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■48774 / 親記事)  一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ モウフィス 一般人(1回)-(2018/08/31(Fri) 18:56:52)
    a,b,c,d,p,qは実数で、|ad-bc|=|pq|≠0をみたしている。
    xy平面上において|ax+by|≦|p|かつ|cx+dy|≦|q|をみたす
    点(x,y)全体からなる領域の面積を求めよ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48779 / ResNo.1)  Re[1]: 一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2018/08/31(Fri) 22:36:58)
    しっかり考えていませんのであまり自信がありませんが

    直線ax+by±p=0と原点との距離は
    点と直線の距離の公式により|p|/√(a^2+b^2)
    直線cx+dy±q=0と原点との距離は同様に|q|/√(c^2+d^2)
    cos(2直線のなす角)=|ac+bd|/{√(a^2+b^2)・√(c^2+d^2)}
    sin(2直線のなす角)=√{1-(ac+bd)^2/{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}
    =|ad-bc|/√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}
    なので、求める面積は
    2|p|/√(a^2+b^2)×2|q|/√(c^2+d^2)÷|ad-bc|/√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}
    =4|pq/(ad-bc)|

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48784 / ResNo.2)  Re[2]: 一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ モウフィス 一般人(2回)-(2018/09/01(Sat) 20:53:59)
    4、ということですね。
    有難うございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48731 / 親記事)  判別式
□投稿者/ 男子400mリレー 一般人(1回)-(2018/08/29(Wed) 22:00:59)
    x^2+y^2≠0をみたす任意の実数x,yに対して、常に
    x^2+y^2≠(ax+by)^2+(cx+dy)^2
    が成り立つための実数a,b,c,dに関する必要十分条件を
    α:=ad-bc, β:=a^2+b^2+c^2+d^2
    を用いて表せ。

    この問題なのですが、たぶん二次方程式の判別式を使うだけだとは思うのですが、
    二次の係数が0かそうでないかで場合分けしているうちによく分からなくなってしまいました。
    詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48733 / ResNo.1)  Re[1]: 判別式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2018/08/29(Wed) 22:57:16)
    (a^2+c^2-1)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2-1)y^2≠0
    y=0のときにx≠0である解を持たないためにはa^2+c^2-1≠0が必要。
    よって常にxの二次式と考えてよい。
    D/4={(ab+cd)y}^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)y^2
    ={(ab+cd)^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)}y^2
    =(β-α^2-1)y^2
    y≠0,β-α^2-1<0のとき解を持たないが、
    β-α^2-1<0すなわち
    (ab+cd)^2-(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)<0
    ならば
    (ab+cd)^2<(a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)
    なのでa^2+c^2-1≠0も成り立ち、
    y=0のときも条件を満たす。
    よって求める必要十分条件はβ-α^2-1<0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48746 / ResNo.2)  Re[2]: 判別式
□投稿者/ 男子400mリレー 一般人(2回)-(2018/08/30(Thu) 11:50:09)
    思っていたより複雑でした
    ありがとうございました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48702 / 親記事)  近似式
□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2018/08/28(Tue) 08:28:32)
    数Bの近似式で
    関数f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)は
      f'(a)=lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h
    であるから、|h|が十分0に近いとき
       f'(a)≒(f(a+h)-f(a))/h

    とあります。どうして|h|が十分0に近いときlim[h→0]がなくなるのですか。
     
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48704 / ResNo.1)  Re[1]: 近似式
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2018/08/28(Tue) 08:47:14)
    |h|が十分0に近いときlim[h→0]がなくなるわけではありません。
    |h|が十分0に近く、かつ「=」を「≒」に変えた場合に
    lim[h→0」をなくすことができます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48723 / ResNo.2)  Re[2]: 近似式
□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2018/08/28(Tue) 14:33:10)
    No48704に返信(らすかるさんの記事)
    > |h|が十分0に近いときlim[h→0]がなくなるわけではありません。
    > |h|が十分0に近く、かつ「=」を「≒」に変えた場合に
    > lim[h→0」をなくすことができます。

    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48620 / 親記事)  数列の周期と初項
□投稿者/ ミヤゾンちえみ 一般人(1回)-(2018/08/26(Sun) 19:13:33)
    数列{a[n]}は、初項a[1]が有理数で、
    全てのn≧1に対して
    a[n+1]=a[n]^2 -29/16
    という関係を満たしています。
    以下の条件をみたす初項a[1](有理数)を全て知りたいです(求め方も)。
    条件:ある自然数kとpが存在して、
    任意のn≧kに対して
    a[n]=a[n+p]
    が成り立つ。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48708 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の周期と初項
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2018/08/28(Tue) 09:52:37)
    a[1]=u/v(uとvは互いに素な整数でv>0)とします。
    もしvが奇素数を素因数に持つと、数列の分母は
    増加し続けますので、条件を満たしません。
    もしv=2^m(m≧3)とすると、やはり数列の分母が
    増加し続けますので、条件を満たしません。
    もしv=2またはv=1とするとa[2]の分母が16となり、同様に
    数列の分母が増加し続けますので、条件を満たしません。
    従ってv=4です。
    2^2-29/16=35/16>2から
    |a[n]|≧2のときa[n+1]>|a[n]|で数列が増加し続けますので、
    |a[1]|<2に限定されます。
    よってa[1]の候補は±1/4,±3/4,±5/4,±7/4に限定されます。
    また上記からわかるように、数列の途中で分母が4以外になると
    条件を満たさなくなります。
    |a[n]|=1/4のとき
    a[n+1]=1/16-29/16=-7/4
    |a[n]|=3/4のとき
    a[n+1]=9/16-29/16=-5/4
    |a[n]|=5/4のとき
    a[n+1]=25/16-29/16=-1/4
    |a[n]|=7/4のとき
    a[n+1]=49/16-29/16=5/4
    ですから、a[1]=±1/4,±3/4,±5/4,±7/4であれば
    この範囲内の値しかとりませんので、必ず循環して条件を満たします。
    従って条件を満たす初項a[1]は
    ±1/4,±3/4,±5/4,±7/4となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48727 / ResNo.2)  Re[2]: 数列の周期と初項
□投稿者/ ミヤゾンちえみ 一般人(3回)-(2018/08/29(Wed) 10:17:12)
    有難うございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48510 / 親記事)  ベクトル
□投稿者/ 受験生 一般人(1回)-(2018/07/29(Sun) 11:20:28)
    模範解答お願いします。
1024×620 => 250×151

85CC4ACC-3386-46AB-B248-5EAF482FA1D3.jpeg
/138KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48517 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/08/18(Sat) 20:32:22)
    四面体OABCがあり,|OA|=|OB|=|OC|=1,∠AOB=π/3,OA⊥BC,OB⊥ACである.
    また,OA=a,OB=b,OC=cとし,
    OD=a+b,OE=b+c,OP=2a,OQ=(3/2)b,
    OR=(6/5)cで定まる5つの点D,E,P,Q,Rをとる.
    (1)
    a・b
    =|a||b|cos∠AOB
    =cosπ/3
    =1/2

    OB⊥ACだから
    b・(c-a)=0
    (b・c)-(a・b)=0
    b・c=a・b=1/2

    OA⊥BCだから
    (c-b)・a=0
    (c・a)-(a・b)=0
    c・a=a・b=1/2

    (2)
    0<s<1,s≠3/4
    線分ADをs:(1-s)に内分する点をX,
    線分CEを(1-s):sに内分する点をYとし,
    0<t<1
    線分XYをt:(1-t)に内分する点をZとする.
    X
    =(1-s)A+sD
    =(1-s)a+s(a+b)
    =(1-s+s)a+sb
    =a+sb

    Y
    =sC+(1-s)E
    =sc+(1-s)(b+c)
    =(1-s+s)c+(1-s)b
    =c+(1-s)b

    OZ
    =(1-t)X+tY
    =(1-t)(a+sb)+t{c+(1-s)b}
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc

    点Zが平面PQR上にあるとき
    OZ=(1-x-y)P+xQ+yR
    となるx,yがある
    P=2a,Q=(3/2)b,R=(6/5)cだから
    OZ
    =2(1-x-y)a+(3x/2)b+(6y/5)c
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
    =(1-t)a+(3x/2)b+tc
    だから
    2(1-x-y)=1-t
    3x/2=s+t-2st
    6y/5=t
    6y=5t
    6x=4(s+t-2st)
    6(1-x-y)=3(1-t)
    6=5t+4(s+t-2st)+3(1-t)
    3=6t+4s-8st
    8st-6t-4s+3=0
    2t(4s-3)-4s+3=0
    (2t-1)(4s-3)=0
    s≠3/4だから4s-3≠0だから
    4s-3で両辺を割ると
    2t-1=0
    2t=1
    t=1/2
    ↓これを6y=5tに代入すると
    6y=5/2
    y=5/12
    ↓これとt=1/2を2(1-x-y)=1-tに代入すると
    7/6-2x=1/2
    2/3=7/6-1/2=2x
    x=1/3
    ↓これとt=1/2をOZ=(1-t)a+(3x/2)b+tcに代入すると

    OZ=(1/2)a+(1/2)b+(1/2)c

    (3)
    点KをOK=ka(kは実数で定まる点とする.
    (2)の点Zが平面PQR上にあるとき,
    直線ZKが平面OBCに垂直となるとき
    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OB=0
    =(ka-(a+b+c)/2)・b=0
    =k(a・b)-{(a・b)+|b|^2+(c・b)}/2=0
    ={(2k-1)(a・b)-|b|^2-(c・b)}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1-1/2}/2=0
    2k-1-2-1=0
    2k=4
    k=2

    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OC
    =(ka-(a+b+c)/2)・c=0
    =k(a・c)-{(a・c)+(b・c)+|c|^2}/2=0
    ={(2k-1)(a・c)-(b・c)-|c|^2}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1/2-1}/2=0
    2k-1-1-2=0
    2k=4
    k=2
    だから
    k=2
    の時ZKはOBとOCの両方に垂直だから平面OBCに垂直となる
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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