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■52175 / 親記事)  関数の合成
□投稿者/ マル秘 一般人(1回)-(2023/05/04(Thu) 17:46:10)
    実数から実数への関数g(x)とh(x)に対して、
    任意の実数xに対してf(g(x))=g(f(x))かつf(h(x))=h(f(x))
    が成り立つようなf(x)でxではないものってどのようなものがあるのでしょうか?

    g(x)=sinx、h(x)=e^x や g(x)=x^2、h(x)=1/(1+x^2) などの場合で具体的に教えて下さい。
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■52173 / 親記事)  素数
□投稿者/ bbb 一般人(1回)-(2023/05/04(Thu) 12:32:58)
    1+5^n+5^(2n)+5^(3n)+5^(4n)
    の値をn=1,2,3,4,……と見ていったときに
    いつか素数が現れることはありますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52174 / ResNo.1)  Re[1]: 素数
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2023/05/04(Thu) 15:27:34)
    n=2^m・(2k+1)のとき
    f(n)=1+5^n+5^(2n)+5^(3n)+5^(4n)は
    g(k)=5^(4k+2)-5^(3k+2)+3・5^(2k+1)-5^(k+1)+1で割り切れ、
    f(n)>g(k)なのでf(n)が素数になることはないようです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52176 / ResNo.2)  Re[2]: 素数
□投稿者/ bbb 一般人(2回)-(2023/05/05(Fri) 05:36:20)
    驚きました
    ありがとうこざいました
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■52172 / 親記事)  不等式
□投稿者/ モウセンゴケ 一般人(1回)-(2023/05/04(Thu) 11:54:32)
    nが正の整数、logは自然対数のとき
    Σ[k=1→n]1/k < log(2n+1)
    の証明を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52178 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ X 一般人(3回)-(2023/05/06(Sat) 10:18:39)
    (i)n=1のとき
    1=loge<log3
    により、問題の不等式は成立。
    (ii)n=lのとき、問題の不等式の成立を仮定すると
    Σ[k=1〜l+1]1/k<log(2l+1)+1/(l+1) (A)
    ここで
    f(x)=log(2x+3)-log(2x+1)-1/(x+1) (B)
    と置くと
    f'(x)=2/(2x+3)-2/(2x+1)+1/(x+1)^2
    =-4/{(2x+1)(2x+3)}+1/(x+1)^2
    ={-4(x+1)^2+(2x+1)(2x+3)}/{(2x+1)(2x+3)(x+1)^2}
    =-1/{(2x+1)(2x+3)(x+1)^2}

    1≦xに対しf'(x)<0

    lim[x→∞]f(x)=0
    ∴1≦xに対しf(x)>0 (C)
    (A)(B)(C)から
    Σ[k=1〜l+1]1/k<log(2l+1)+1/(l+1)<log(2l+3)=log{2(l+1)+1}
    ∴問題の不等式n=l+1のときも成立。

    以上から数学的帰納法により、問題の不等式は成立します。
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■52180 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ モウセンゴケ 一般人(2回)-(2023/05/07(Sun) 20:35:51)
    有難うございます
    とても分かりやすく教えていただけて感謝しております
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52168 / 親記事)  表現
□投稿者/ の違い 一般人(1回)-(2023/05/02(Tue) 23:40:44)
    (a) 2桁以下の自然数で、2以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。
    (b) 2桁以下の自然数で、素因数が2だけであるものの個数を求めよ。
    (c) 2桁以下の自然数で、素因数を2以外に持たないものの個数を求めよ。

    これ らの答えを教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■52167 / 親記事)  微分
□投稿者/ 初 一般人(1回)-(2023/05/02(Tue) 23:25:29)
    tanのn階微分の求め方を教えてください。計算過程も含めてお願いいたします。
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