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| ■52112 / 親記事) |
中間値の定理の証明（区間縮小法ではない）
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□投稿者/ 未熟者 一般人(1回)-(2023/02/09(Thu) 17:56:59)
 | 中間値の定理の証明で、関数fが区間[a,b]で定義され、連続で、f(a)=α<0、f(b)=β>0とする。そのときf(c)=0となるcがaとbの間に存在するとあり、本にその証明として、
a≦d<bかつ区間[a,d]で常にf(x)<0であるようなd全体の集合をAとする。bはAの一つの上界なのでAは上に有界である。そこでsup A=cとする。a≦x<cとすれば、x<d<cを満たすdがあるからf(x)<0、よって区間[a,c)でf(x)<0である。ゆえにfの連続性からlim(x→c-0)f(x)=f(c)≦0となる。（以下略）
とあるのですが、なぜfの連続性によってf(c)≦0となるのでしょうか。区間[a,c)でf(x)<0なのになぜ=がついて<が≦になるのかがわかりません。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
| ■52113 / ResNo.1) |
Re[1]: 中間値の定理の証明（区間縮小法ではない）
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□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2023/02/09(Thu) 18:05:56)
| 例えばf(x)=-x^2のとき[-2,0)でf(x)＜0ですがf(0)=0ですね。これと同じことです。
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| ■52146 / ResNo.2) |
Re[1]: 中間値の定理の証明（区間縮小法ではない）
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□投稿者/ muturajcp 一般人(6回)-(2023/04/07(Fri) 20:12:40)
| f(c)<0と仮定する
ε=-f(c)とすると
ε=-f(c)>0
fは連続だから
ε=-f(c)>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(c)|<ε
f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε=f(c)-f(c)=0
f(x)<0…(1)
だから
x=c+δ/2
とすれば
|x-c|=δ/2<δだから(1)から
f(x)=f(c+δ/2)<0
だから
c<c+δ/2∈A={d|a≦d<b,f(d)<0}
だから
c=supA,cがAの上界である事に矛盾するから
∴
f(c)≧0
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不等式(1)