k+1)
    =(k,k)+(k+1,k)z+(k+2,k)z^2+(k+3,3)z^3+(k+4,k)z^4+(k+5,5)z^5+…
    =Σ[n=k→∞](n,k)z^(n-k)

    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51973 / 親記事)  二等辺三角形
□投稿者/ 扇 一般人(1回)-(2022/10/11(Tue) 00:19:42)
    三角形OABはOA=OB=(√5)/3,AB=1の二等辺三角形で
    辺OAの中点をM, 線分BMを2:3に内分する点をPとする。
    Pから辺OBに下ろした垂線の足をHとするとき、
    線分BHの長さを求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51974 / ResNo.1)  Re[1]: 二等辺三角形
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2022/10/11(Tue) 07:48:56)
    1÷2=1/2、√((√5/3)^2-(1/2)^2)=√11/6 なので
    O(0,√11/6), A(-1/2,0), B(1/2,0) とおける。
    このとき M=(O+A)/2 なので M(-1/4,√11/12)
    Mから直線OBに下した垂線の足をCとすると、条件からBH=(2/5)BC
    (点Pの座標を求める必要はない)
    直線OBの傾きは (√11/6-0)/(0-1/2)=-√11/3 なので
    直線MCの傾きは 1/(-√11/3)=3√11/11
    直線OB上の点は((1-t)/2,t√11/6)と表せるので
    直線OBに直交する直線は y=(3√11/11)(x-(1-t)/2)+t√11/6 と書ける。
    この直線がMを通るとき(x,y)=(-1/4,√11/12)を代入してtを求めると
    t=19/20となるので、Cの座標は((1-t)/2,t√11/6)にt=19/20を代入して
    C(1/40,19√11/120)
    このときBC=√((1/40-1/2)^2+(19√11/120-0)^2)=19√5/60
    となるので、BH=(2/5)BC=19√5/150

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51976 / ResNo.2)  Re[2]: 二等辺三角形
□投稿者/ 扇 一般人(2回)-(2022/10/11(Tue) 20:31:26)
    すごく分かりやすかったです
    ありがとうございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51972 / 親記事)  距離空間
□投稿者/ 滝川 一般人(1回)-(2022/10/10(Mon) 14:35:01)
    dを実数のユークリッド距離とし、U={x∈R | x≧0}とする。
    d_U(x,y)=|x-y| としたとき、Uの部分集合S=[0,1]に対して、(U, d_U)において、
    Sの内部は[0,1)で、Sの境界は{1}になることはどうやって示せばよいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52134 / ResNo.1)  Re[1]: 距離空間
□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2023/03/26(Sun) 21:19:32)
    a∈U
    ε>0
    に対して
    B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
    をaのε近傍という

    G⊂U
    に対して
    任意の
    a∈G
    に対して
    B(a,ε)⊂G
    となるようなε>0が存在するとき
    GはUの開集合と定義する

    a∈[0,1)
    とする
    ε=(1-a)/2
    とする
    a<1だから
    1-a>0だから
    ε=(1-a)/2>0
    となる
    x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
    とすると
    |x-a|<(1-a)/2
    0≦x<a+(1-a)/2=(1+a)/2<1
    だから
    x∈[0,1)
    だから
    B(a,ε)⊂[0,1)
    だから
    [0,1)はUの開集合となる

    任意のε>0に対して
    x=1+(ε/2)
    とすると
    |x-1|=ε/2<ε
    だから
    x∈B(1,ε)
    x>1だから
    x∈B(1,ε)-S
    だから
    B(1,ε)⊂Sでないから
    SはUの開集合でないから
    Sの内部(Sに含まれる最大開集合)は[0,1)となる

    a∈U-S
    とする
    a∈U-S={x|x>1}だから
    a>1
    となる
    ε=(a-1)/2
    とすると
    ε=(a-1)/2>0
    x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
    とすると
    |x-a|<(a-1)/2
    a-(a-1)/2<x
    1<(a+1)/2<x
    だから
    x∈{x|x>1}=U-S
    だから
    B(a,ε)⊂U-S
    だから
    U-SはUの開集合だから
    SはUの閉集合となる
    SはSの閉包
    {1}=S-[0,1)
    だから
    Sの境界(閉包と内部の差)は{1}

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51966 / 親記事)  多項式
□投稿者/ st 一般人(1回)-(2022/10/09(Sun) 08:34:47)
    (a-p)(b-q)(c-r)(d-s)
    を展開して出てくる16項のうちpqrsをのぞく全ての項が0で
    さらにa=p=0でもb=p=0でもc=r=0でもd=s=0でもないとき
    a,b,c,dの求め方を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■51967 / ResNo.1)  Re[1]: 多項式
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2022/10/09(Sun) 09:41:02)
    「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開して出てくる16項のうちpqrsをのぞく全ての項が0」とは
    「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開するとpqrsになる」という意味ですか?
    もしそうならa=b=c=d=0しかないと思いますが。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51968 / ResNo.2)  Re[2]: 多項式
□投稿者/ st 一般人(2回)-(2022/10/09(Sun) 10:14:09)
    ありがとうございます

    「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開して出てくる16項のうちpqrsをのぞく全ての項が0」
    ならば
    「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開するとpqrsになる」
    にはなります。

    逆がいえるかはちょっと私にはわからないです…


    >もしそうならa=b=c=d=0しかないと思います
    私にはあまりピンとこないので証明を教えてほしいです
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51970 / ResNo.3)  Re[3]: 多項式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2022/10/09(Sun) 18:37:39)
    2022/10/09(Sun) 18:44:32 編集(投稿者)

    少し誤解していましたが、
    abcd=abcs=abrd=abrs=aqcd=aqcs=aqrd=aqrs=pbcd=pbcs=pbrd=pbrs=pqcd=pqcs=pqrd=0
    かつ |a|+|p|≠0 かつ |b|+|p|≠0 かつ |c|+|r|≠0 かつ |d|+|s|≠0
    のときにa,b,c,dの値は?
    という意味ですね?

    それならばb=q=0であればa,c,dがどんな値でも成り立ちますね。

    もし、質問のb=p=0がb=q=0の間違いならば問題は
    > abcd=abcs=abrd=abrs=aqcd=aqcs=aqrd=aqrs=pbcd=pbcs=pbrd=pbrs=pqcd=pqcs=pqrd=0
    > かつ |a|+|p|≠0 かつ |b|+|q|≠0 かつ |c|+|r|≠0 かつ |d|+|s|≠0
    > のときにa,b,c,dの値は?
    となり、この場合は
    abcd=0なのでa,b,c,dのうち少なくとも一つは0
    a=0とするとp≠0
    pbcd=0なのでb,c,dのうち少なくとも一つは0
    b=0とするとq≠0
    pqcd=0なのでc,dのうち少なくとも一つは0
    c=0とするとr≠0
    pqrd=0なのでd=0
    a,b,c,dのうち0を仮定する順番がどうであっても全部0になるから、a,b,c,d=0


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51971 / ResNo.4)  Re[4]: 多項式
□投稿者/ st 一般人(3回)-(2022/10/10(Mon) 09:03:45)
    ありがとうございます!!

解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51963 / 親記事)  無限級数
□投稿者/ 鍋 一般人(3回)-(2022/10/06(Thu) 14:13:22)
    以下の条件を全て満たす実数列{a[n]}(n=1,2,3,…,∞)の例を教えて下さい。

    ・どの2つの項も異なる。
    ・a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+…は無理数に収束する。
    ・a[1]-a[2]+a[3]-a[4]+a[5]-…は有理数に収束する。
    ・lim[n→∞]n*a[n]は収束しない。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51964 / ResNo.1)  Re[1]: 無限級数
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2022/10/06(Thu) 15:30:09)
    1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…=π/4 … (1)
    1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+…=log√2 … (2)
    (2)の第1項の1/2を1/2-log√2+π/4に変えれば
    (1/2-log√2+π/4)-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+…=π/4 … (3)
    よって
    a[2m-1]=1,-1/3,1/5,-1/7,1/9,-1/11,… (m≧1)
    a[2]=1/2-log√2+π/4
    a[2m]=-1/4,1/6,-1/8,1/10,-1/12,… (m≧2)
    とすれば
    Σa[2m-1]=Σa[2m]=π/4なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+…=π/2
    a[1]-a[2]+a[3]-a[4]+…=0
    またlim[n→∞]na[n]は±1で振動するので収束しない

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51965 / ResNo.2)  Re[2]: 無限級数
□投稿者/ 鍋 一般人(4回)-(2022/10/06(Thu) 15:51:59)
    ありがとうございます。
    とても助かりました!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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