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■50684 / 親記事)  循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 11:00:49)
    nを自然数とすると
    1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)
    は混合循環小数であることを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50690 / ResNo.1)  Re[1]: 循環小数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2021/04/03(Sat) 06:28:03)
    有理数のうち
    分母が2,5以外の素因数を持たない→有限小数
    分母が2,5以外の素因数を持つ→無限小数
    そして有理数の無限小数のうち
    分母が素因数2,5を含まない→純循環小数
    分母が素因数2,5を含む→混循環小数
    です。
    与式はn+1,n+2,n+3のうちどれか一つが3の倍数、
    また偶数も含むことから、
    「2,5以外の素因数3を含み、素因数2も含む」
    となりますので、混循環小数ということになります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50696 / ResNo.2)  Re[2]: 循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(2回)-(2021/04/04(Sun) 13:47:14)
    とても分かりやすい説明ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50682 / 親記事)  三角形の角
□投稿者/ 磯村 一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 08:43:11)
    三角形ABCにおいて、AB=2,BC=1,CA=√2とし、∠A=α,∠B=βとする。
    正の整数m,nがmα+nβ=πを満たすとき、mとnを全て求めよ。

    m=2,n=3は見つけられたのですが、これ以外にあるのかこれだけなのかがよく分かりませんでした。
    教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50683 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形の角
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2021/04/02(Fri) 09:59:41)
    cosα=5√2/8, sinα=√14/8
    cos2α=9/16, sin2α=5√7/16
    cos3α=5√2/64, sin3α=17√14/64
    cos4α=-47/128, sin4α=45√7/128
    cos5α=-275√2/512, sin5α=89√14/512
    cos6α=-999/1024, sin6α=85√7/1024
    sin7α<0

    cosβ=3/4, sinβ=√7/4
    cos2β=1/8, sin2β=3√7/8
    cos3β=-9/16, sin3β=5√7/16
    cos4β=-31/32, sin4β=3√7/32
    sin5β<0

    mα+nβ=πのとき
    mα=π-nβ
    sin(mα)=sin(π-nβ)=sin(nβ)
    cos(mα)=cos(π-nβ)=-cos(nβ)
    でなければならないので、m=2,n=3のみ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50685 / ResNo.2)  Re[2]: 三角形の角
□投稿者/ 磯村 一般人(2回)-(2021/04/02(Fri) 11:01:09)
    有り難うございます。
    やはりしっかり計算して考える必要がありそうですね。。。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50686 / ResNo.3)  Re[3]: 三角形の角
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2021/04/02(Fri) 21:50:16)
    cosα=5√2/8, sinα=√14/8 から tanα=√7/5
    cosβ=3/4, sinβ=√7/4 から tanβ=√7/3
    t(x)=tanx/√7とおくとt(a+b)={t(a)+t(b)}/{1-7t(a)t(b)}
    t(α)=1/5, t(2α)=5/9, t(3α)=17/5, t(4α)=-45/47,
    t(5α)=-89/275, t(6α)=-85/999, t(7α)>0
    t(β)=1/3, t(2β)=3, t(3β)=-5/9, t(4β)=-3/31, t(5β)>0
    なので
    tan(mα)+tan(nβ)=0すなわちt(mα)+t(nβ)=0となるのはm=2,n=3のみ

    のようにすると計算がいくぶん簡単になりますが、これでも面倒ですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50679 / 親記事)  コラッツ予想について
□投稿者/ 成清 愼 一般人(1回)-(2021/03/27(Sat) 14:47:33)
http://koubeichizoku.atwebpages.com/colattz20211.pdf
    標記につきましては上記URLに拙論を記載いたしました。諸兄におかれましてはご多忙中恐縮ながらよろしくご査収の上、ご高配ご指導賜れば幸甚に存じます
引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50680 / ResNo.1)  イヴ・サンローラン
□投稿者/ vogcopy 一般人(1回)-(2021/03/30(Tue) 15:17:41)
    ファッションは消えゆくが、スタイルは永遠に残る」。比類なきデザイナー、イヴ・サンローランは、そう見事に表現した。vogcopy /vogcopy.net/一生使える宝石箱を作るなら、決して流行遅れにならないものを覚えておくことが大事。//vogcopy.net/brand-338-c0.html イヴ・サンローラン コピー /www.eklablog.com/profile/32969224

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■50689 / ResNo.2)  Re[1]: コラッツ予想について
□投稿者/ 極限 一般人(3回)-(2021/04/03(Sat) 03:11:40)
    間違っています。

    間違いの本質的なところは、最後の「極限において」という部分です。
    コラッツ予想の主張は「有限回の操作によって1にたどり着く」ですので、件の極限操作を行った段階でこの主張から外れたものを相手にしてしまっていることになります。

    次に、この誤りにご自身が気づきにくくしている箇所があります。
    それが"Operation transposition of Collatz"中で、S, D_0を再定義している箇所です。
    数学の証明において一度定義した対象を「再定義」することは、読み手(引いては自分自身)を混乱させる以上の効果を持ちません。
    実際ここでも「再定義」などせずに集合列 (S^0, D_0^0), (S^1, D_0^1), (S^2, D_0^2), (S^3, D_0^3), ... を用意して、「(S^n, D_0^n)に"Operation transposition of Collatz"を一度適用した結果を(S^(n+1), D_0^(n+1))とする」などとすれば同じことを混乱なく記述できます。

    そして一旦こう書いてしまうと、最初に述べた誤りが自然と浮き上がってくるのが見て取れると思います。

    有限な整数n(単に自然数と言っても同じことですが)に対して (S^n, D_0^n) が (φ, N^1) になっていると主張できるのならともかく、nに対して極限を取った (S^∞, D_0^∞) とでも書くべきものが (φ, N^1) であったとしてもそれは有限回の操作で1になることを主張するコラッツ予想を「証明」するものではありません。
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■50677 / 親記事)  有理数と素数
□投稿者/ ぽる塾 一般人(1回)-(2021/03/26(Fri) 10:45:09)
    正の有理数rでどのような素数p,qに対しても
    r≠(p+1)/(q+1)
    であるrの例をなにかひとつ教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50678 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数と素数
□投稿者/ らすかる 一般人(21回)-(2021/03/26(Fri) 14:17:12)
    なさそうな気がしますが、あるんですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50674 / 親記事)  フィボナッチ数列について。
□投稿者/ メラゾーム 一般人(1回)-(2021/03/19(Fri) 03:07:39)
    フィボナッチ数列 F[1]=1, F[2]=1, F[n+2]=F[n+1]+F[n] (n≧1) について、
    F[n] (n≠5) が素数 ならば F[n] ≡ ±1 (mod n) であることを示してください。 よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50884 / ResNo.1)  Re[1]: フィボナッチ数列について。
□投稿者/ WIZ 一般人(8回)-(2021/07/05(Mon) 19:33:43)
    Wikipediaの「フィボナッチ数」や「フィボナッチ素数」を見ると以下の記述があります。
    # 若干表現は変更しています。
    L(a/p) はルジャンドルの記号とします。

    (1) n = 4 の場合を除いて、F[n] がフィボナッチ素数となる n は素数である。
    しかし、n が素数でも F[n] が素数になるとは限らない。

    (2) p が 2 でも 5 でもない素数のとき、F[p-L(5/p)] は p で割り切れる。

    (3) F[n−1]F[n+1]−F[n]^2 = (-1)^n

    以下、F[3] = 2 と F[4] = 3 と F[5] = 5 以外のフィボナッチ素数について考察します。

    (1)により、自然数 p に対して F[p] が素数ならば p も素数です。
    L(5/p) = 1 または L(5/p) = -1 なので、(2)より、F[p-1] または F[p+1] が p で割り切れます。
    つまり、F[p-1]F[p+1] は p で割り切れます。よって(3)と p が奇数であることより、
    F[p−1]F[p+1]−F[p]^2 = (-1)^p = -1
    ⇒ F[p]^2 ≡ 1 (mod p)
    ⇒ F[p] ≡ ±1 (mod p)
    となり、題意は肯定的に示されます。
    (F[3] = 2 と F[4] = 3 は別途示す必要がありますが、これは目視でわかりますよね。)

    スレ主さん(もう見てないと思うけど)も上記程度は分かった上での質問なのかもしれません。
    つまり、(1)(2)(3)の証明が分からないということかもしれません。
    まあ、(3)は F[n] の一般項の式から容易に導けるのではないかと思います。(確認してないけど)
    (2)は2次体 Q(√5) の整数環の性質から導けるかも? (希望的観測)
    (1)は F[n] の一般項の式から導けるかもしれない。(願望)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50888 / ResNo.2)  Re[1]: フィボナッチ数列について。
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2021/07/06(Tue) 21:06:24)
    F[n-1]F[n+1]-F[n]^2 = (-1)^n の証明

    n を 2 以上の自然数として G[n] = F[n-1]F[n+1]−F[n]^2 とします。
    G[2] = F[1]F[3]−F[2]^2 = 1*2-1^2 = 1 = (-1)^2

    k を 2 以上の自然数として G[k] = (-1)^k と仮定します。
    G[k+1] = F[k]F[k+2]-F[k+1]^2
    = (F[k+1]-F[k-1])(F[k]+F[k+1])-F[k+1]^2
    = F[k+1]F[k]+F[k+1]^2-F[k-1]F[k]-F[k-1]F[k+1]-F[k+1]^2
    = (F[k+1]-F[k-1])F[k]-F[k-1]F[k+1]
    = F[k]^2-F[k-1]F[k+1]
    = -G[k]
    = (-1)^(k+1)

    以上から数学的帰納法により 2 以上の自然数 n に対して
    G[n] = F[n-1]F[n+1]-F[n]^2 = (-1)^n が成立する。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50889 / ResNo.3)  Re[1]: フィボナッチ数列について。
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2021/07/06(Tue) 23:29:21)
    (A) フィボナッチ数の加法定理 F[m+n] = F[m]F[n+1]+F[m-1]F[n] の証明

    m, n は自然数で、m ≧ 2 とする。

    m = 2 の場合、F[1] = F[2] = 1 なので、
    F[2+n] = F[n+1]+F[n] = F[2]F[n+1]+F[2-1]F[n] となり加法定理は成立する。

    m = 3 の場合、F[2] = 1, F[3] = 2 なので、
    F[3+n] = F[n+2]+F[n+1] = (F[n+1]+F[n])+F[n+1] = 2F[n+1]+F[n] = F[3]F[n+1]+F[3-1]F[n]
    となり加法定理は成立する。

    k を 3 以上の自然数として、m = k と m = k-1 で加法定理の成立を仮定すると、
    F[(k+1)+n] = F[k+n]+F[(k-1)+n]
    = (F[k]F[n+1]+F[k-1]F[n])+(F[k-1]F[n+1]+F[k-2]F[n])
    = (F[k]+F[k-1])F[n+1]+(F[k-1]+F[k-2])F[n]
    = F[k+1]F[n+1]+F[k]F[n]
    となり、m = k+1 でも成立する。

    以上から、数学的帰納法により 2 以上の自然数 m と 任意の自然数 n に対して、
    F[m+n] = F[m]F[n+1]+F[m-1]F[n] が成立する。


    (B) フィボナッチ数の整除定理 m | n ならば F[m] | F[n] の証明

    n を 2 以上の自然数とすると、加法定理より、
    F[n+n] = F[n]F[n+1]+F[n-1]F[n] = F[n](F[n+1]+F[n-1])
    つまり、F[n] | F[2n] が成立する。

    k を 2 以上の自然数、u を自然数として、F[kn] = u*F[n] を仮定すると、
    F[(k+1)n] = F[n]F[kn+1]+F[n-1]F[kn]
    = F[n]F[kn+1]+F[n-1]*u*F[n]
    = F[n](F[kn+1]+F[n-1]*u)
    となり、F[n] | F[(k+1)n] が成立する。

    以上から、数学的帰納法により v と n を 2 以上の自然数とするとき
    F[n] | F[vn] が成立する。
    # n = 1 や v = 1 でも上記は成立しますが。


    (C) F[p] が素数ならば、p は奇素数であるか 4 であることの証明

    3 以上の自然数 a と 2 以上の自然数 b が存在して p = ab ならば、
    a < p であり、1 < F[a] < F[p] かつ整除定理より F[a] | F[p] となり
    F[p] は素数ではありえない。

    従って、F[p] が素数となるためには p は真の約数を持たないか、
    真の約数の値が 2 以下の場合である。

    真の約数を持たないということは、p は素数であるということてある。
    但し、F[2] = 1 は素数ではないので、p は奇素数である。
    真の約数の値が 2 以下ということは p は 2 の冪であることが必要だが、
    2^3 = 8 は 4 という真の約数を持つため、可能性は p = 2^2 のみとなるが、
    F[4] = 3 は素数である。

    以上から、F[p] が素数ならば、p は奇素数か 4 であるといえる。
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