■記事リスト / ▼下のスレッド
| ■47910 / 親記事) |
(1/4)(3:4:5)
|
□投稿者/ めるかり 一般人(1回)-(2017/03/10(Fri) 14:40:24)
 | 座標平面上に原点O(0,0)、点A(4,0)、点B(0,3)がある。
直交する直線2本によって△OABの面積を4等分するとき、
これらの直線の方程式を求めよ。
教えて下さい。
お願いいたします。
|
|
|
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
| ■47912 / ResNo.1) |
Re[1]: (1/4)(3:4:5)
|
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2017/03/11(Sat) 12:15:14)
 | 自作問題ですか？
線分AB,線分OAと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s （1≦s≦2）… (1)
線分OA,線分OBと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
3x+2t^2y=6t （1≦t≦2）… (2)
この2直線が直交するので
3・3s^2+2t^2(4s^2-8)=0
∴t^2=9s^2/(16-8s^2) （→ 1≦s≦8/√41, 3√2/4≦t≦2）
これを(2)に代入して整理すると
(24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2) … (3)
(1)と(3)の交点のy座標は
{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}
(1)の傾きは
3s^2/(8-4s^2)
なので、2直線とx軸で囲まれる直角三角形の面積は
{{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
{3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}/2
これが3/2でなければならないので
{{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
{3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}=3
これを整理すると
9649s^8-27392s^7-6400s^6+87552s^5-67456s^4-49152s^3+81920s^2-32768s+4096=0
（2乗したので不適解を含む）
数値的に解くと適解は
s=1.190315408356102635648805458007…
よって求める2直線はsをこの値として
3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s
と
(24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2)
ちなみに
2直線の交点は
P(1.256834056326256745226150776051…,1.124846960943165497230454772467…)
2直線とOAとの交点は
C(0.639546147248281670517592509358…,0)
D(3.306575622515343617176951966100…,0)
直線とABとの交点は
E(1.619369183287794728702389083984…,1.785473112534153953473208187011…)
直線とOBとの交点は
F(0,1.814566090412214061669002877310…)
直線CEの傾きは
1.822240391235455361214466451085…
直線DFの傾きは
-0.548775016078977902736900547199…
で、検算したところ4つの領域の面積がすべて正しく1.5になっていました。
|
|
|
| ■47920 / ResNo.2) |
Re[2]: (1/4)(3:4:5)
|
□投稿者/ めるかり 一般人(2回)-(2017/03/12(Sun) 10:45:15)
| 数学パズルの本に、抽象的に解くと簡単(直交する直線の"存在")だけど、具体的には難しい問題として紹介されていたものです。
こんなとんでもないことになるんですね。
途中の8次方程式を解くなんて私には無理でした…。
教えていただき有難うございます。
|
|
|
■記事リスト /
レス記事表示 →
[親記事-2]
|
で表示されます。
で表示されます。
モスキーノコピー(0)
