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■52537 / 親記事)  約数
□投稿者/ 卵 一般人(1回)-(2024/06/05(Wed) 09:45:38)
    自然数n(≧2)の正の約数のうちnを除いたものの和τ(n)と
    nの正の約数のうち素数であるものの個数ω(n)について
    τ(n)<nω(n)
    が成り立つことの証明を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52698 / ResNo.1)  Re[1]: 約数
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2025/02/27(Thu) 13:05:48)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

    n ≧ 2なので、nは1個以上の素因数を持ちます。m = ω(n)とすればmは自然数です。
    nの素因数を小さい方からp[1], p[2], ・・・, p[m]とします。
    また、各素因数の指数をe[1], e[2], ・・・, e[m]とすると、
    n = Π[k=1,m]{p[k]^e[k]}・・・・・(1)
    となります。

    n自身を含めたnの正の約数の和は、
    τ(n)+n = Π[k=1,m]{(p[k]^(e[k]+1)-1)/(p[k]-1)}・・・・・(2)
    となります。

    (1)(2)より、以下が示せれば良いことになります。
    τ(n)+n < nm+n
    ⇒ Π[k=1,m]{(p[k]^(e[k]+1)-1)/(p[k]-1)} < (m+1)Π[k=1,m]{p[k]^e[k]}
    ⇒ Π[k=1,m]{(p[k]-1/(p[k]^e[k]))/(p[k]-1)} < m+1・・・・・(3)

    ここで、p[1] ≧ 2, p[2] ≧ 3, ・・・, p[m] ≧ m+1ですので、
    (p[k]-1/(p[k]^e[k]))/(p[k]-1) < p[k]/(p[k]-1) = 1+1/(p[k]-1) ≦ 1+1/((k+1)-1) = (k+1)/k
    であり、これを(3)に適用すると、
    Π[k=1,m]{(p[k]-1/(p[k]^e[k]))/(p[k]-1)} < Π[k=1,m]{(k+1)/k} = m+1
    となり、(3)が成立することが分かります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52535 / 親記事)  数珠順列
□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2024/06/04(Tue) 13:36:41)
    お願いします。
    AAAAAABBCの9文字を円形に並べて、円順列で考えると8!/(6!2!)=28(通り)なのは分かります。そこで数珠順列で考えたとき、
    i)左右対称な場合が4通り、A)左右非対称が(28-4)/2=12
    となります。

    ここで質問なのですが、i)の左右対称な場合が2で割らない理由は、ひっくり返したとき全く同じ円順列になっているからという理由でよろしいでしょうか?

    円順列の1つ1つは異なっているので、同じAやBでも区別する必要があるので、2で割りたいのですが…。


    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■52534 / 親記事)  微積分
□投稿者/ 蘭ねえちゃん 一般人(1回)-(2024/06/04(Tue) 11:06:34)
    実数から実数への微分可能な関数f(x)が、任意の実数x,yに対して
    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    を満たしています。f'(0)=1であるとき、
    ∫[0→1]f(x)dx>17/28
    となることの証明をお教え下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52603 / ResNo.1)  Re[1]: 微積分
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2024/08/17(Sat) 21:57:14)
    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    ↓x=y=0とすると
    {f(0)}^3=-f(0)
    {f(0)}^3+f(0)=0
    f(0)({f(0)}^2+1)=0

    f(0)=0

    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    f(x+y)f(x)f(y)+f(y)=f(x+y)-f(x)
    {f(x+y)f(x)+1}f(y)=f(x+y)-f(x)
    {f(x+y)f(x)+1}f(y)/y={f(x+y)-f(x)}/y
    lim[y→0]{f(x+y)f(x)+1}f(y)/y=lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y

    ({f(x)}^2+1)f'(0)=f'(x)
    ↓f'(0)=1だから
    {f(x)}^2+1=f'(x)

    f'/(1+f^2)=1
    ∫{1/(1+f^2)}df=x+C

    f=tan(t)
    df=(1/{cos(t)}^2)dt
    1/(1+f^2)=1/(1+{tan(t)}^2)={cos(t)}^2

    arctan(f)=x+C

    f(x)=tan(x+C)
    0=f(0)=tan(C)
    C=0

    f(x)=tan(x)

    ∫[0→1]f(x)dx
    =∫[0→1]tan(x)dx
    =∫[0→1]{sin(x)/cos(x)}dx
    =∫[1→cos1](-1/t)dt
    =[-log|t|][1→cos1]
    =-log|cos1|
    =log(1/cos1)
    >0.61
    >17/28
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52533 / 親記事)  線形代数の微分
□投稿者/ まるまる 一般人(1回)-(2024/06/04(Tue) 04:49:31)
    こちらの写真の式を微分するとどのような結果になりますか?

    よろしくお願いいたします。
1023×273 => 250×66

1717443702426.jpg
/16KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52536 / ResNo.1)  Re[1]: 線形代数の微分
□投稿者/ ahoo 一般人(2回)-(2024/06/04(Tue) 20:07:30)
    仮定が全く分からんが
     
    のもと
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52532 / 親記事)  eは無理数だけど
□投稿者/ de minor 一般人(1回)-(2024/06/03(Mon) 23:00:09)
    1からnまでの整数の積はn!ですが
    1からnまでの整数の最小公倍数をn?
    と書くことにします

    Σ[n=1…∞]1/n?
    が無理数であることの証明を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]






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