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■記事リスト / ▼下のスレッド
■52232 / 親記事)  解析学
□投稿者/ 初心者 一般人(1回)-(2023/06/30(Fri) 22:58:49)
    ヘルダー正則性やソボレフ正則性について教えてください。もしくは、それに関連する図書を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52230 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ 葉 一般人(2回)-(2023/06/29(Thu) 00:05:39)
    整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c を満たしているとき、
    abc が偶数であることの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52409 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2023/12/11(Mon) 20:44:17)
    2023/12/13(Wed) 17:27:27 編集(投稿者)

    0 ≦ |a^2-b^2-2abc| < 2cよりc > 0です。
    a = 0またはb = 0ならばabc = 0は偶数なので題意は成立します。
    以下a ≠ 0かつb ≠ 0とします。

    a = bと仮定すると、|a^2-b^2-2abc| = |-2(a^2)c| = 2(a^2)c < 2c
    より、a = 0となりますので、以下a ≠ bとします。

    a < 0かつb > 0ならば、-a > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-b^2+2(-a)bc| = |b^2-(-a)^2-2(-a)bc| < 2c

    a > 0かつb < 0ならば、-b > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |a^2-(-b)^2+2a(-b)c| = |(-b)^2-a^2-2a(-b)c| < 2c

    a < 0かつb < 0ならば、-a > 0かつ-b > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-(-b)^2-2(-a)(-b)c| < 2c

    いずれも、a > 0かつb > 0における|a^2-b^2-2abc| < 2cの形の不等式評価に帰着します。

    a < bと仮定すると、a^2-b^2 < 0かつ-2abc < 0と同符号になりますので、
    |a^2-b^2-2abc| = |a^2-b^2|+|-2abc| > 2abc > 2cと題意の条件を満たしません。
    # a > 0かつb > 0かつa ≠ bなので、ab > 1*2です。
    よって、a > bと言えます。

    -2c < a^2-b^2-2abc < 2c
    ⇒ b^2-2c < a^2-2abc < b^2+2c

    b^2 ≧ 1なので、
    ⇒ 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2)
    ⇒ 1-2c < 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2) < 1+2c
    ⇒ 1-2c+c^2 < (a/b)^2-2(a/b)c+c^2 < 1+2c+c^2
    ⇒ (c-1)^2 < (c-a/b)^2 < (c+1)^2
    ⇒ |c-1| < |c-a/b| < |c+1|・・・(3)
    # c-1 ≧ 0かつc+1 > 0です。

    以下で場合分けします。
    (1.1)c-a/b ≧ 0
    (1.2)c-a/b < 0

    (1.1)ならば(3)より、
    ⇒ c-1 < c-a/b < c+1
    ⇒ -1 < -a/b < 1
    ⇒ -1 < a/b < 1
    ⇒ 0 < a < b

    a > bが必要なので、(1.1)c-a/b ≧ 0の場合は存在しないと言えます。

    (1.2)ならば
    c-a/b < 0より、a-bc > 0或いはa > bcです。

    (3)より、
    ⇒ c-1 < a/b-c < c+1
    ⇒ -1 < a/b-2c = (a-2bc)/b < 1
    ⇒ -b < a-2bc < b
    ⇒ b(2c-1) < a < b(2c+1)

    rを整数で-b < r < bとして、a = 2bc+rとおきます。

    -2c < (2bc+r)^2-b^2-2(2bc+r)bc < 2c
    ⇒ -2c < (4(bc)^2+4bcr+r^2)-b^2-(4(bc)^2+2bcr) < 2c
    ⇒ -2c < 2bcr+r^2-b^2 < 2c
    ⇒ -2c < b^2-r^2-2bcr < 2c・・・(4)
    ⇒ 0 < b^2-r^2 < 2c(br+1)

    0 < 2c(br+1)より、0 < br+1となり、0 ≦ brから、r ≧ 0といえます。

    a > b > rですから、(4)は正の整数aがより小さい非負整数rに置き換わっただけです。
    r = 0ならa = 2bcなので題意の成立が示されたことになるので、
    (a, b)が(b, r)というより小さな正の整数の評価へ還元された訳です。

    この還元を繰り返すことでrは徐々に小さくなっていき、最終的には0になるはずです。
    a = 2bc+rですから、a ≡ r (mod 2)なので、abc ≡ bcr (mod 2)と言えます。

    a ≧ 2bc ≧ 2なら、(a, b)⇒(b, r)つまりa/2 ≧ b > rに置き換えられる。
    a > b > 0なので、2がaの最小値。a = 2を還元すると、
    a = 2 = 2bc+1 ≧ 2*1*1+1 = 3は不可能なので、r = 0つまりa = 2bc+0しかないので題意は成立する。

    r = 0であれば、a^2-b^2-2abc = r^2-b^2+2bcr = -b^2なので、
    |a^2-b^2+2abc| = |-b^2|と絶対値が平方数となるのも頷けますね。
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■52229 / 親記事)  位相数学
□投稿者/ 数学数学 一般人(1回)-(2023/06/28(Wed) 20:54:09)
    大学数学 位相数学の問題です。下の問題箱2の方のご協力よろしくお願い致します。答えて頂けたら何でもします。助けて下さい泣泣
1083×886 => 250×204

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52231 / ResNo.1)  Re[1]: 位相数学
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(3回)-(2023/06/29(Thu) 23:17:19)
    (1)
    ||f(x)||=1を示す。

    (2)
    像の定義からほとんど明らか。

    (3)
    D^n/S^{n-1}という商空間の定義がわからないので何とも言えませんが、まずは同相の定義に従って考えてみてください。
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■52224 / 親記事)  大学数学 位相数学
□投稿者/ き科 一般人(1回)-(2023/06/27(Tue) 01:41:03)
    大学数学 位相数学の証明問題です。助けて下さい泣泣ご教授よろしくお願い致します。
869×494 => 250×142

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52226 / ResNo.1)  Re[1]: 大学数学 位相数学
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(1回)-(2023/06/28(Wed) 10:08:08)
    2023/06/28(Wed) 10:11:16 編集(投稿者)

    XにはR^2から相対位相、X/~にはXから商写像で定まる商位相が入っているものとする。

    このときX/~上の点p=(0,1)とq=(0,-1)を含む開集合は必ず共通部分をもつ。
    よってハウスドルフ空間でない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52228 / ResNo.2)  Re[2]: 大学数学 位相数学
□投稿者/ 質問者 一般人(1回)-(2023/06/28(Wed) 20:44:49)
    (2)もわかりますか?
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■52223 / 親記事)  数検準2級は難しい
□投稿者/ squall 一般人(1回)-(2023/06/21(Wed) 03:05:20)
    インターネットで数検準2級の過去問を見ましたが、今までの数検準2級とはレベルが違いますね。
    とても難しくなってます。
    数検のレベルが上がっていることを実感しました。
    これは今までの数検のテキストでは、おそらく通用しないですね。
    結構な数学力が問われているように思います。
    個人的には数学力が問われているようになっているというのは、いい傾向にあると思います。
    これから数検を受けてみようかと考えている人は、大学入試を受けるつもりで数検の勉強をしたほうがいいかもしれません。
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