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■48863 / 親記事)

　複素関数

□投稿者/ 積分一般人(1回)-(2018/10/13(Sat) 21:50:57)

複素関数の問題です
この問題の解き方を教えてください。

∫［0～π/2］{log(sinx)｝^2dxの値を求めよ。

Σ(n=0,∞)|an|^2×r^2n
=(1/2π)∫［0～2π] |f(re^iθ)|^2dθとする。
(このとき
　f(z)=Σ_{n=0}^{∞}(a_n z^n)　(|z|<R), 0<r<Rとする。)

また、Σ(n=0,∞) (1/n^2)=π^2/6

∫［0～1/2π］log(sinx)= -π/2log2とする。

　

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48857 / 親記事)

　等式

□投稿者/ 喰レポ一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)

教えて下さい。

相異なる数x,y,zが
(2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)
を満たしているとき、x,y,zのうち少なく
とも一つは虚数であることを示せ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■48858 / ResNo.1)

　Re[1]: 等式

□投稿者/ らすかる一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)

(2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
(1)を(2)に代入して整理すると
z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
(4)を(3)に代入して整理すると
(3k^2-6k+4)(2x-1)=0
x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
これを解いてk=1±i/√3
x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48859 / ResNo.2)

　Re[1]: 等式

□投稿者/ らすかる一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)

別解
もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。
よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。
(x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から
2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1)
1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1)
(2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1)
この式の値をkとするとk^3=1だが
もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので
kは1の虚数三乗根。
従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48860 / ResNo.3)

　Re[2]: 等式

□投稿者/ 喰レポ一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)

大変エレガントな別解に感動いたしました。
ありがとうございました。

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■48855 / 親記事)

　（削除）

□投稿者/ -(2018/10/06(Sat) 13:02:16)

この記事は(投稿者)削除されました

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■48853 / 親記事)

　三角関数の面積

□投稿者/ スコルピオン一般人(1回)-(2018/10/05(Fri) 23:28:57)

θは0≦x≦πをみたす実数とする。
xy平面において以下の二つの曲線
y=2cosx　　　(0≦x≦2π)
y=sin(x-θ)　(0≦x≦2π)
で囲まれた図形の面積をθで表せ。

どうもうまく解けません。
教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48854 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角関数の面積

□投稿者/ らすかる一般人(27回)-(2018/10/06(Sat) 01:16:04)

面積をS(θ)とするとS(π-θ)=S(θ)なので
0≦θ≦π/2で考えます。
θ=π/2のときは2曲線の交点が(π/2,0)と(3π/2,0)となりますので
S(θ)=∫[π/2～3π/2]sin(x-π/2)-2cosx dx
=∫[π/2～3π/2]-3cosx dx
=[-3sinx][π/2～3π/2]
=6
0≦θ＜π/2のときは
2cosx=sin(x-θ)
2cosx=sinxcosθ-cosxsinθ
(2+sinθ)cosx=sinxcosθ
tanx=(2+sinθ)/cosθ
となり、交点は(arctan((2+sinθ)/cosθ),0)と
(arctan((2+sinθ)/cosθ)+π,0)になりますので
S(θ)=∫[arctan((2+sinθ)/cosθ)～arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]sin(x-θ)-2cosx dx
=[-cos(x-θ)-2sinx][arctan((2+sinθ)/cosθ)～arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]
=2√(5+4sinθ)
この式にθ=π/2を代入すると6となり、またS(π-θ)=S(θ)も成り立ちますので、
θの定義域全体(0≦θ≦π)に対してS(θ)=2√(5+4sinθ)となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48862 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角関数の面積

□投稿者/ スコルピオン一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 13:09:43)

とても参考になりました。
ありがとうございました。

解決済み!

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■48852 / 親記事)

　二次方程式の標準形への変換

□投稿者/ ライカー一般人(1回)-(2018/10/04(Thu) 22:18:49)

座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α＝0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a（g-α）x+2（af-ha）y+ac-α＾2＝0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α＝0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48861 / ResNo.1)

　Re[1]: 二次方程式の標準形への変換

□投稿者/ ライカー一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 05:16:54)

■No48852に返信(ライカーさんの記事)
> 座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α＝0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a（g-α）x+2（af-ha）y+ac-α＾2＝0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α＝0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。

わかりました。

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