■記事リスト / ▼下のスレッド
□投稿者/ エクセルシオール 一般人(5回)-(2024/04/23(Tue) 21:13:32)
 | 数列a[n]=n(3n+1) (n=1,2,3…)に対して、無限和Σ[n=1,∞]1/a[n]の値を求めよ。
という問題なのですが、区分求積法を使うのかもしれませんが、
どの様に変形すれば良いのか分かりません。
解法を教えてください。よろしくお願いいたします。
|
|
|
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■52512 / ResNo.1) |
Re[1]: 無限和
|
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2024/04/24(Wed) 01:29:09)
| -log(1-x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+…
から
-xlog(1-x)=x^2+x^3/2+x^4/3+x^5/4+…
a=(-1+i√3)/2
b=(-1-i√3)/2
とおくと
a^1=a, a^2=b, a^3=1, a^4=a, a^5=b, a^6=1, …
b^1=b, b^2=a, b^3=1, b^4=b, b^5=a, b^6=1, …
なので
-alog(1-a)=b+1/2+a/3+b/4+1/5+a/6+b/7+…
-blog(1-b)=a+1/2+b/3+a/4+1/5+b/6+a/7+…
2式の差をとり
{-alog(1-a)+blog(1-b)}
=(b-a)+(a-b)/3+(b-a)/4+(a-b)/6+(b-a)/7+…
=(a-b)(-1+1/3-1/4+1/6-1/7+…)
∴-1+1/3-1/4+1/6-1/7+…={-alog(1-a)+blog(1-b)}/(a-b)
={{(1-i√3)/2}log((3-i√3)/2)-{(1+i√3)/2}log((3+i√3)/2)}/{(-1+i√3)/2-(-1-i√3)/2}
={{(1-i√3)/2}(log3/2-iπ/6)-{(1+i√3)/2}(log3/2+iπ/6)}/(i√3)
={{(1-i√3)/2-(1+i√3)/2}(log3/2)-{(1-i√3)/2+(1+i√3)/2}(iπ/6)}/(i√3)
={-(i√3)(log3/2)-(iπ/6)}/(i√3)
=-log3/2-π/(6√3)
従って
(与式)=3{1-log3/2-π/(6√3)}=3-3log3/2-π/(2√3)
|
|
|
| ■52513 / ResNo.2) |
Re[1]: 無限和
|
□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2024/04/24(Wed) 11:25:27)
| 別解
区分求積ではないですが定積分の計算に帰着させることはできます。
部分分数に分解すると、
1/a[n] = 3/{(3n)(3n+1)} = 3{1/(3n)-1/(3n+1)}
ここで、mを自然数として
∫[0, 1]{x^m}dx = [(x^(m+1))/(m+1)]_[0, 1] = 1/(m+1)
ですから、nを自然数として
1/(3n) = ∫[0, 1]{x^(3n-1)}dx
1/(3n+1) = ∫[0, 1]{x^(3n)}dx
よって、
(1/3)Σ[n=1, ∞]{1/a[n]}
= Σ[n=1, ∞]{1/(3n)-1/(3n+1)}
= Σ[n=1, ∞]{∫[0, 1]{x^(3n-1)-x^(3n)}dx}
= ∫[0, 1]{Σ[n=1, ∞]{x^(3n-1)-x^(3n)}}dx
= ∫[0, 1]{Σ[n=1, ∞]{(x^2-x^3)(x^(3(n-1)))}}dx
上記で、少し強引ですが積分範囲を[0, 1-0]と見なせば、0 ≦ x < 1となり、
n→∞のときx^(3n)→0となるので、等比級数の値は、
Σ[n=1, ∞]{(x^2-x^3)(x^(3(n-1)))}
= lim[n→∞]{(x^2-x^3)(1-x^(3n))/(1-x^3)}
= (x^2-x^3){1/(1-x^3)}
= (x^2)/(1+x+x^2)
以上から、
(1/3)Σ[n=1, ∞]{1/a[n]}
= ∫[0, 1]{(x^2)/(1+x+x^2)}dx
= ∫[0, 1]{(x^2+x+1-x-1)/(1+x+x^2)}dx
= ∫[0, 1]{1-(x+1)/(1+x+x^2)}dx
= [x]_[0, 1]-∫[0, 1]{(1/2)(2x+2)/(1+x+x^2)}dx
= -∫[0, 1]{(1/2)(2x+1)/(1+x+x^2)+(1/2)/(1+x+x^2)}dx
= 1-(1/2)[log(1+x+x^2)]_[0, 1]+(1/2)∫[0, 1]{1/(1+x+x^2)}dx
= 1-(1/2)log(3)+(1/2)∫[0, 1]{1/(1+x+x^2)}dx
上記最後の積分で、t = (2/√3)(x+1/2)とおくと、dt = (2/√3)dx, tの積分範囲は[1/√3, √3]です。
∫[0, 1]{1/(1+x+x^2)}dx
= ∫[1/√3, √3]{1/(3/4+(3/4)t^2)}((√3)/2)dt
= (2/√3)[arctan(t)]_[1/√3, √3]
= (2/√3)(π/3-π/6)
= π/(3√3)
纏めると、
Σ[n=1, ∞]{1/a[n]}
= 3{1-(1/2)log(3)+(1/2)π/(3√3)}
= 3-(3/2)log(3)+π/(2√3)
# らすかるさん及びWolfram Alphaの結果と一致してめでたしめでたし!
|
|
|
| ■52514 / ResNo.3) |
Re[1]: 無限和
|
□投稿者/ エクセルシオール 一般人(6回)-(2024/04/24(Wed) 22:16:41)
| らすかるさんとWIZさん、回答ありがとうございます。
お二人の式変形とても複雑で、どうしてそのような解法を思い付けたのか驚異です。
以前質問させて頂いたときも、らすかるさんに回答で、その解法に至ったのは
見覚えがあった式から置き換えを推論したと仰っていました。
もし、よろしければお二人の解法に至った経緯などをアドバイスして頂ければと思います。
よろしくお願いいたします。
|
|
|
| ■52515 / ResNo.4) |
Re[2]: 無限和
|
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2024/04/24(Wed) 22:45:25)
| 私の解法は、1,1/2,1/3,…から適当な項を除いて足したり引いたりする
無限級数の和の求め方のメモがありますので、その中で
使えそうなものを探し、方法を真似て計算しました。
ちなみに参考にしたものは
1+1/2-1/4-1/5+1/7+1/8-1/10-1/11+…=2π/(3√3)
という式の求め方です。
（この場合はa=(1+i√3)/2, b=(1-i√3)/2とおけば求まります）
|
|
|
■記事リスト /
レス記事表示 →
[親記事-4]
|
で表示されます。
で表示されます。
進数の表現(4)