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■52443 / 親記事)  解答を教えてください
□投稿者/ 大学生 一般人(1回)-(2024/01/13(Sat) 01:45:38)
    幾何学の問題です。
    解答を教えていただけると幸いです。
1080×419 => 250×96

IMG_20240113_014454.jpg
/196KB
引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52448 / ResNo.1)  Re[1]: 解答を教えてください
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(1回)-(2024/01/13(Sat) 22:11:37)
    この時期はあなたのような「レポート丸投げ系」の投稿があるから、あまりいい気分はしない。そうでないにしても「何もしてないが答え教えて」というタイプの投稿に思えるので数学の本当に大事な部分を考えることを放棄していて、非常にもったいないことをしていると感じる。
    そしてこの内容であれば最低でも学部3年以上の講義であると思われるので、一体何しに大学へ通い、講義を受講しなのか甚だ疑問で仕方ない。(さらに言うと半期もしくは1年でで多様体の基本話一通りとPoincare-Hopfの定理やホモロジー群の話などかなり多岐にわたって話をしているので、控え目に見て相当恵まれた講義であったはずである)



    とりあえず各問題に簡単にヒントとなるであろうコメントをしておく。

    全ての問題に共通することとして、「問われている概念の定義は何か」ということです。例えば「多様体」について議論しているのに多様体を知らなければ話になりません。

    12
    多様体の定義を調べましょう。円周S^1が多様体となることは初期の方で理解すべき内容。4つの座標近傍を使う方法や立体射影や正則値定理などで示すことができる。

    3
    ヤコビ行列や特異点の定義を調べましょう。(多様体論でなくても、多変数の微積分で習う内容だと思う)

    4
    書いてある通り「はめ込みの定義を述べた上で理由も述べること」

    5
    部分多様体になることは直ちにわかる(と思う)
    「正則」の定義は何ですか?

    6
    ベクトル場の特異点、そこでの指数の定義。
    さらに今与えられたベクトル場の場合にどうなるかを計算します。
    また8番でPoincare-Hopfの定理があるので、それとの整合性も確認するとよいでしょう。

    7
    1-formの積分はどのように計算されますか?講義や演習でやったのではないでしょうか?

    8(ここまでの内容を講義で扱うことはほとんどないと思う。非常に素晴らしい)
    Poincare-Hopfの定理により特異点は2つであることがわかる。例えば球面上の回転するベクトル場(地球の緯線に沿うベクトル場)は北極点・南極点が特異点である。そのことをもう少し丁寧に説明すればよい(と思う
    境界のない2次元多様体の分類を知っているかどうかで大きく難易度が違ってくる。とりあえず球面や射影平面、トーラスなどで考察してみるとよいだろう。

    1
    とりあえずホモロジー群のランク(Betti数の定義)について計算できなkレばいけない。

    2
    トーラスを切っているが実質的に円盤D^2のホモロジー群を計算することになる。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52432 / 親記事)  複素数
□投稿者/ 平面 一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:16:25)
    教えて下さい。

    複素数 z, w は
    z^2 + w^2 = 1,
    |z| = 1
    を満たして動くとする。
    w の実部, 虚部のとりうる値の最大値をそれぞれ求めよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52437 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ WIZ 一般人(17回)-(2024/01/05(Fri) 00:10:58)
    2024/01/05(Fri) 10:36:42 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    iは虚数単位、a, b, u, vは実数とします。

    z = a+bi, w = u+viとします。

    |z| = 1
    ⇒ a^2+b^2 = 1・・・(1)

    z^2+w^2 = (a^2-b^2+2abi)+(u^2-v^2+2uvi) = 1
    上記より
    a^2-b^2+u^2-v^2 = 1・・・(2)
    2ab+2uv = 0・・・(3)

    (1)(2)より、
    (1-b^2)-b^2+u^2-v^2 = 1
    ⇒ u^2-v^2 = 2b^2・・・(4)

    (1)(3)より、
    uv = -ab
    ⇒ (u^2)(v^2) = (1-b^2)(b^2)・・・(5)

    (4)(5)より、
    (u^2)(u^2-2b^2) = b^2-b^4
    ⇒ u^4-2(b^2)u^2+(b^4-b^2) = 0
    ⇒ u^2 = b^2±√{b^4-(b^4-b^2)} = b^2±|b|

    -1 ≦ b < 0の場合、|b| = -bですから、
    u^2 = b^2+(-b) = b^2-b・・・(6A)
    または、
    u^2 = b^2-(-b) = b^2+b・・・(7A)
    です。

    0 ≦ b ≦ 1の場合、|b| = bですから、
    u^2 = b^2+b・・・(7B)
    または、
    u^2 = b^2-b・・・(6B)
    です。

    (6A)(6B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
    u^2 = b^2-b・・・(6)

    (7A)(7B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
    u^2 = b^2+b・・・(7)

    すなわち、(6)または(7)が成立すれば良いことになります。

    (6)の場合、(4)より、
    v^2 = u^2-2b^2 = -b-b^2
    となります。

    (6.1) -1 ≦ b ≦ 0ならば、
    u^2 = b^2-b ≧ 0かつ、b^2 ≦ -bなのでv^2 = -b-b^2 ≧ 0となります。
    u^2の最大値はb = -1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
    v^2の最大値はb = -1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
    # (d/db)u^2 = 2b-1 < 0, b = -1でu^2は最大
    # (d/db)v^2 = -1-2b, b = -1/2でv^2は極大

    (6.2) 0 < b ≦ 1ならば、
    v^2 = -b-b^2 < 0で不適格です。

    (7)の場合、(4)より、
    v^2 = u^2-2b^2 = b-b^2
    となります。

    (7.1) -1 ≦ b < 0ならば、
    v^2 = b-b^2 < 0となり不条理です。

    (7.2) 0 ≦ b ≦ 1ならば、
    u^2 = b^2+b ≧ 0かつ、b^2 ≦ bなのでv^2 = b-b^2 ≧ 0となります。
    u^2の最大値はb = 1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
    v^2の最大値はb = 1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
    # (d/db)u^2 = 2b+1 > 0, b = 1でu^2は最大
    # (d/db)v^2 = 1-2b, b = 1/2でv^2は極大

    以上から、Re(w)の最大値はu = √2, Im(w)の最大値はv = 1/2となります。
    # 勿論、Re(w)とIm(w)が同時に最大値となる訳ではありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52431 / 親記事)  囲まれた面積
□投稿者/ あけお 一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:13:00)
    60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
    x=4
    x=0
    で囲まれた部分の面積と4はどちらが大きいのですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52433 / ResNo.1)  Re[1]: 囲まれた面積
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/01/01(Mon) 11:05:39)
    4の方が大きいです。
    60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
    はy=1/2に関して対称であり、y≧1/2の部分の式はyについて解いて
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    よってこれとy=1/2とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が2より小さいことを示せばよい。
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    をx=2に関して対称に移動すると(xを4-xに置き換えて整理)
    y={30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    なので
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    +{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が4より小さいことを示せばよい。
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    +{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    を整理すると
    y=1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30 … (1)
    (x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≧0(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    なので
    225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≦225(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    √{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦15(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦450(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦900(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    √{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}≦30(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    √{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦1(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦2(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    よって(1)はx=0,1,2,3,4のときy=2、0<x<4かつx≠1,2,3のとき1<y<2
    なので、この曲線とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積は4より小さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52435 / ResNo.2)  Re[2]: 囲まれた面積
□投稿者/ あけお 一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 17:53:51)
    ありがとうございます!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52426 / 親記事)  極限の問題 2改
□投稿者/ むぎ 一般人(7回)-(2023/12/30(Sat) 17:22:40)
    この問題の解法を教えていただきたいです。極限の問題です
2144×764 => 250×89

1703924560.jpg
/195KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52428 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の問題 2改
□投稿者/ X 一般人(6回)-(2023/12/30(Sat) 18:08:45)
    2023/12/30(Sat) 18:11:16 編集(投稿者)

    1/x=tと置くと
    (与式)=lim[t→∞]t/e^t
    ここで
    f(t)=e^t-{1+t+(1/2)t^2}
    と置くと
    f'(t)=e^t-1-t
    f"(t)=e^t-1
    ∴t≧0において
    f"(t)≧0ゆえf'(t)は単調増加
    ∴f'(t)≧f(0)=0
    ∴f(t)も単調増加となり
    f(t)≧f(0)=0
    ∴e^t≧1+t+(1/2)t^2
    となるので
    0<t/e^t≦t/{1+t+(1/2)t^2}=1/(1/t+1+t/2)
    よってはさみうちの原理により
    (与式)=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52424 / 親記事)  微分可能な点を求める問題
□投稿者/ むぎ 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 17:11:19)
    この問題の解法を教えていただきたいです。微分可能かの問題です
2075×790 => 250×95

S__137854992_0.jpg
/142KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52430 / ResNo.1)  Re[1]: 微分可能な点を求める問題
□投稿者/ WIZ 一般人(16回)-(2023/12/31(Sun) 00:44:44)
    Qは有理数体、Rは実数体と解釈して回答します。
    バックスラッシュは環境依存文字らしいので、差集合はR-Qと表記します。

    関数f(x)の定義は
    x ∈ Qならば、f(x) = (x-2)^2
    x ∈ R-Qならば、f(x) = 0
    となります。

    微分可能である点は連続でなければなりません。

    x = aでf(x)が連続であるためには、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|f(x)-f(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    しかし、a ∈ Qかつa ≠ 2で、f(a) = (a-2)^2 > εとなるεに対して、
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(a)| = |f(a)| ≧ εとなり、
    x ≠ 2でf(x)は連続ではなく微分可能でもないと言えます。

    a = 2のときは、x ∈ R-Qのときはεとδの値に関わらず、
    |f(x)-f(a)| = 0 < εとなります。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = (x-2)^2 = |x-2|^2 < εとする為に、
    δ < √εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は連続と言えます。

    微分可能性は、x = aでf'(a)が存在すると仮定すると、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    a = 2の場合、f'(2)が存在すると仮定すると、
    f'(2) = lim[h→0]{(f(2+h)-f(2))/h}
    h ∈ Qならば、lim[h→0]{(h^2)/h} = 0
    h ∈ R-Qならば、lim[h→0]{0/h} = 0
    となり、f'(2) = 0であることが必要です。

    f'(2) = 0と仮定します。
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(2)| = 0ですので、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = 0 < εが成り立ちます。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = |x-2|^2より、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = |x-2| < εより、δ < εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は微分可能と言えます。

    # トマエ関数で検索すると参考になる情報が見られます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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