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■51860 / 親記事) 　場合の数
□投稿者/ 場合の数 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 17:42:23)
    赤玉が3つあり、1,2,3の番号がふってある。
    白玉、青玉も3つずつあり、同様に1,2,3の番号がふられている。
    これらの9個の玉を横一列に並べるとき、k=1,2,…,9として
    左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数をa[k]個、
    左から数えてk番目に初めて3色が出揃う列の数をb[k]個とするとき
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9] と
    b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    の値の求め方を教えて下さい。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51861 / ResNo.1) 　Re[1]: 場合の数
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 18:54:59)
    a[k]=「左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数」
    =「左から数えてk番目以降に初めて3色が出揃う列」
    =b[k]+b[k+1]+b[k+2]+…+b[9]
    なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
    =(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
    　+(b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
    　+(b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
    　+…
    　+(b[9])
    =b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    となり、求める二つの値は同じであることがわかります。

    a[1]=9!=362880
    a[2]=9!=362880
    a[3]=9!=362880
    a[4]=9!-3^3×3!×6!=246240
    a[5]=6P4×3C2×5!=129600
    a[6]=6P5×3C2×4!=51840
    a[7]=6P6×3C2×3!=12960
    a[8]=0
    a[9]=0
    なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
    =b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    =1529280
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51862 / ResNo.2) 　Re[2]: 場合の数
□投稿者/ 場合の数 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 21:21:54)
    ありがとうございます！
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51857 / 親記事) 　式と直線の問題
□投稿者/ u 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 02:00:38)
    あるクラスの 5 人の身長と平均歩幅は次の通りであった。 ただし, 身長を x, 平均歩幅を y とし, 5 人の計測値を (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, 5 としている。

    i=1 xi=154 yi=69
    i=2 xi=158 yi=67
    i=3 xi=165 yi=75
    i=4 xi=152 yi=61
    i=5 xi=161 yi=73

    x と y の間には xy-平面上の直線 y = ax + b で表される関係があると仮定し、この直線の式を定める。直線上の点の x 座標が xi のとき y 座標を y&#710;i で表し,Σ[i=1→5](yi − y&#710;i)^2ができるだけ小さくなるようにしたい.

    問題 1 直線を求めるための方針を簡潔に説明しなさい.

    問題 2 関係式を求めなさい. 求める過程を詳細に示すこと.

    問題 3 求めた直線上の y = yi に対応する x 座標を zi とするとき zi の平均は xiの平均に等しくなることを示しなさい.


    問題１はi=2,3を外れ値にしてi=1,4,5の連立方程式を解いていく流れでいいでしょうか？
    問題２は問題１の連立方程式を解いていくだけでしょうか？
    問題３はxiもziも同じ値が同じ数あるので平均は等しくなるという解釈で間違ってないでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■51853 / 親記事) 　素数
□投稿者/ ナジャル 一般人(1回)-(2022/06/03(Fri) 23:24:06)
    pq-rs=pr+qs=t
    をみたす素数p,q,r,s,tを教えて下さい。
    求め方もよろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51854 / ResNo.1) 　Re[1]: 素数
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2022/06/04(Sat) 00:43:41)
    p,q,r,sがすべて奇素数とするとtが(2より大きい)偶数になって不適。
    またp,q,r,sのうち2つ以上が2だとするとpq-rsかpr+qsのうち少なくとも一つが
    偶数になって不適。従ってp,q,r,sのうちどれか一つだけが2。
    pq-rs=pr+qsはp(q-r)=s(q+r),q(p-s)=r(p+s)のように変形できるのでp,qは2ではない。
    rとsを入れ替えてpとqを入れ替えても式が成り立つので、
    s=2として解を求め、rとs、pとqを交換したものも解とすればよい。
    このときpq-2r=pr+2qすなわちp(q-r)=2(q+r)。
    q=6m+1かつr=6n+1とするとq-rが3で割り切れq+rが3で割り切れないので不適。
    q=6m-1かつr=6n-1のときも同じ。
    q=6m+1かつr=6n-1とするとq+rが3で割り切れるがq-rが3で割り切れないので
    p=3でなければならない。しかし3(q-r)=2(q+r)とするとr=5qとなり不適。
    q=6m-1かつr=6n+1のときも同じ。
    従ってqかrのいずれかは6k±1でない奇素数すなわち3でなければならない。
    p(q-r)=2(q+r)からq=3とすると左辺が0以下になり不適なので、
    r=3でなければならない。
    pq-rs=pr+qsにr=3,s=2を代入して整理すると(p-2)(q-3)=12となるので
    p=5,q=7と決まり、このときt=29。
    rとs、pとqの入れ替えも解なので、条件を満たす解は
    (p,q,r,s,t)=(5,7,3,2,29),(7,5,2,3,29)の2組。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51855 / ResNo.2) 　Re[2]: 素数
□投稿者/ ナジャル 一般人(2回)-(2022/06/04(Sat) 10:13:42)
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51852 / 親記事) 　必要十分条件
□投稿者/ age 一般人(1回)-(2022/06/02(Thu) 20:53:21)
    b^2-4ac≧0 かつ a+b+c＞k*max{a,b,c}
    をみたす実数a,b,cが存在するための
    実数kに関する必要十分条件ってどうなりますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■51856 / ResNo.1) 　Re[1]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 01:56:45)
http://www/youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    はじめまして。マシュマロと申します。

    みたところ、「ｋ＜９／４またはｋ＞４」が必要十分なのではないかと思います。
    以下、その説明です。


    Ｄ＝ｂ＾２−４aｃ，ｓ＝a＋ｂ＋ｃ，ｍ＝max｛a，ｂ，ｃ｝とおきます。

    （１）ｍ＝ｂの場合

    この場合、仮にｂ＜０ならばＤ＜０となって条件に反するので
    ｂ≧０です。

    ｂ＝０のとき、条件を満たすのはaｃ＝０のときで、
    このときはｓ≦０かつｍ＝０なので、ｓ＞ｋｍを満たすｋは
    存在しません。

    よってｂ＞０です。さらに場合分けします。

    （１‐１）aｃ≦０のとき

    このときはＤ＞０となり、条件が満たされます。
    a≧０として一般性を失いません。
    このとき、ｓはa＝ｂ，ｃ＝０のとき最大値２ｂをとります。
    よってｋ＜２ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

    （１‐２）a，ｃ＞０のとき

    Ｄ≧０となるのはaｃ≦ｂ＾２のときで、a，ｃ≦ｂの条件下においてｓは
    （a，ｃ）＝（ｂ，ｂ／４），（ｂ／４，ｂ）のとき、最大値９／４ｂを
    とります。
    よってｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

    （１‐３）a，ｃ＜０のとき

    a，ｃ→０とすることによりｓの上限はｂであることがわかります。
    よってｋ＜１ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

    よって、ｍ＝ｂの場合はｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ることがわかりました。


    （２）ｍ＝aの場合

    さらに場合分けします。

    （２‐１）a＝０のとき

    この場合はＤ≧０ですが、ｓ≦０，ｍ＝０なのでｓ＞ｋｍとはなり得ません。

    （２‐２）a＞０，ｃ≦０のとき

    この場合はＤ≧０が満たされます。
    ｓはｂ＝a，ｃ＝０のとき、最大値２aをとります。
    よってｋ＜２ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

    （２‐３）a＞０，ｃ＞０のとき

    Ｄ≧０よりｂ≧２√（aｃ）ですが、ｂ≦aよりｃ≦a／４です。
    よってｓは（ｂ，ｃ）＝（a，a／４）のとき、最大値９a／４をとります。
    従ってｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

    （２‐４）a＜０のとき

    ｍ＝aなのでｂ，ｃ≦aです。
    D≧０となるのはｂ≦−２√（aｃ）のときです。
    ｓは（ｂ，ｃ）＝（２a，a）のとき最大値４aをとります。
    よって、ｋ＞４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

    従ってｍ＝aの場合はｋ＜９／４またはｋ＞４ならば
    ｓ＞ｋｍとなり得ることがわかりました。


    （３）ｍ＝ｃのとき

    これは（２）の場合と同様なので、ｋ＜９／４またはｋ＞４のときに
    ｓ＞ｋｍとなり得ます。


    （１）〜（３）により、求める必要十分条件は
    「ｋ＜９／４またはｋ＞４」であることがわかりました。□


    以上のようになりました。
    場合分けが多いので合っているかどうかわかりませんが、
    参考になれば幸いです。
    ではでは☆

解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51858 / ResNo.2) 　Re[2]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 02:03:24)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    ■No51856に返信(マシュマロさんの記事)
    リンクミスしましたので再返信します。正しくはこちらのリンクです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51859 / ResNo.3) 　Re[2]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(3回)-(2022/06/05(Sun) 08:18:04)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    （１‐２）のときの最大値は９／４ｂとなっていますが、
    正しくは９／４・ｂすなわち９ｂ／４です。
    また、（１‐１）の直前の、「よってｂ＞０です」というのは
    「条件を満たすｋが存在するのはｂ＞０のときです」という意味です。
    他にもいいかげんなところはあるかもしれませんが、
    脳内修正で読んでいただけると助かります（笑）
    ではでは☆
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51868 / ResNo.4) 　Re[3]: 必要十分条件
□投稿者/ age 一般人(2回)-(2022/06/07(Tue) 09:37:32)
    ありがとうございました
    とても参考になりました
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51840 / 親記事) 　過去ログ記事を読んでいて
□投稿者/ 再検討願い 一般人(1回)-(2022/04/15(Fri) 00:41:21)
    はじめまして。下記の過去ログを見つけまして、なぜか惹かれて真剣に考えて
    しまいました。皆さんの意見をお聞かせください（時間を持て余している老人
    です）。



    引用開始↓

    うちの学校はあほ教師ですよね？下のやりとりを読んでもらえませんか？？


    試験問題：A＝2x+1のとき、3x^2+A＝0を満たす実数xを求めよ。

    おいらの答え：x＝6482387898465


    教師「君の答えはふざけているぞ。正解は、"xは存在しない"なんだなこれが。
    いつも数学では答えがあると思ったら大間違いだぞ。だから10点マイナスだ！」
    おいら「どうしてですか？Aが間違ってるんだからxはなんだっていいんじゃないん
    ですか？？」
    教師「おい！それじゃ数学にならないだろ！とにかく点数はやらんぞ！」

    引用終了↑



    問題文を言い換えると、
    「A＝2x+1ならば、3x^2+A＝0を満たす実数xが存在する」
    ということになりますが、実際にこの命題は偽であることが分かったわけです
    から、A＝2x+1という前提が間違っていたことになります。
    ここで上の文章は
    「A≠2x+1または、3x^2+A＝0を満たす実数xが存在する」
    とも言い換えられますから、A≠2x+1を満たすAであれば何を考えても問題ない
    ということになります。
    すると、x＝6482387898465というめちゃくちゃな数字を解答したとしても、
    3x^2+A＝0よりAは虚数で、明らかに、
    「虚数＝A≠2x+1＝12964775796931＝実数」
    ですから
    「A≠2x+1または、3x^2+A＝0を満たす実数xが存在する」
    を満たすので正解と言えてしまう気がします。

    屁理屈に聞こえるかもしれないのですがいかがでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■51843 / ResNo.2) 　Re[2]: 過去ログ記事を読んでいて
□投稿者/ 再検討願い 一般人(2回)-(2022/04/15(Fri) 13:24:50)
    ご意見ありがとうございます。

    おそれながら仰っていることは十分想定していたのですが、それでも以下のような
    反論は可能ではないでしょうか。

    「AのときB」という表現は「もし仮にAとするならばB」と常識の範囲内で言い換え
    られる文章だと考えられます。とは言っても「〜のとき」を必ずしも「仮に〜」と
    訳してよいわけではないことは重々承知していますので、ならば当初の問題表現に
    難があるのであって、

    「A＝2x+1のとき、3x^2+A＝0を満たす実数xの必要十分条件を求めよ。」

    とすべきであったのではないでしょうか。これなら「xは存在しない」で通ります。


    らすかるさんの仰った「暗黙の常識」というのは今回のような問題表現に対しては
    微妙な気がしてならないのです。どうでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51844 / ResNo.3) 　Re[3]: 過去ログ記事を読んでいて
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2022/04/15(Fri) 14:34:57)
    2022/04/15(Fri) 16:08:10 編集(投稿者)

    どうしても「暗黙の常識」は必要になると思います。

    「A＝2x+1のとき、3x^2+A＝0を満たす実数xの必要十分条件を求めよ。」
    としたところで、論理的には
    「xはA＝2x+1と3x^2+A＝0を満たす実数」
    とか
    「x^2+1=0」
    などの解答で正解になってしまいます。

    # 「暗黙の常識」がないような特殊な問題ならともかく、
    # 今回のような「学校の試験でよく見るパターンの問題」では
    # その常識に従わざるを得ないと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51845 / ResNo.4) 　Re[4]: 過去ログ記事を読んでいて
□投稿者/ 再検討願い 一般人(3回)-(2022/04/16(Sat) 00:36:43)
    再度ありがとうございます。それでは、

    「私の述べた反論は論の一つとして一応可能ではあるが、学校での試験問題と
    しての、あるいはもっと広く慣習的な表現であったいう観点ではまず無理がある
    ので相応しくない」

    ということでいいでしょうか。つまり論理的には誤りはないが非常識な問題解釈
    と言われて当然であるという結論で間違いないでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51846 / ResNo.5) 　Re[5]: 過去ログ記事を読んでいて
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2022/04/16(Sat) 01:49:27)
    「学校での試験問題としての、あるいはもっと広く慣習的な表現であったいう
    観点ではまず無理があるので相応しくない」
    の部分は間違いありません。私が言っているのはこの内容です。

    そして、もし
    「A＝2x+1ならば、3x^2+A＝0を満たす実数xが存在する」 … (1)
    が
    「A＝2x+1ならば、3x^2+A＝0を満たす実数xが存在する。その値を求めよ。」 … (2)
    のつもりで書かれたのでしたら、前半が偽で問題不備ですから、
    通常何と答えても全員○扱いになることが多く、その意味では
    x＝6482387898465としても結果的に正解扱いにはなります。
    （普通は「x＝6482387898465でも正解」ではなく「問題不備」と解釈されると思いますが。）

    (1)は「xを求める」という意味が含まれておらず、ただの命題ですので
    元の問題とは異なります。
    また、(1)のような問題文は大学の教材ではよくありますが、その場合の意味は
    「A＝2x+1ならば、3x^2+A＝0を満たす実数xが存在することを証明せよ。」
    と解釈されますので、その意味でも元の問題と異なります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51847 / ResNo.6) 　Re[6]: 過去ログ記事を読んでいて
□投稿者/ 再検討願い 一般人(4回)-(2022/04/16(Sat) 22:59:06)
    ありがとうございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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