数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 99]

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■47607 / 親記事)

　有理点

□投稿者/ 掛け流し一般人(1回)-(2016/03/23(Wed) 14:26:34)

次の問題について、ご教授下さい。
「座標平面において、円x~2+y~2=3 上には有理点が存在しない。」
を示せ。」
単位円であれば、有理点は無数に存在することは、よく知られていますが、････。
よろしくお願いします。

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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]

■47608 / ResNo.1)

　Re[1]: 有理点

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2016/03/23(Wed) 18:06:02)

もし有理点(x,y)=(p/q,r/s)（p,q,r,sは自然数）が存在したとすると
(ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2
となりますが、3(qs)^2は二個の平方数の和で表されるための必要十分条件
「4k+3型の素因数の指数が全て偶数」を満たしませんので
二個の平方数の和では表せず、従って
(ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2 を満たす自然数は存在しませんので
x^2+y^2=3を満たす有理点も存在しません。

二個の平方数の和で表されるための必要十分条件についての証明が必要でしたら
例えば↓ここらへんをご覧下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47609 / ResNo.2)

　Re[2]: 有理点

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2016/03/23(Wed) 21:58:35)

らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47615 / ResNo.3)

　Re[2]: 有理点

□投稿者/ コピー一般人(3回)-(2016/04/02(Sat) 21:46:01)

■No47608に返信(らすかるさんの記事)
> もし有理点(x,y)=(p/q,r/s)（p,q,r,sは自然数）が存在したとすると
> (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2
> となりますが、3(qs)^2は二個の平方数の和で表されるための必要十分条件
> 「4k+3型の素因数の指数が全て偶数」を満たしませんので
> 二個の平方数の和では表せず、従って
> (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2 を満たす自然数は存在しませんので
> x^2+y^2=3を満たす有理点も存在しません。
>
> 二個の平方数の和で表されるための必要十分条件についての証明が必要でしたら
> 例えば↓ここらへんをご覧下さい。
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C
> コピー http://www.poo111.com/

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■47617 / ResNo.4)

　Re[3]: 有理点

□投稿者/ GFF 一般人(1回)-(2016/04/04(Mon) 13:06:24)
http://www.kopitokeitop.com/

らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47820 / ResNo.5)

　Re[3]: 有理点

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2016/11/17(Thu) 02:42:44)
http://www.kyoto-burand.com/

■No47609に返信(掛け流しさんの記事)
> らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
> 「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
> ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47402 / 親記事)

　あほ教師

□投稿者/ Vライン一般人(1回)-(2015/07/25(Sat) 21:23:59)

うちの学校はあほ教師ですよね？下のやりとりを読んでもらえませんか？？

試験問題：A＝2x+1のとき、3x^2+A＝0を満たす実数xを求めよ。

おいらの答え：x＝6482387898465

教師「君の答えはふざけているぞ。正解は、"xは存在しない"なんだなこれが。
いつも数学では答えがあると思ったら大間違いだぞ。だから10点マイナスだ！」
おいら「どうしてですか？Aが間違ってるんだからxはなんだっていいんじゃないん
ですか？？」
教師「おい！それじゃ数学にならないだろ！とにかく点数はやらんぞ！」

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47403 / ResNo.1)

　Re[1]: あほ教師

□投稿者/ らすかる大御所(354回)-(2015/07/25(Sat) 23:35:07)

x=6482387898465 のとき、A=2x+1とすると A=12964775796931 となり、
(x,a)=(6482387898465,12964775796931) は 3x^2+A=0 を満たしませんので
x=6482387898465 という解は誤りです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47404 / ResNo.2)

　Re[1]: あほ教師

□投稿者/ あほ一般人(1回)-(2015/07/26(Sun) 01:58:30)

Aが間違っているというのはなぜ？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47543 / ResNo.3)

　Re[1]: あほ教師

□投稿者/ ・ｽﾘ・ｿｽ・ｽb・ｽv 一般人(1回)-(2015/12/30(Wed) 12:30:53)

■No47402に返信(Vラインさんの記事)
> 試験問題：A＝2x+1のとき、3x^2+A＝0を満たす実数xを求めよ。
Ａ＝２ｘ+１なので代入して
３ｘ＾２＋２ｘ＋１＝０
解の公式に代入
ｘ＝（－２±√（４－４×１×３））/６
ｘ＝ (－１±√(－２)）/３
よってxは虚数(高校で習う)となる。しかしｘは実数とあるので条件に合うⅩは存在しない。

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■46659 / 親記事)

　素数

□投稿者/ 大蛇一般人(1回)-(2015/01/09(Fri) 17:58:05)

pを素数とすると、2^p-1の素因数は全てpより大きいことを示せ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス10件(ResNo.6-10 表示)]

■46665 / ResNo.6)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2015/01/10(Sat) 00:51:37)

スレ主さんの仰る通りですね。
「a^1, a^2, a^3, ・・・, a^(q-1)は全て法qで非合同」になるのは
aが法qの原始根の場合だけですね。

pが2を原始根として持つ素数ならば私の提示した方法で説明できてるけど、
それ以外の素数はアウトですね!

よって、私の書き込みは無視してください。申し訳ありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■46667 / ResNo.7)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ みずき一般人(16回)-(2015/01/10(Sat) 02:35:07)

次のようにできると思います。

qを2^p -1の任意の素因数とすると、2^p≡1 (mod q)。
ここで、集合Uを
U={n｜nは正の整数で、2^n -1が素因数qで割り切れる}
で定め、Uの中で最小な正の整数をeとする。

ここで次の命題を証明する。
「Uの任意の元をmとするとき、mがeで割り切れる」
（命題の証明）
mがeで割り切れないと仮定する。
mをeで割ったときの商をs、余りをrとするとm=es+r（0＜r＜e）と表せる。
このとき2^r≡2^r*1≡2^r*{(2^e)^s}≡2^(es+r)≡2^m≡1 (mod q)
だから、2^r -1はqで割り切れる。
0＜r＜eだから、rはeより小さなUの要素となるが、これはeの最小性に反する。
従って、仮定が誤りで、mはeで割り切れる。
（命題の証明終了）

2^p≡1 (mod q)と命題によりpはeで割り切れるから、eはpの約数。
pは素数だから、e=1,pのいずれか。
e=1とすると、2-1=1がqで割り切れることになり不合理なので、e=p。
2^p -1は奇数だから、qは奇素数。よって、2とqは互いに素だから、
フェルマーの小定理より、2^(q-1)≡1 (mod q)が言えて、
命題によりq-1はe=pで割り切れる。
よって、p≦q-1なので、p＜qが言えました。

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■46668 / ResNo.8)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2015/01/10(Sat) 04:33:48)

スレ汚し申し訳ありません。

自然数aが素数qと互いに素な場合、ある自然数eが存在して
a^e ≡ 1 (mod q) (フェルマーの小定理の系(カーマイケルの定理?))
となります。eはq-1の約数となりますので、1 ≦ e ≦ q-1です。
e = 1となるのはa = 1の場合だけですので、a = 2ならば1 < e ≦ q-1となります。

q ≦ pつまりq-1 < pと仮定すると、1 < e < pです。
ここで2^p ≡ 1 (mod q)ならばpはeの倍数となり、これはpが素数であることに反します。
よって、q ≦ pは不可能です。

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■46688 / ResNo.9)

　Re[2]: 素数

□投稿者/ 大蛇一般人(6回)-(2015/01/14(Wed) 07:51:17)

ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47842 / ResNo.10)

　素数の勉強会します

□投稿者/ Tommy. P.N. 一般人(1回)-(2016/12/24(Sat) 02:48:57)
http://youtu.be/WNyZwjk5KCw

http://youtu.be/WNyZwjk5KCw
突然ですが、今週日曜日に素数の勉強会を開催します。
素数の好きな方歓迎します。
ヨロシクお願い致します。

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■45707 / 親記事)

　角度

□投稿者/ さっちゃん一般人(1回)-(2014/02/04(Tue) 14:43:08)

x軸上の正の部分に点Aをとり、y軸上の正の部分に点Bをとり、z軸上の正の部分に点Cをとる。∠ACBは90°より小さくなることを説明する問題なんですが、∠AOBより小さくなるからではだめだそうで、やり方がよくわからないです。お願いします。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■45708 / ResNo.1)

　Re[1]: 角度

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2014/02/04(Tue) 19:56:48)

「∠AOBより小さくなるから」だけではダメでしょうね。
少なくとも「∠AOBより小さくなる」理由を説明しなければいけません。
学年がわかりませんので方法が適切かどうかはわかりませんが、例えば
三平方の定理から
AC^2=AO^2+OC^2＞AO^2
BC^2=BO^2+BC^2＞BO^2
なので、余弦定理を使って
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2・AC・BC)
＞(AO^2+BO^2-AB^2)/(2・AC・BC)＝0　（ここでも三平方の定理を使用）
∴∠ACB＜90°

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■45709 / ResNo.2)

　Re[2]: 角度

□投稿者/ yo 一般人(1回)-(2014/02/05(Wed) 01:32:08)
http://yo.mcutesbbs.com

■No45708に返信(らすかるさんの記事)
> 「∠AOBより小さくなるから」だけではダメでしょうね。
> 少なくとも「∠AOBより小さくなる」理由を説明しなければいけません。
> 学年がわかりませんので方法が適切かどうかはわかりませんが、例えば
> 三平方の定理から
> AC^2=AO^2+OC^2＞AO^2
> BC^2=BO^2+BC^2＞BO^2
> なので、余弦定理を使って
> cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2・AC・BC)
> ＞(AO^2+BO^2-AB^2)/(2・AC・BC)＝0　（ここでも三平方の定理を使用）
> ∴∠ACB＜90°

ありがとうございます

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■47814 / ResNo.3)

　Re[3]: 角度

□投稿者/ tokeitop 一般人(1回)-(2016/11/10(Thu) 02:40:59)

■No45709に返信(yoさんの記事)
> ■No45708に返信(らすかるさんの記事)
>>「∠AOBより小さくなるから」だけではダメでしょうね。
>>少なくとも「∠AOBより小さくなる」理由を説明しなければいけません。
>>学年がわかりませんので方法が適切かどうかはわかりませんが、例えば
>>三平方の定理から
>>AC^2=AO^2+OC^2＞AO^2
>>BC^2=BO^2+BC^2＞BO^2
>>なので、余弦定理を使って
>>cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2・AC・BC)
>>＞(AO^2+BO^2-AB^2)/(2・AC・BC)＝0　（ここでも三平方の定理を使用）
>>∴∠ACB＜90°
>
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■45411 / 親記事)

　n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/07/06(Sat) 11:00:53)

有理数全体の集合が可算である事を知る為に,n番目の有理数を求める公式を探しています(自分でもトライしてみたのですが,
1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
約分できる分数をカウントしないようにするのはどうすればいいのか分りません。

どなたか
n番目の有理数を求める公式が載ってるサイトをご存知でしたらお教え下さい。

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▽[全レス24件(ResNo.20-24 表示)]

■45557 / ResNo.20)

　n番目の有理数の式

□投稿者/ とんからり一般人(1回)-(2013/10/15(Tue) 10:51:17)

検索でたどり着きました。これで意図にあうかはわかりませんが、n番目の有理数の式は

f(n)
=
0 (n=1 の時)
1 (n=2 の時)
-1 (n=3 の時)
((-1)^n)*Πp(i)^(((-1)^e(i))*[(e(i)+1)/2])
(n>3 で、
[n/2]=Πp(i)^e(i)
と素因数分解される時)

と与えることができます。大きい自然数には素因数分解があるので実用的ではないというネックはありますが。

この逆関数 g:Q→N は、

g(x)
=
1 (x=0 の時)
2 (x=1 の時)
3 (x=-1 の時)
2x^2 (x=2,3,4,… の時)
2x^2+1 (x=-2,-3,-4,… の時)
2Πp(i)^(-1+2e(i))
(x=1/(Πp(i)^e(i))の時)
1+2Πp(i)^(-1+2e(i))
(x =-1/(Πp(i)^e(i))の時)
2(Πp(i)^(-1+2e(i)))(Πq(j)^(2h(j)))
(x=(Πq(j)^h(j))/(Πp(i)^e(i))の時)
1+2(Πp(i)^(-1+2e(i)))(Πq(j)^(2h(j)))
(x=-(Πq(j)^h(j))/(Πp(i)^e(i))の時)

です。よって与えられた有理数が何番目かも計算で求められます。

なお、n番目の素数を+-*√Σを使って明示的にnの式で表すこともできます。

(携帯)

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■45607 / ResNo.21)

　Re[2]: n番目の有理数の式

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/11/03(Sun) 07:07:40)

> なお、n番目の素数を+-*√Σを使って明示的にnの式で表すこともできます。

大変有難うございます。ちょっと検証してみたいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■45779 / ResNo.22)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ honma 一般人(1回)-(2014/03/23(Sun) 19:03:03)

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fraction/fraction.htm
の一番下に書いておきました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■45780 / ResNo.23)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2014/03/24(Mon) 05:42:59)

honma先生有難うございます。
ちょっと参考にさせていただきたいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■46342 / ResNo.24)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ JT 一般人(1回)-(2014/07/14(Mon) 08:13:22)

$2$f(x)=\dfrac1{1+2[x]-x}$ とするとき，n番目の有理数は $2$f^n(0)$ です。ここで $2$[x]$ はガウスの記号，実数 $2$x$ の整数部分を表します。また $2$f^n$ は $2$f$ を $2$n$ 回繰り返す演算です。例えば $2$n=2,3,4$ のときは $2$f^2(0)=f(f(0)),f^3(0)=f(f(f(0))),f^4(0)=f(f(f(f(0))))$ です。これについて詳しいことは，数学セミナー2013年12月号，pp.54--57「有理数をカウントする数式」を参照するとよいでしょう。

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