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■50497 / 親記事)  二項定理を使ったピタゴラスの定理の証明
□投稿者/ 日高 一般人(2回)-(2020/09/11(Fri) 07:52:26)
    【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
    【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
    (1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは有理数)
    (2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
    (3)の右辺を二項展開して、yに有理数を代入すると、xは有理数となり、x,y,zは整数比となる。
    (2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
    (4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa倍となるので、(4)のx,y,zも整数比となる。
    ∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
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■50496 / 親記事)  二項定理を使ったフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 日高 一般人(1回)-(2020/09/11(Fri) 07:50:11)
    【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
    【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
    (1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは有理数)
    (2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
    (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、x,y,zは整数比とならない。
    (2)はa=1以外、rが有理数のとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
    (4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,y,zも整数比とならない。
    (3)をx=sw、y=twとおいて、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとする。(s,tは有理数、wは無理数)
    両辺をw^pで割って、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w)^pとする。
    (p^{1/(p-1)})/wが無理数の場合は、(3)と同じとなるので、tが有理数のとき、sは無理数となる。
    (p^{1/(p-1)})/wが有理数の場合は、(4)となるので、sが有理数のとき、tは無理数となる。
    ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
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■50494 / 親記事)  数学A 図形の計算
□投稿者/ Aiz 一般人(1回)-(2020/09/05(Sat) 01:10:01)
    図のような△ABCがあり、重心をGとする。
    また、直線AGと辺BCの交点をDとする。
    (1)BD/BCの値を求めよ。また、AG/ADの値を求めよ。
    (2)線分AGの中点をE、直線CEと辺ABの交点をFとする。
    このとき、AF/FBの値を求めよ。
    (3) (2)のとき、直線BEと辺ACの交点をHとする。AH/HCの値を求めよ。
    また、△ABCの面積をSとするとき、四角形EDCHの面積をSを用いて表せ。

    (2)以降が全くわかりません。
    解き方をご教授いただけませんでしょうか。
    よろしくお願いいたします。
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■50491 / 親記事)  2次方程式
□投稿者/ KE 一般人(1回)-(2020/09/03(Thu) 12:19:10)
    次の問題をよろしくお願いします。

    「2次方程式x^2-6x+6=0の2つの解のうち、小さいほうの解の整数部分をa_1, 小数部分をb_1, 大きい方の解の整数部分をa_2,小数部分をb_2とおく(a_1,b_1,a_2,b_2>0)」

    問1 a_1,b_1,a_2,b_2を求めよ。
     
     →問1は分かります。

    問2 cosθ=1/(b_1b_2+a_1+a_2)とする。このとき,~sinθの値はcosθの何倍ですか。

     →問2を自分で解くと、cosθ=√3/9からsinθ=±√26/(3√3)となり、割り算すればよいことは分かるのですが、答えは±√26倍であっているのでしょうか。「±」が気になります。問題にはθの範囲はかいてありません。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50492 / ResNo.1)  Re[1]: 2次方程式
□投稿者/ X 一般人(8回)-(2020/09/03(Thu) 12:47:20)
    それで問題ありません。
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■50493 / ResNo.2)  Re[1]: 2次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2020/09/03(Thu) 17:29:29)
    問2の問題文中のsinの左にある「~」は何か意味がありますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50495 / ResNo.3)  Re[2]: 2次方程式
□投稿者/ KE 一般人(2回)-(2020/09/06(Sun) 05:53:07)
    No50493に返信(らすかるさんの記事)
    > 問2の問題文中のsinの左にある「~」は何か意味がありますか?

    すみません。ただの入力ミスでした。
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■50488 / 親記事)  ある式の微分における式変形について
□投稿者/ ジョンドゥ 一般人(1回)-(2020/08/31(Mon) 10:55:28)
    画像の式変形についての質問なのですが、黒文字の部分が矢印の先になるように式変形できるようです。
    私は赤文字のように積の微分の公式を用いて試みたのですがうまくいかず、皆様のお知恵を拝借させていただきたいです。
    よろしくお願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50489 / ResNo.1)  Re[1]: ある式の微分における式変形について
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2020/08/31(Mon) 11:43:10)
    pで微分してるんですよね?
    {(p^x)(1-p)^(n-x)}'
    ={p^x}'(1-p)^(n-x)+(p^x){(1-p)^(n-x)}'
    =xp^(x-1)(1-p)^(n-x)+(p^x)(n-x)(1-p)^(n-x-1){(1-p)}'
    =xp^(x-1)(1-p)^(n-x)-(p^x)(n-x)(1-p)^(n-x-1)
    です。

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■50490 / ResNo.2)  Re[2]: ある式の微分における式変形について
□投稿者/ ジョンドゥ 一般人(3回)-(2020/08/31(Mon) 13:38:45)
    らすかる様

    ありがとうございます。
    合成関数の微分が抜けていたのですね。。
    初歩的なミスでおはずかしい限りです。

    数式もご記入くださりありがとうございました。
    非常に分かり易かったです。
解決済み!
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