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■48830 / 親記事)  数列
□投稿者/ 楼蘭山 一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 20:44:15)
    数列{a[n]}は、a[1]=1/2であり、
    全てのn≧2に対して
    a[n]=(1/2)Σ[k=1,n-1]a[k]a[n-k]
    を満たしている。
    (1)全てのn≧2に対して、
    Σ[i=1,n-1]a[i](Σ[j=1,n-i]a[j])=2Σ[k=2,n]a[k]
    および
    2na[n]=1-Σ[k=1,n-1]a[k]
    が成り立つことを示せ。
    (2)a[n]をnで表せ。



    (1)から分かりません。お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48827 / 親記事)  三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)
    実数a,b,cが0<a<c<b<1を満たすとき、
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
    の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48828 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)
    x>2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)>0
    x<-2のとき
    x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)<0
    ∴解の絶対値は2以下

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48829 / ResNo.2)  Re[2]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)
    ひとつ質問よろしいでしょうか。
    虚数解をもつことはないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48831 / ResNo.3)  Re[3]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)
    ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
    でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
    この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
    (そのことを示す必要はありますが)大丈夫でした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48836 / ResNo.4)  Re[4]: 三次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)
    解答を以下のように訂正します。

    f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
    f(-2)=-(2a+2b+c+2)<0
    f(-1)=a+(1-b)+(1-c)>0
    f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}<0
    f(2)=2(1-a)+(b-c)+b>0
    なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
    従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48837 / ResNo.5)  Re[5]: 三次方程式
□投稿者/ 大阪なほみ 一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)
    ありがとうございます!!
    こうやれば良かったんですね。
    非常に爽快な解法を教えていただき
    大変勉強になりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48825 / 親記事)  ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 15:04:35)
    4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある。このとき
    (1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする。ただし、0<a<1である。このとき
    点Dの座標をaを用いて表せ。

    (2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする。
    @平面αと線分BCの交点を求めよ。
    A四面体OABCの体積をVとする。四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
    そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする。このとき、V1/Vの値を求めよ。
    教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
    (2)からわかりません。
    マルチポストですみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48864 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/10/16(Tue) 16:07:26)
    4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある.
    このとき
    (1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする.
    ただし、0<a<1である.
    D
    =(1-a)B+aC
    =(1-a)(4,-1,3)+a(-2,1,7)
    =(4-6a,2a-1,4a+3)

    (2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする.
    @平面αと線分BCの交点をD=(x,y,z)とすると
    Dは平面α上の点だから
    (D-A,n↑)=0
    ((x,y,z)-(1,2,4),(-3,1,2))=0
    -3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0
    Dは線分BC上の点だから(1)から
    (x,y,z)=D=(4-6a,2a-1,4a+3)
    x=4-6a
    y=2a-1
    z=4a+3
    だからこれを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
    -3(4-6a-1)+(2a-1-2)+2(4a+3-4)=0
    -3(3-6a)+2a-3+2(4a-1)=0
    -9+18a+2a-3+8a-2=0
    28a-14=0
    2a-1=0
    2a=1
    a=1/2
    これを(x,y,z)に代入すると
    x=4-6/2=1
    y=2/2-1=0
    z=4/2+3=5
    ∴平面αと線分BCの交点は
    (1,0,5)

    A四面体OABCの体積をVとする.
    四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
    そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする.

    平面αと線分OCの交点をE=(x,y,z)とすると
    OC上の点だから
    (x,y,z)=tC,0<t<1となるtがあるから
    (x,y,z)=t(-2,1,7)=(-2t,t,7t)
    平面α上の点だから
    これを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
    -3(-2t-1)+t-2+2(7t-4)=0
    6t+3+t-2+14t-8=0
    21t-7=0
    3t-1=0
    3t=1
    t=1/3
    E=(x,y,z)=(-2/3,1/3,7/3)
    OE=(1/3)OC
    CE=(2/3)CO
    CD=(1/2)CB
    だから
    |△CDE|=(1/2)|CD||CE|sin∠BCO
    |△BCO|=(1/2)|BC||CO|sin∠BCO
    だから
    |△CDE|/|△BCO|
    =(|CD|/|BC|)(|CE|/|CO|)
    =(1/2)(2/3)
    =1/3

    V1=|CADE|
    の底面は△CDE,高さはAと面BCOの距離

    V=|OABC|
    の底面は△BCO,高さはAと面BCOの距離
    だから
    V1/V
    =|△CDE|/|△BCO|
    =1/3
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48866 / ResNo.2)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2018/10/22(Mon) 19:13:28)
    ありがとうございました。とても助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48824 / 親記事)  不等式
□投稿者/ 虚言症 一般人(1回)-(2018/09/21(Fri) 08:33:32)
    において

    が成り立つことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48838 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/09/23(Sun) 14:22:56)
    与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0<x≦πに関して示せば十分。

    0<x≦π/2のとき
    sinx>x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
    cosx<1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
    2sin(x/2)<xから
    log(2sin(x/2))<logx<(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
    =(2x^3-9x^2+18x-11)/6
    なので
    (π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
    >(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
    =(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
    =(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
    >1 (ただしt=5-3x>0)

    π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
    (π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
    =ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
    =ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
    siny>y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
    cosy>1-y^2/2=(-y^2+2)/2
    2cos(y/2)>(16-3y)/8から
    log(2cos(y/2))>log((16-3y)/8)>(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
    =(-9y^2+64)/128
    なので
    ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
    >y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
    =(-37y^4+138y^2+384)/384
    =y^2(138-37y^2)/384+1
    ≧1

    ∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48839 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 虚言症 一般人(2回)-(2018/09/24(Mon) 22:50:11)
    有り難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48814 / 親記事)  複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 18:30:48)
    複素級数のコーシー積の絶対収束性(写真の上の問い)を証明したのですが、これで正しいでしょうか?

    解答は、次のコメントで添付します。
1700×2338 => 182×250

1537003848.jpg
/147KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48816 / ResNo.2)  Re[2]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ めぇぷる 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 22:17:29)
    正しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48817 / ResNo.3)  Re[3]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(4回)-(2018/09/15(Sat) 22:34:01)
    ありがとうございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48818 / ResNo.4)  Re[3]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(5回)-(2018/09/15(Sat) 22:53:34)
    すみません。もう一つだけ確認したいことがございます。

    証明の中で、以下の画像のように極限の収束先の方が値が大きいという不等式を使いましたが、Σ[k=0,n](α_k)は正項級数でかつΣ[n=0,∞](α_n)が絶対収束の級数であるということから明らかに成り立つとしても良いのでしょうか?

1152×648 => 250×140

1537019614.png
/42KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48820 / ResNo.5)  Re[4]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ めぇぷる 一般人(2回)-(2018/09/16(Sun) 05:58:18)
    良いでしょう。問題ないです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48821 / ResNo.6)  Re[5]: 複素級数のコーシー積
□投稿者/ Make 一般人(6回)-(2018/09/16(Sun) 08:09:38)
    ありがとうございます!

    これで理解できました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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