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■52416 / 親記事) 　複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)
    α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
    直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52419 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)
    2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

    条件から
    d[k]=|(1+α^k)/2|
    ∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
    d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
    =(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
    =(1/4){2+α^k+\(α^k)}
    更にθ=2π/11と置くと
    d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
    ={cos(kθ/2)}^2
    ここでk=1,2,3,4,5より
    kθ/2＜π/2
    ∴d[k]=cos(kθ/2)
    となるので
    e^(iθ/2)=β
    と置くと
    β^11=-1
    d[k]=(β^k+1/β^k)/2
    よって
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1〜5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
    =(1/2)Σ[k=1〜5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
    =(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
    =(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
    =(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
    =(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
    =1/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52434 / ResNo.2) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)
    ありがとうございました！
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


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■52415 / 親記事) 　三角形
□投稿者/ バイアス 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:47:35)
    △OABにおいて角Oの大きさをθラジアンとする。
    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)
    が成り立つことを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52420 / ResNo.1) 　Re[1]: 三角形
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 07:59:07)
    2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)

    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理
    ⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A)
    ∴(A)を証明します。

    ((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB)
    =2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2
    ((∵)和積の公式と半角の公式)
    =2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}
    =2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B)
    ここで
    0＜A＜π,0＜B＜π,0＜θ＜π (P)
    A+B+θ=π (Q)
    ∴
    0＜A+B＜π
    なので
    sin(A+B)＞0 (C)
    更に(P)(Q)より
    0＜(A+B)/2＜π/2
    -π/2＜(A-B)/2＜π/2
    又、
    (A+B)/2=(A-B)/2=0
    とはなりえないので
    cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}＜1 (D)
    (C)(D)より
    (B)＞0
    よって(A)は成立します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52414 / 親記事) 　確率
□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:17:22)
    2個のサイコロX,Yをn回投げる。
    k回目に出たX,Yの目をx[k],y[k]とする。
    x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
    が3の倍数になる確率を求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52417 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2023/12/28(Thu) 21:22:46)
    2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)

    a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。

    k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
    3で割った余りが1になる確率をq[k]、
    3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。

    k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。

    (1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
    x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。

    (1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
    x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。

    残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。

    k > 1のとき、
    a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
    a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
    p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
    となります。

    a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
    a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
    q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
    となります。

    a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
    a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
    a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
    r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
    となります。

    (2)-(3)より、
    q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
    ⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
    ⇒ q[k] = r[k]・・・(4)

    (4)→(1)より、
    p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
    ⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)

    (4)(5)→(2)より、
    (9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
    ⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
    ⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)

    (1)より、
    p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)

    (6)(7)より、
    3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
    ⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
    ⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
    ⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))

    上記はk = 1でも成り立ちます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52436 / ResNo.2) 　Re[2]: 確率
□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2024/01/02(Tue) 15:24:17)
    詳しくありがとうございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52413 / 親記事) 　三角数の和
□投稿者/ きんぴら5号 一般人(8回)-(2023/12/18(Mon) 16:11:18)
    ガウスの三角数定理「全ての自然数は3個以下の三角数の和に表せる」の証明ですが
    ガウス整数論の二次形式論(三元二次形式)から帰結される
    三平方和定理「mとkを非負整数とし(4^m)(8k+7)の形に表せない自然数は3個以下の自然数の平方の和に表せる」
    を根拠としているものしか見つけられませんでした。

    二次形式論を使用しない初等的な証明はないのでしょうか?
    (三角数定理または三平方和定理の初等的な証明は存在するのでしょうか?)

    もう一つ「全ての自然数が3個以下の三角数の和」かつ「自然数は乗法に閉じている」ことから
    「3個以下の三角数の和に表せる数は乗法に閉じている」といえると思います。
    このことを直接証明することはできるのでしょうか?

    n,u,a,b,c,v,p,q,rは非負整数としてT(n)=n(n+1)/2とおきます。
    u=T(a)+T(b)+T(c),v=T(p)+T(q)+T(r)ならば
    uv=T(x)+T(y)+T(z)となる非負整数x,y,zは存在すると言えるでしょうか?

    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■52412 / 親記事) 　コラッツ予想
□投稿者/ 成清　愼 一般人(1回)-(2023/12/17(Sun) 12:43:52)
    twitter.com/makotonarikiyo/status/1733705839184331230
    宜しくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。
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