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■48863 / 親記事)  複素関数
□投稿者/ 積分 一般人(1回)-(2018/10/13(Sat) 21:50:57)
    複素関数の問題です
    この問題の解き方を教えてください。

    ∫[0〜π/2]{log(sinx)}^2dxの値を求めよ。

    Σ(n=0,∞)|an|^2×r^2n
    =(1/2π)∫[0〜2π] |f(re^iθ)|^2dθとする。
    (このとき
     f(z)=Σ_{n=0}^{∞}(a_n z^n) (|z|<R), 0<r<Rとする。)

    また、Σ(n=0,∞) (1/n^2)=π^2/6

    ∫[0〜1/2π]log(sinx)= -π/2log2とする。

     
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48857 / 親記事)  等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)
    教えて下さい。

    相異なる数x,y,zが
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)
    を満たしているとき、x,y,zのうち少なく
    とも一つは虚数であることを示せ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48858 / ResNo.1)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
    もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
    k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
    k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
    k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
    k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
    (1)を(2)に代入して整理すると
    z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (3k^2-6k+4)(2x-1)=0
    x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
    これを解いてk=1±i/√3
    x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
    k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48859 / ResNo.2)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)
    別解
    もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。
    よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。
    (x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から
    2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1)
    1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1)
    (2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1)
    この式の値をkとするとk^3=1だが
    もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので
    kは1の虚数三乗根。
    従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48860 / ResNo.3)  Re[2]: 等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)
    大変エレガントな別解に感動いたしました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48855 / 親記事)  (削除)
□投稿者/ -(2018/10/06(Sat) 13:02:16)
    この記事は(投稿者)削除されました
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■48853 / 親記事)  三角関数の面積
□投稿者/ スコルピオン 一般人(1回)-(2018/10/05(Fri) 23:28:57)
    θは0≦x≦πをみたす実数とする。
    xy平面において以下の二つの曲線
    y=2cosx   (0≦x≦2π)
    y=sin(x-θ) (0≦x≦2π)
    で囲まれた図形の面積をθで表せ。


    どうもうまく解けません。
    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48854 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数の面積
□投稿者/ らすかる 一般人(27回)-(2018/10/06(Sat) 01:16:04)
    面積をS(θ)とするとS(π-θ)=S(θ)なので
    0≦θ≦π/2で考えます。
    θ=π/2のときは2曲線の交点が(π/2,0)と(3π/2,0)となりますので
    S(θ)=∫[π/2〜3π/2]sin(x-π/2)-2cosx dx
    =∫[π/2〜3π/2]-3cosx dx
    =[-3sinx][π/2〜3π/2]
    =6
    0≦θ<π/2のときは
    2cosx=sin(x-θ)
    2cosx=sinxcosθ-cosxsinθ
    (2+sinθ)cosx=sinxcosθ
    tanx=(2+sinθ)/cosθ
    となり、交点は(arctan((2+sinθ)/cosθ),0)と
    (arctan((2+sinθ)/cosθ)+π,0)になりますので
    S(θ)=∫[arctan((2+sinθ)/cosθ)〜arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]sin(x-θ)-2cosx dx
    =[-cos(x-θ)-2sinx][arctan((2+sinθ)/cosθ)〜arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]
    =2√(5+4sinθ)
    この式にθ=π/2を代入すると6となり、またS(π-θ)=S(θ)も成り立ちますので、
    θの定義域全体(0≦θ≦π)に対してS(θ)=2√(5+4sinθ)となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48862 / ResNo.2)  Re[2]: 三角関数の面積
□投稿者/ スコルピオン 一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 13:09:43)
    とても参考になりました。
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48852 / 親記事)  二次方程式の標準形への変換
□投稿者/ ライカー 一般人(1回)-(2018/10/04(Thu) 22:18:49)
    座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α=0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a(g-α)x+2(af-ha)y+ac-α^2=0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α=0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48861 / ResNo.1)  Re[1]: 二次方程式の標準形への変換
□投稿者/ ライカー 一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 05:16:54)
    No48852に返信(ライカーさんの記事)
    > 座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α=0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a(g-α)x+2(af-ha)y+ac-α^2=0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α=0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。


    わかりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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