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■50878 / 親記事)  cosθ
□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤 一般人(1回)-(2021/07/01(Thu) 21:04:48)
    cosθ, cos2θ, cos3θ, cos4θ, ....... , coskθ, .......
    という数列のどこか連続する4項が有理数ならば、
    この数列は全ての項が有理数だと言えますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50879 / ResNo.1)  Re[1]: cosθ
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2021/07/02(Fri) 21:45:06)
    # θとタイプするのが面倒なので、t とタイプさせて頂きます。

    cos(t) が有理数であることが示せれば十分です。
    何故なら、任意の自然数 k に対して、cos(kt) は cos(t) の整数係数の整式になるからです。

    k を自然数、p, q, r, s を有理数として、
    p = cos(kt) ・・・・・(1)
    q = cos((k+1)t) ・・・・・(2)
    r = cos((k+2)t) ・・・・・(3)
    s = cos((k+3)t) ・・・・・(4)
    とします。

    (1)(2)より、
    q = cos(kt)cos(t)-sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-sin(kt)sin(t)
    ⇒ sin(kt)sin(t) = p*cos(t)-q ・・・・・(5)

    (1)(3)(5)より、
    r = cos(kt)cos(2t)-sin(kt)sin(2t)
    = p(2cos(t)^2-1)-2sin(kt)sin(t)cos(t)
    = p(2cos(t)^2-1)-2(p*cos(t)-q)cos(t)
    = 2q*cos(t)-p ・・・・・(6)

    q ≠ 0 ならば、(6)より
    cos(t) = (p+r)/(2q) ・・・・・(7)

    q = 0 ならば、(6)より
    r = -p ・・・・・(8)

    (2)より、
    q = cos((k+1)t) = 0
    ⇒ sin((k+1)t) = ±1 ・・・・・(9)

    (3)(8)(9)より、
    r = cos((k+1)t)cos(t)-sin((k+1)t)sin(t) = -sin((k+1)t)sin(t)
    ⇒ (-p)^2 = (-sin((k+1)t)sin(t))^2 = sin(t)^2
    ⇒ p^2 = 1-cos(t)^2
    ⇒ cos(t)^2 = 1-p^2 ・・・・・(10)

    (4)(5)より、
    s = cos(kt)cos(3t)-sin(kt)sin(3t)
    = p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)(3sin(t)-4sin(t)^3)
    = p(4cos(t)^3-3cos(t))-sin(kt)sin(t)(3-4sin(t)^2)
    = p(4cos(t)^3-3cos(t))-p*cos(t)(4cos(t)^2-1)
    = -2p*cos(t) ・・・・・(11)

    p ≠ 0 ならば、(11)より
    cos(t) = -s/(2p) ・・・・・(12)

    p = 0 ならば、(10)より
    cos(t) = ±1 ・・・・・(13)

    以上から、
    q ≠ 0 なら cos(t) = (p+r)/(2q)
    q = 0 かつ p ≠ 0 なら cos(t) = -s/(2p)
    q = 0 かつ p = 0 なら cos(t) = ±1
    ・・・と、いずれも cos(t) は有理数になります。
    よって、連続4項が有理数なら全項が有理数と言えます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50882 / ResNo.2)  Re[2]: cosθ
□投稿者/ アイナ・ヂ・遠藤 一般人(2回)-(2021/07/04(Sun) 14:58:13)
    大変美しい解答を有難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50874 / 親記事)  Lambert W関数を用いた数式
□投稿者/ ちえ 一般人(1回)-(2021/06/28(Mon) 17:22:48)
    数式について質問です。
    D=I-(I-S)*exp(-A/(I-S)*t)
    をI=の式にしたいのですが、解けない関数であることが分かりました。
    そこで、Lambert W関数の関係を用いて
    I=W(0,・・)
    のような表現はできないでしょうか?
    どなたかご教授願います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50875 / ResNo.1)  Re[1]: Lambert W関数を用いた数式
□投稿者/ らすかる 付き人(62回)-(2021/06/28(Mon) 17:44:58)
    D=I-(I-S)*exp(-A/(I-S)*t)
    (I-S)*exp(-A/(I-S)*t)=I-D
    exp(-A/(I-S)*t)=(I-D)/(I-S)
    exp(-A/(I-S)*t)=(I-S+S-D)/(I-S)
    exp(-A/(I-S)*t)=(S-D)/(I-S)+1
    {(S-D)/(I-S)+1}exp(A/(I-S)*t)=1
    {At/(S-D)}{(S-D)/(I-S)+1}exp(A/(I-S)*t)=At/(S-D)
    {At/(I-S)+At/(S-D)}exp(At/(I-S))=At/(S-D)
    {At/(I-S)+At/(S-D)}exp(At/(I-S)+At/(S-D))={At/(S-D)}exp(At/(S-D))
    At/(I-S)+At/(S-D)=W({At/(S-D)}exp(At/(S-D)))
    At/(I-S)=W({At/(S-D)}exp(At/(S-D)))-At/(S-D)
    (I-S)/At=1/{W({At/(S-D)}exp(At/(S-D)))-At/(S-D)}
    I-S=At/{W({At/(S-D)}exp(At/(S-D)))-At/(S-D)}
    ∴I=At/{W({At/(S-D)}exp(At/(S-D)))-At/(S-D)}+S
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50876 / ResNo.2)  Re[2]: Lambert W関数を用いた数式
□投稿者/ ちえ 一般人(2回)-(2021/06/28(Mon) 19:08:12)
    ありがとうございます。
    大変参考になりました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51024 / ResNo.3)  Re[2]: Lambert W関数を用いた数式
□投稿者/ ちえ 一般人(3回)-(2021/07/27(Tue) 15:30:43)
    MathematicaやWolframAlphaなどの数値解析で同じ解が求まるか試しましたが出来ませんでした。
    特殊関数を使用して数値解析したいのですが、Excel VBAなどで参考になるソースなど無いでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51027 / ResNo.4)  Re[3]: Lambert W関数を用いた数式
□投稿者/ らすかる 付き人(66回)-(2021/07/27(Tue) 20:13:14)
    少なくともWolframAlphaではできると思いますが。
    例えばD=I-(I-S)*exp(-A/(I-S)*t)の式においてI=5,S=3,A=1,t=3とおくと
    D=4.5537396797…という値になりますね。
    I以外の値をI=At/{W({At/(S-D)}exp(At/(S-D)))-At/(S-D)}+Sの右辺に入れると
    WolframAlphaで
    1*3/(lambertw((1*3/(3-4.5537396797))*exp(1*3/(3-4.5537396797)))-1*3/(3-4.5537396797))+3
    と入力することで5.000000000…という値が得られますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50871 / 親記事)  行列 線形代数
□投稿者/ ああや 一般人(1回)-(2021/06/27(Sun) 15:50:01)
    すみません教えて下さると嬉しいです。
    次元のことなど本当に分からないので、基礎から解説してくださると嬉しいです
922×448 => 250×121

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/60KB
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■50867 / 親記事)  大学数学
□投稿者/ やよい 一般人(1回)-(2021/06/27(Sun) 13:15:24)
    次の立体Aの体積を求めよ。

    A={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≧z^2,x^2+y^2≦2x,z≧0}

    全く手も足も出ないので、詳しく教えて下さると嬉しいです(´;ω;`)
    よろしくお願いします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50869 / ResNo.1)  Re[1]: 大学数学
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2021/06/27(Sun) 15:16:42)
    2021/06/27(Sun) 15:39:11 編集(投稿者)

    Aを円柱座標に置き換えると
    A={(r,θ,z)|0≦z≦r≦√2}
    よって立体Aの形状は、
    底面が半径√2の円、高さ√2の円柱から
    底面が半径√2の円、高さ√2の円錐を
    底面を一致させるようにくり抜いたもの
    なので、求める体積をVとすると
    V=π{(√2)^2}・√2-(1/3)π{(√2)^2}・√2
    =(4π/3)√2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50863 / 親記事)  連立方程式
□投稿者/ まるは 一般人(1回)-(2021/06/26(Sat) 11:13:16)
    の、解法と答えを教えて下さい

    a^2+b^2=c^2
    b^2-{c-(b-a)}=ba
    a^2+{c+(b-a)}=ac
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50866 / ResNo.1)  Re[1]: 連立方程式
□投稿者/ らすかる 付き人(61回)-(2021/06/26(Sat) 19:13:05)
    第3式から (a-1)c=a^2-a+b
    第2式から c=b^2-ab-a+b … (1)
    なので (a-1)c=(a-1)(b^2-ab-a+b)
    よって a^2-a+b=(a-1)(b^2-ab-a+b)
    整理して (b+2)a^2-(b^2+2b+2)a+b(b+2)=0 … (2)
    第1式に(1)を代入して a^2+b^2=(b^2-ab-a+b)^2
    整理して b{(b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)}=0 … (3)
    b=0のとき(3)は成り立ち、(2)からa(a-1)=0
    a=0のとき(1)からc=0
    (a,b,c)=(0,0,0)は全式を満たすので解
    a=1のとき(1)からc=-1
    (a,b,c)=(1,0,-1)も全式を満たすので解
    b≠0のとき(3)から (b+2)a^2-2(b^2+2b+1)a+b^2(b+2)=0 … (4)
    (2)から(b+2)a^2=(b^2+2b+2)a-b(b+2)
    (4)から(b+2)a^2=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
    2式から (b^2+2b+2)a-b(b+2)=2(b^2+2b+1)a-b^2(b+2)
    整理して (b+2)(a-b+1)=0 … (5)
    b=-2のとき(5)は成り立ち、(2)からa=0、(1)からc=2
    (a,b,c)=(0,-2,2)も全式を満たすので解
    b≠-2のとき(5)から a-b+1=0 すなわち a=b-1
    (2)に代入して
    (b+2)(b-1)^2-(b^2+2b+2)(b-1)+b(b+2)=0
    これより b=4 なので a=b-1=3、(1)からc=5
    (a,b,c)=(3,4,5)も全式を満たすので解
    従って解は
    (a,b,c)=(0,0,0),(1,0,-1),(0,-2,2),(3,4,5)
    の4組。

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■50868 / ResNo.2)  Re[2]: 連立方程式
□投稿者/ まるは 一般人(2回)-(2021/06/27(Sun) 15:10:57)
    ありがとうございました!!
解決済み!
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