数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 14]

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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

積分不等式(1) |

スピアマンの順位相関係数の求め方について(0) |

sin(x)sin(x+1)<c(2) |

積分(0) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

数字が重複しない積(1) |

イデアル(2) |

自然数(2) |

klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

余り(2) |

確率(3) |

n乗根(1) |

lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

設問ミスですか？それとも解けますか？(1) |

台形(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(1) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(1) |

確率(2) |

平方数(3) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

体(3) |

約数(1) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

極限(3) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

■52555 / 親記事)

　素因数の個数について

□投稿者/ スフィンクス一般人(1回)-(2024/06/29(Sat) 17:02:20)

　N を 2 でも 3 でも割り切れない自然数とするならば、N の素因数の最小値は 5 となりますが、このとき N の素因数の個数が log5(N) 以下となるのはなぜですか。
（log5(N) は5を底とする N の対数）

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52556 / ResNo.1)

　Re[1]: 素因数の個数について

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2024/06/29(Sat) 19:20:26)

Nの素因数の個数がnで素因数の最小値が5のとき
N≧5^n
ですから、底5の対数をとって
log[5]N≧n
となります。

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■52557 / ResNo.2)

　Re[2]: 素因数の個数について

□投稿者/ スフィンクス一般人(2回)-(2024/06/29(Sat) 19:49:38)

　すばやい回答まことにありがとうございました。よくわかりました。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■52553 / 親記事)

　場合の数

□投稿者/ まみ一般人(1回)-(2024/06/29(Sat) 08:34:40)

「大人4人、子ども3人の7人が一列に並ぶ。子どもが隣り合わない並び方は何通りあるか」という問題で
自分は子ども3人をまず並べて、その間(両端含む)に大人が入ればよいと考えました。式は3！×4！です。なぜこれだとだめなのですか？
よろしくお願いします。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52554 / ResNo.1)

　Re[1]: 場合の数

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2024/06/29(Sat) 09:17:59)

子親親子親子親のようなパターンが含まれていないからです。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■52547 / 親記事)

　体

□投稿者/ 身一般人(1回)-(2024/06/18(Tue) 23:27:24)

$2$\mathbb{Q} \left( \sqrt2 +\sqrt3 \right)= \mathbb{Q} \left( \sqrt2 +a\sqrt3 \right)$
となる $2$a\in \mathbb{Q}$ をすべて求めるにはどうすればいいのでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52548 / ResNo.1)

　Re[1]: 体

□投稿者/ ahoo 一般人(3回)-(2024/06/19(Wed) 21:43:34)

$2$\forall a\,\in\,\mathbb{Q}$ に対して明らかに $2$\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}),\qquad \therefore \mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$ だが, 逆に
$2$\sqrt{2}\,=\,((\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})^2\,+\,2\,-\,3\,a^2)/(2(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}))\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\qquad(\forall a\,\in\,\mathbb{Q}),$
$2$\sqrt{3}\,=\,((\sqrt{2}\,+a\,\sqrt{3})^2\,+\,3\,a^2\,-\,2)/(2\,a(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}))\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\qquad(\forall a(a\,\in\,\mathbb{Q}\;\wedge\;a\,\ne\,0)$
だから $2$a\,\ne\,0$ のとき $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\,\subset\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}).\qquad\therefore \mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}).$ (とくに $2$a\,=\,1$ として $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3})\,=\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$ )
だから, 結局 $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3})\;\Longleftrightarrow\;a\,\ne\,0\;(\in\,\mathbb{Q}).$

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■52549 / ResNo.2)

　Re[2]: 体

□投稿者/ ahoo 一般人(4回)-(2024/06/19(Wed) 22:19:30)

式はもっと直截的に
　 $2$\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3}\; =\; \frac{(a\ +\ 1)(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3})^2\ +\ (2\ -\ 3\,a^2)(a\ -\ 1)}{2\,a(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3})}\;\in\;\mathbb{Q}(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3}),$
　 $2$\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3}\;=\;\frac{(a\ +\ 1)(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})^2\ +\ (a\ - \ 1)}{2(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})}\;\in\;\mathbb{Q}(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})$
でもいいが.

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■52550 / ResNo.3)

　Re[3]: 体

□投稿者/ 身一般人(2回)-(2024/06/20(Thu) 10:25:07)

納得です！ありがとうございます！

解決済み!

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

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■52539 / 親記事)

　部分分数分解

□投稿者/ ぶぶんぶん一般人(1回)-(2024/06/10(Mon) 12:19:33)

1/(x^n-1)の部分分数分解ってどうやるのでしょうか？
nは正の整数で、複素数範囲です。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52540 / ResNo.1)

　Re[1]: 部分分数分解

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 14:12:29)

小さいnで試してみたところ、
(1/n)Σ[k=0～n-1]{exp(2kπi/n)/(x-exp(2kπi/n))}
のように分解できるようです。

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■52541 / ResNo.2)

　Re[2]: 部分分数分解

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 16:15:56)

横から失礼します。

1/(x^n-1)=Σ[k=0～n-1]a[k]/{x-exp(2kπi/n)}
と部分分数分解できるとすると
a[k]=lim[x→exp(2kπi/n)]{x-exp(2kπi/n)}/(x^n-1)
∴f(z)=z^n
とすると、(複素関数の範囲での)微分係数の定義により
a[k]=1/f'(exp(2kπi/n))=1/{n{exp(2kπi/n)}^(n-1)}
=(1/n)exp(2kπi/n)
∴1/(x^n-1)=(1/n)Σ[k=0～n-1]{exp(2kπi/n)}/{x-exp(2kπi/n)}

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■52542 / ResNo.3)

　Re[3]: 部分分数分解

□投稿者/ ぶぶんぶん一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 18:45:10)

ありがとうございます。
理解できました。

解決済み!

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■52538 / 親記事)

　約数の個数

□投稿者/ ヤンニョムチキン一般人(1回)-(2024/06/07(Fri) 19:39:01)

自然数nで約数の個数が√(3n)以上となるものを全て求めよ。

お願いします。

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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■52544 / ResNo.2)

　Re[2]: 約数の個数

□投稿者/ ヤンニョムチキン一般人(2回)-(2024/06/11(Tue) 20:22:47)

他には無いのでしょうか？

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■52545 / ResNo.3)

　Re[3]: 約数の個数

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2024/06/12(Wed) 19:10:40)

n=2^p・3^q・N（p,qは非負整数、Nは2でも3でも割り切れない自然数）とすると
Nの素因数は最小で5なのでNの素因数の個数はlog[5]N以下
Nの素因数がk個のとき、約数の個数が最大となるのは
k個の素因数がすべて異なるときで、2^k個
従って自然数nの約数の個数は
(p+1)(q+1)・2^(log[5]N)=(p+1)(q+1)・N^(log[5]2)以下
√(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと
N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)
f(p)=(p+1)^2/2^pはp=2/log2-1≒1.88539のとき極大でf(1)=2,f(2)=9/4,f(3)=2なので
非負整数pに対してf(p)の最大値はf(2)=9/4
g(q)=(q+1)^2/3^(q+1)はq=2/log3-1≒0.82048のとき極大でg(0)=1/3,g(1)=4/9,g(2)=1/3なので
非負整数qに対してg(q)の最大値はg(1)=4/9
1/(1-log[5]4)＞1なので
(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)＜1のとき(1)の右辺が1未満となり解なし
従って(1)を満たす解はp=2かつq=1かつN=1のみなので、元の問題の解はn=12のみ。

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■52546 / ResNo.4)

　Re[4]: 約数の個数

□投稿者/ ヤンニョムチキン一般人(3回)-(2024/06/13(Thu) 13:23:05)

理解出来ました。
有難うございます。

素因数の個数を(ω(n)ではなく)Ω(n)の意味で使っているんですね。
//ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0

解決済み!

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■52568 / ResNo.5)

　Re[3]: 約数の個数

□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/07/14(Sun) 09:54:41)

x(p)≧0は整数
n=Π[pは素数]p^{x(p)}
とする
√(3n)≦Π{pは素数}{1+x(p)}
↓両辺を2乗すると
3n≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
↓
3Π[pは素数]p^{x(p)}≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
↓
3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}

f{p}(x)=(1+x)^2/p^x
とすると
f'{p}(x)=(1+x){2-(1+x)logp}/p^x
x>2/logp-1のときf'{p}(x)<0だからf{p}(x)は減少
f{p}(0)=1
f{2}(1)=2

p=2のときx≧2>2/log2-1のときf{2}(x)は減少
(1+x)^2/2^x≦f{2}(2)=9/4
f{2}(x)はx=2で最大値9/4になる

p≧3のときx≧1>2/log-1のときf{p}(x)は減少

p=3のとき
(1+x)^2/3^x≦f{3}(1)=4/3
f{3}(x)はx=1で最大値4/3になる

p≧5のとき
f{p}(1)=4/p<1=f{p}(0)
(1+x)^2/p^x≦f{p}(0)=1
f{p}(x)はx=0で最大値1になる

3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}≦f{2}(2)f{3}(1)Π{素数p≧5}f{p}(0)=(9/4)(4/3)・1=3
∴
n=2^2・3^1=12

1000×1000 => 250×250

m202406281353.jpg/99KB

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■52803 / ResNo.6)

　Re[4]: 約数の個数

□投稿者/ コスモス一般人(1回)-(2025/04/05(Sat) 05:06:20)
http://youtu.be/bAXJTnlD1Cg

これ今年の一橋に出たんですね

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