数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 33]

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中学生でも解けそうな入試問題001(1) |

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数学について。(1) |

フーリエ変換の求め方(1) |

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d(cos^2θ)/dθ＝と置けるような相似の図を見つけたいです！(0) |

1/ cos^2θの微分を画像の図を用いて解きたい！(0) |

ラグランジュの剰余項(1) |

log2とマクローリン展開についての証明(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明3(76) |

■48853 / 親記事)

　三角関数の面積

□投稿者/ スコルピオン一般人(1回)-(2018/10/05(Fri) 23:28:57)

θは0≦x≦πをみたす実数とする。
xy平面において以下の二つの曲線
y=2cosx　　　(0≦x≦2π)
y=sin(x-θ)　(0≦x≦2π)
で囲まれた図形の面積をθで表せ。

どうもうまく解けません。
教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48854 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角関数の面積

□投稿者/ らすかる一般人(27回)-(2018/10/06(Sat) 01:16:04)

面積をS(θ)とするとS(π-θ)=S(θ)なので
0≦θ≦π/2で考えます。
θ=π/2のときは2曲線の交点が(π/2,0)と(3π/2,0)となりますので
S(θ)=∫[π/2～3π/2]sin(x-π/2)-2cosx dx
=∫[π/2～3π/2]-3cosx dx
=[-3sinx][π/2～3π/2]
=6
0≦θ＜π/2のときは
2cosx=sin(x-θ)
2cosx=sinxcosθ-cosxsinθ
(2+sinθ)cosx=sinxcosθ
tanx=(2+sinθ)/cosθ
となり、交点は(arctan((2+sinθ)/cosθ),0)と
(arctan((2+sinθ)/cosθ)+π,0)になりますので
S(θ)=∫[arctan((2+sinθ)/cosθ)～arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]sin(x-θ)-2cosx dx
=[-cos(x-θ)-2sinx][arctan((2+sinθ)/cosθ)～arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]
=2√(5+4sinθ)
この式にθ=π/2を代入すると6となり、またS(π-θ)=S(θ)も成り立ちますので、
θの定義域全体(0≦θ≦π)に対してS(θ)=2√(5+4sinθ)となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48862 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角関数の面積

□投稿者/ スコルピオン一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 13:09:43)

とても参考になりました。
ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48852 / 親記事)

　二次方程式の標準形への変換

□投稿者/ ライカー一般人(1回)-(2018/10/04(Thu) 22:18:49)

座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α＝0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a（g-α）x+2（af-ha）y+ac-α＾2＝0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α＝0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48861 / ResNo.1)

　Re[1]: 二次方程式の標準形への変換

□投稿者/ ライカー一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 05:16:54)

■No48852に返信(ライカーさんの記事)
> 座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α＝0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a（g-α）x+2（af-ha）y+ac-α＾2＝0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α＝0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。

わかりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48850 / 親記事)

　極限

□投稿者/ 三角関数一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)

x,y,zは0≦x,y,z＜2πをみたす実数で、さらに
数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

教えて下さい。
お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■48878 / ResNo.2)

　Re[2]: 極限

□投稿者/ 三角関数一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)

どういうことでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48880 / ResNo.3)

　Re[3]: 極限

□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)

x=0
y=0
z=0
とすると
lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
sinnx+sinny+sinnzは0に収束する
∴
x=0
y=0
z=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48882 / ResNo.4)

　Re[4]: 極限

□投稿者/ 三角関数一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)

cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
が収束するならば、
x=y=z=0である

ことを示していただけませんか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48883 / ResNo.5)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)

x,y,zがどんな値であっても、
nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
いくらでも3に近くすることができるから、
cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
よってx=y=z=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48887 / ResNo.6)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)

x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
0≦x/(2π)<1
0≦y/(2π)<1
0≦z/(2π)<1
↓
Q=(全有理数)
Z=(全整数)
N=(全自然数)
f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
lim_{n→∞}f(n)=α
{x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
とすると
x/(2π)=u/a
y/(2π)=v/b
z/(2π)=w/c
{a,b,c}⊂N
{u,v,w}⊂Z
となるa,b,c,u,v,wがある
ax=2uπ
by=2vπ
cz=2wπ
だから
n∈Nに対して
k(n)=abcn
とすると
lim_{n→∞}f(k(n))
=lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
=lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
=3
{f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
{f(n)}も3に収束しなければならないから
α=3
lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

n∈Nに対して
m(n)=abcn+1
とすると
lim_{n→∞}f(m(n))
=lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
=lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
=cos(x)+cos(y)+cos(z)
↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
↓{f(n))}が3に収束するのだから
↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
=3
∴
cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
x=y=z=0

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■48848 / 親記事)

　桁数

□投稿者/ waka 一般人(6回)-(2018/09/28(Fri) 17:46:53)

P=(1/100)×60^(99)を16進法で表したとき、その整数部分の桁数を求めよ。という問題が分かりません。よろしくお願いします。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48849 / ResNo.1)

　Re[1]: 桁数

□投稿者/ らすかる一般人(26回)-(2018/09/28(Fri) 20:39:42)

何を既知としてよいかによって答え方がまるで変わると思いますが、
とりあえず私が暗記している範囲で
log[10]2=0.30103、log[10]3=0.4771として計算してよいものとすると

log[10]P=log[10]{(1/100)×60^(99)}
=log[10](1/100)+log[10]{60^(99)}
=-2+99log[10]60
=-2+99log[10](10×3×2)
=-2+99(log[10]10+log[10]3+log[10]2)
=-2+99(1+0.30103+0.4771)
=-2+99×1.77813
=174.03487
log[2]P=log[10]P/log[10]2=174.03487/0.30103≒578.1313
よってPは2進法で579桁なので、16進法では[(579+3)/4]=145桁。

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■48846 / 親記事)

　五角形

□投稿者/ 工務店能美一般人(1回)-(2018/09/27(Thu) 15:36:06)

正五角形ではないが、角の大きさは全て等しい五角形は、
少なくとも一本の辺の長さが無理数である。

これって正しいですか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48847 / ResNo.1)

　Re[1]: 五角形

□投稿者/ らすかる一般人(25回)-(2018/09/27(Thu) 17:09:54)