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■52432 / 親記事)  複素数
  
□投稿者/ 平面 一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:16:25)
    教えて下さい。

    複素数 z, w は
    z^2 + w^2 = 1,
    |z| = 1
    を満たして動くとする。
    w の実部, 虚部のとりうる値の最大値をそれぞれ求めよ。
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■52437 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ WIZ 一般人(17回)-(2024/01/05(Fri) 00:10:58)
    2024/01/05(Fri) 10:36:42 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    iは虚数単位、a, b, u, vは実数とします。

    z = a+bi, w = u+viとします。

    |z| = 1
    ⇒ a^2+b^2 = 1・・・(1)

    z^2+w^2 = (a^2-b^2+2abi)+(u^2-v^2+2uvi) = 1
    上記より
    a^2-b^2+u^2-v^2 = 1・・・(2)
    2ab+2uv = 0・・・(3)

    (1)(2)より、
    (1-b^2)-b^2+u^2-v^2 = 1
    ⇒ u^2-v^2 = 2b^2・・・(4)

    (1)(3)より、
    uv = -ab
    ⇒ (u^2)(v^2) = (1-b^2)(b^2)・・・(5)

    (4)(5)より、
    (u^2)(u^2-2b^2) = b^2-b^4
    ⇒ u^4-2(b^2)u^2+(b^4-b^2) = 0
    ⇒ u^2 = b^2±√{b^4-(b^4-b^2)} = b^2±|b|

    -1 ≦ b < 0の場合、|b| = -bですから、
    u^2 = b^2+(-b) = b^2-b・・・(6A)
    または、
    u^2 = b^2-(-b) = b^2+b・・・(7A)
    です。

    0 ≦ b ≦ 1の場合、|b| = bですから、
    u^2 = b^2+b・・・(7B)
    または、
    u^2 = b^2-b・・・(6B)
    です。

    (6A)(6B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
    u^2 = b^2-b・・・(6)

    (7A)(7B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
    u^2 = b^2+b・・・(7)

    すなわち、(6)または(7)が成立すれば良いことになります。

    (6)の場合、(4)より、
    v^2 = u^2-2b^2 = -b-b^2
    となります。

    (6.1) -1 ≦ b ≦ 0ならば、
    u^2 = b^2-b ≧ 0かつ、b^2 ≦ -bなのでv^2 = -b-b^2 ≧ 0となります。
    u^2の最大値はb = -1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
    v^2の最大値はb = -1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
    # (d/db)u^2 = 2b-1 < 0, b = -1でu^2は最大
    # (d/db)v^2 = -1-2b, b = -1/2でv^2は極大

    (6.2) 0 < b ≦ 1ならば、
    v^2 = -b-b^2 < 0で不適格です。

    (7)の場合、(4)より、
    v^2 = u^2-2b^2 = b-b^2
    となります。

    (7.1) -1 ≦ b < 0ならば、
    v^2 = b-b^2 < 0となり不条理です。

    (7.2) 0 ≦ b ≦ 1ならば、
    u^2 = b^2+b ≧ 0かつ、b^2 ≦ bなのでv^2 = b-b^2 ≧ 0となります。
    u^2の最大値はb = 1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
    v^2の最大値はb = 1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
    # (d/db)u^2 = 2b+1 > 0, b = 1でu^2は最大
    # (d/db)v^2 = 1-2b, b = 1/2でv^2は極大

    以上から、Re(w)の最大値はu = √2, Im(w)の最大値はv = 1/2となります。
    # 勿論、Re(w)とIm(w)が同時に最大値となる訳ではありません。
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