数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 43]

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■48830 / 親記事)

　数列

□投稿者/ 楼蘭山一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 20:44:15)

数列{a[n]}は、a[1]=1/2であり、
全てのn≧2に対して
a[n]=(1/2)Σ[k=1,n-1]a[k]a[n-k]
を満たしている。
(1)全てのn≧2に対して、
Σ[i=1,n-1]a[i](Σ[j=1,n-i]a[j])=2Σ[k=2,n]a[k]
および
2na[n]=1-Σ[k=1,n-1]a[k]
が成り立つことを示せ。
(2)a[n]をnで表せ。

(1)から分かりません。お願いします。

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■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■48827 / 親記事)

　三次方程式

□投稿者/ 大阪なほみ一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)

実数a,b,cが0＜a＜c＜b＜1を満たすとき、
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

教えて下さい。よろしくお願いします。

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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]

■48828 / ResNo.1)

　Re[1]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)

x＞2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)＞0
x＜-2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)＜0
∴解の絶対値は2以下

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■48829 / ResNo.2)

　Re[2]: 三次方程式

□投稿者/ 大阪なほみ一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)

ひとつ質問よろしいでしょうか。
虚数解をもつことはないのでしょうか？

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■48831 / ResNo.3)

　Re[3]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)

ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
（そのことを示す必要はありますが）大丈夫でした。

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■48836 / ResNo.4)

　Re[4]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)

解答を以下のように訂正します。

f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
f(-2)=-(2a+2b+c+2)＜0
f(-1)=a+(1-b)+(1-c)＞0
f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}＜0
f(2)=2(1-a)+(b-c)+b＞0
なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

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■48837 / ResNo.5)

　Re[5]: 三次方程式

□投稿者/ 大阪なほみ一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)

ありがとうございます！！
こうやれば良かったんですね。
非常に爽快な解法を教えていただき
大変勉強になりました。

解決済み!

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-5]

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■48825 / 親記事)

　ベクトルについて。

□投稿者/ コルム一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 15:04:35)

4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある。このとき
(1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする。ただし、0<a<1である。このとき
点Dの座標をaを用いて表せ。

(2)点Aを通り、ベクトルn↑＝(-3,1,2)に垂直な平面をαとする。
①平面αと線分BCの交点を求めよ。
②四面体OABCの体積をVとする。四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
そのうち点Cを含む立体の体積をV１とする。このとき、V1/Vの値を求めよ。
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
（２）からわかりません。
マルチポストですみません。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48864 / ResNo.1)

　Re[1]: ベクトルについて。

□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/10/16(Tue) 16:07:26)

4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある.
このとき
(1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする.
ただし、0<a<1である.
D
=(1-a)B+aC
=(1-a)(4,-1,3)+a(-2,1,7)
=(4-6a,2a-1,4a+3)

(2)点Aを通り、ベクトルn↑＝(-3,1,2)に垂直な平面をαとする.
①平面αと線分BCの交点をD=(x,y,z)とすると
Dは平面α上の点だから
(D-A,n↑)=0
((x,y,z)-(1,2,4),(-3,1,2))=0
-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0
Dは線分BC上の点だから(1)から
(x,y,z)=D=(4-6a,2a-1,4a+3)
x=4-6a
y=2a-1
z=4a+3
だからこれを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
-3(4-6a-1)+(2a-1-2)+2(4a+3-4)=0
-3(3-6a)+2a-3+2(4a-1)=0
-9+18a+2a-3+8a-2=0
28a-14=0
2a-1=0
2a=1
a=1/2
これを(x,y,z)に代入すると
x=4-6/2=1
y=2/2-1=0
z=4/2+3=5
∴平面αと線分BCの交点は
(1,0,5)

②四面体OABCの体積をVとする.
四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする.

平面αと線分OCの交点をE=(x,y,z)とすると
OC上の点だから
(x,y,z)=tC,0<t<1となるtがあるから
(x,y,z)=t(-2,1,7)=(-2t,t,7t)
平面α上の点だから
これを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
-3(-2t-1)+t-2+2(7t-4)=0
6t+3+t-2+14t-8=0
21t-7=0
3t-1=0
3t=1
t=1/3
E=(x,y,z)=(-2/3,1/3,7/3)
OE=(1/3)OC
CE=(2/3)CO
CD=(1/2)CB
だから
|△CDE|=(1/2)|CD||CE|sin∠BCO
|△BCO|=(1/2)|BC||CO|sin∠BCO
だから
|△CDE|/|△BCO|
=(|CD|/|BC|)(|CE|/|CO|)
=(1/2)(2/3)
=1/3

V1=|CADE|
の底面は△CDE,高さはAと面BCOの距離
で
V=|OABC|
の底面は△BCO,高さはAと面BCOの距離
だから
V1/V
=|△CDE|/|△BCO|
=1/3

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■48866 / ResNo.2)

　Re[1]: ベクトルについて。

□投稿者/ コルム一般人(1回)-(2018/10/22(Mon) 19:13:28)

ありがとうございました。とても助かりました。

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■48824 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 虚言症一般人(1回)-(2018/09/21(Fri) 08:33:32)

$2$0 < x < 2 \pi$ において
$2$ ( \pi -x) \sin x - 2 \cos x \, \log \left( 2 \sin \frac{x}{2} \right) \ge 1$
が成り立つことの証明を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48838 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2018/09/23(Sun) 14:22:56)

与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0＜x≦πに関して示せば十分。

0＜x≦π/2のとき
sinx＞x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
cosx＜1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
2sin(x/2)＜xから
log(2sin(x/2))＜logx＜(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
=(2x^3-9x^2+18x-11)/6
なので
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
＞(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
=(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
=(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
＞1　（ただしt=5-3x＞0）

π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
=ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
=ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
siny＞y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
cosy＞1-y^2/2=(-y^2+2)/2
2cos(y/2)＞(16-3y)/8から
log(2cos(y/2))＞log((16-3y)/8)＞(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
=(-9y^2+64)/128
なので
ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
＞y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
=(-37y^4+138y^2+384)/384
=y^2(138-37y^2)/384+1
≧1

∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1

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■48839 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 虚言症一般人(2回)-(2018/09/24(Mon) 22:50:11)