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■48850 / 親記事)  極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
    x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに
    数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
    n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48878 / ResNo.2)  Re[2]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
    どういうことでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48880 / ResNo.3)  Re[3]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
    x=0
    y=0
    z=0
    とすると
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
    cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
    lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
    sinnx+sinny+sinnzは0に収束する

    x=0
    y=0
    z=0


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48882 / ResNo.4)  Re[4]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
    sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
    が収束するならば、
    x=y=z=0である

    ことを示していただけませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48883 / ResNo.5)  Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
    x,y,zがどんな値であっても、
    nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
    いくらでも3に近くすることができるから、
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
    よってx=y=z=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48887 / ResNo.6)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1

    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48848 / 親記事)  桁数
□投稿者/ waka 一般人(6回)-(2018/09/28(Fri) 17:46:53)
    P=(1/100)×60^(99)を16進法で表したとき、その整数部分の桁数を求めよ。という問題が分かりません。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48849 / ResNo.1)  Re[1]: 桁数
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2018/09/28(Fri) 20:39:42)
    何を既知としてよいかによって答え方がまるで変わると思いますが、
    とりあえず私が暗記している範囲で
    log[10]2=0.30103、log[10]3=0.4771として計算してよいものとすると

    log[10]P=log[10]{(1/100)×60^(99)}
    =log[10](1/100)+log[10]{60^(99)}
    =-2+99log[10]60
    =-2+99log[10](10×3×2)
    =-2+99(log[10]10+log[10]3+log[10]2)
    =-2+99(1+0.30103+0.4771)
    =-2+99×1.77813
    =174.03487
    log[2]P=log[10]P/log[10]2=174.03487/0.30103≒578.1313
    よってPは2進法で579桁なので、16進法では[(579+3)/4]=145桁。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48846 / 親記事)  五角形
□投稿者/ 工務店能美 一般人(1回)-(2018/09/27(Thu) 15:36:06)
    正五角形ではないが、角の大きさは全て等しい五角形は、
    少なくとも一本の辺の長さが無理数である。

    これって正しいですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48847 / ResNo.1)  Re[1]: 五角形
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2018/09/27(Thu) 17:09:54)
    正しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48851 / ResNo.2)  Re[2]: 五角形
□投稿者/ 工務店能美 一般人(2回)-(2018/10/01(Mon) 21:07:51)
    ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48842 / 親記事)  三角関数
□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 14:45:37)
    a,b,cは定数で、任意の実数θに対して
    (cos3θ+acos2θ+bcosθ+c)^2+(sin3θ+asin2θ+bsinθ+c)^2=1
    が成り立つならばa=b=c=0であることの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48843 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2018/09/26(Wed) 16:17:55)
    θ=π/2を代入すると (-a+c)^2+(-1+b+c)^2=1 … (1)
    θ=-π/2を代入すると (-a+c)^2+(1-b+c)^2=1 … (2)
    (1)-(2)を整理すると (b-1)c=0 … (a)
    θ=π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+((√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (3)
    θ=-π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+(-(√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (4)
    (3)-(4)を整理すると (a+b)c=0 … (b)
    θ=2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+(-(√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (5)
    θ=-2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+((√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (6)
    (5)-(6)を整理すると (a-b)c=0 … (c)
    c≠0と仮定すると(b)(c)からa+b=0,a-b=0なのでa=b=0
    すると(a)が成り立たず不適、従ってc=0
    (1)+(2)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=2b … (7)
    (3)+(5)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=b … (8)
    (7)-(8)からb=0、これを(8)に代入してa=0
    よって任意の実数θについて与式が成り立つならばa=b=c=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48844 / ResNo.2)  Re[2]: 三角関数
□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 20:44:55)
    有り難うございました。
    とても助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48840 / 親記事)  対数不等式
□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2018/09/25(Tue) 14:43:10)
    定数aが 0<a<1のとき
       log_a^2(a^2-x^2)-log_a(ax)≧0を解け。

    という問題が答えと合いません。解答はa/√(1+a^2)≦x<a です。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48841 / ResNo.1)  Re[1]: 対数不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/09/25(Tue) 17:00:37)
    問題の式から0<x<a
    log[a^2](a^2-x^2)-log[a](ax)≧0
    log[a^2](a^2-x^2)≧log[a](ax)
    (1/2)log[a](a^2-x^2)≧log[a](ax)
    log[a](a^2-x^2)≧2log[a](ax)
    log[a](a^2-x^2)≧log[a](a^2x^2)
    a^2-x^2≦a^2x^2
    x^2(a^2+1)≧a^2
    x^2≧a^2/(a^2+1)
    x≧a/√(a^2+1)
    0<a/√(a^2+1)<aなので
    a/√(a^2+1)≦x<a

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48845 / ResNo.2)  Re[2]: 対数不等式
□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2018/09/27(Thu) 10:51:01)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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