数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 88]

数学ナビゲーター掲示板

★ google検索	★ 掲示板備え付けのログ検索
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。	検索条件: 現在のログを検索過去のログを検索

■ 2006/2/20より、累計：

、本日：

、昨日：

■ 数式の記述方法
■TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
■ 携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは

で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは

で表示されます。

更新順

レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

デデキントの切断による実数の構成(0) |

ベルトラン・チェビチェフの定理について。(0) |

$D_n$加群のフーリエ変換と関数のフーリエ変換との関係について(0) |

群の問題(5) |

合同式の計算(2) |

統計/区画幅について(3) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

対数の取り方、シグモイド、ロジスティック関数(0) |

緩和曲線の開始位置と終了地点および途中の高さxについて(0) |

ケプラー方程式による惑星の会合計算(0) |

追いかけ算　惑星会合時期(1) |

担当者の時間割(2) |

（削除）(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明9(23) |

中学生でも解けそうな入試問題001(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明8(74) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明7(101) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明6(101) |

数学について。(1) |

線形代数(1) |

整数問題(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明5(101) |

順列(4) |

大小の比較(7) |

シミュレーションについて(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明４(101) |

数学について。(1) |

フーリエ変換の求め方(1) |

isometric matrix,p-ノルムについて(0) |

d(cos^2θ)/dθ＝と置けるような相似の図を見つけたいです！(0) |

1/ cos^2θの微分を画像の図を用いて解きたい！(0) |

ラグランジュの剰余項(1) |

log2とマクローリン展開についての証明(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明3(76) |

■47257 / 親記事)

　円と点の空間幾何学

□投稿者/ どすこい一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 09:43:15)

3次元空間に原点Oと、有限個の円C[1],C[2],...,C[n]があります。
各C[k]の円周上を、角速度w[k]で点P[k]が回転しています。
このとき、常に
Σ[k=1,n] |OC[k]| ≧ Σ[k=1,n] |OP[k]|
が成り立つようにC[1],C[2],...,C[n]を配置できますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47261 / ResNo.1)

　Re[1]: 円と点の空間幾何学

□投稿者/ らすかる大御所(331回)-(2015/05/23(Sat) 10:00:28)

|OC[k]|が「原点から円C[k]までの中心までの距離」の意味だとしたら、
任意の角速度に対して成り立つようにするのは不可能だと思いますが・・・

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47264 / ResNo.2)

　Re[2]: 円と点の空間幾何学

□投稿者/ どすこい一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 11:25:44)

どうしてでしょうか…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47265 / ResNo.3)

　Re[3]: 円と点の空間幾何学

□投稿者/ らすかる大御所(332回)-(2015/05/23(Sat) 11:37:08)

2015/05/23(Sat) 12:08:39 編集(投稿者)

私の考え違いあるいは解釈違いでしたらすみません。

円がどこにどういう向きであっても、「原点から円周上の点までの距離」が
「原点から中心までの距離」よりも長くなるような点が
円周の半分以上ありますよね。
例えば角速度が√2,√3,√5のように割り切れない関係にあるとき、
いつかは必ず「すべてのP[k]が中心までの距離よりも遠い半周にある」
という状態になりますので、「常に中心までの距離の方が（合計が）長い（または等しい）」
とすることは不可能だと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■47245 / 親記事)

　約数

□投稿者/ aaa 一般人(1回)-(2015/05/22(Fri) 20:14:56)

nを自然数とし、
D(n)をnの正の約数の個数
E(n)をnの正の偶数の約数の個数
とします。

Σ[n≦x]D(n)～xlogx
は有名なのですが、
Σ[n≦x]E(n)～???
はどうなるのでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47246 / ResNo.1)

　Re[1]: 約数

□投稿者/ らすかる大御所(325回)-(2015/05/22(Fri) 23:26:32)

Σ[n≦x]D(n)=x+[x/2]+[x/3]+…+[x/n]なので
{Σ[n≦x]x/n}-n＜D(n)＜Σ[n≦x]x/nとなり
D(n)～Σ[n≦x]x/n=xΣ[n≦x]1/n～xlogx
ということだと思いますが、偶数だけならば
Σ[n≦x]E(n)=[x/2]+[x/4]+…+[x/(2[n/2])]なので
{Σ[2m≦x]x/(2m)}-m＜E(n)＜Σ[2m≦x]x/(2m)となり
E(n)～Σ[2m≦x]x/(2m)=(x/2)Σ[2m≦x]1/m～(x/2)log(x/2)～(xlogx)/2
となると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47247 / ResNo.2)

　Re[2]: 約数

□投稿者/ aaa 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 06:23:29)

ありがとうございました。m(_ _)m

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■47244 / 親記事)

　チョコボールの期待値

□投稿者/ キョロちゃん一般人(1回)-(2015/05/22(Fri) 19:21:51)

pは1/5より小さい正の実数とします。
チョコボールを買うとき、
金のエンゼルが出る確率はp、
銀のエンゼルが出る確率は5p
とします。
金のエンゼルは1枚、
銀のエンゼルは5枚
で、おもちゃのカンヅメと交換できます。
このとき、以下の質問を解説して下さい。
(1) おもちゃのカンヅメをGETするために買わなければならないチョコボールの個数の期待値はいくらになるでしょうか？
(2) 銀のエンゼルを廃止して、金のエンゼルが出る確率を2倍にするのは森永製菓の企業戦略として数学的に妥当でしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]

■47253 / ResNo.5)

　Re[5]: チョコボールの期待値

□投稿者/ らすかる大御所(328回)-(2015/05/23(Sat) 08:17:10)

(1)
1個買って金が出ない確率は 1-p
2個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^2
3個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^3
4個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^4
n≧5、0≦m≦4として
n個買って金が0枚、銀がm枚の確率は nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)
なので
1個買ってGETできる確率は p
2個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^2)-p
3個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^3)-(1-(1-p)^2)=(1-p)^2-(1-p)^3
4個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^4)-(1-(1-p)^3)=(1-p)^3-(1-p)^4
つまりn≦4のときにn個買って初めてGETできる確率は
(1-p)^(n-1)-(1-p)^n
そしてn≧5のときにn個買って初めてGETできる確率は
(1-Σ[m=0～4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)})
　-(1-Σ[m=0～4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)})
=Σ[m=0～4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)}
　-Σ[m=0～4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)}
=
{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2
+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
+(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12
よって求める期待値は
Σ[n=1～4]〔n{(1-p)^(n-1)-(1-p)^n}〕
+Σ[n=5～∞]〔n{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3
+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
+(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12〕
=
(-4p^4+15p^3-20p^2+10p)
+(31104p^5-116640p^4+155520p^3-77760p^2+4651)/(7776p)
=4651/(7776p)

途中計算は非常に大変でしたが、答えは結構シンプルになりました。
ということは、もっとうまい計算方法があるのかも知れません。

(2)
銀のエンゼルを廃止して金のエンゼルの確率を2倍にすると
期待値は1/(2p)個になりますので、
(金のエンゼルが出る確率を2倍に変更した時の期待値)＜(元の期待値)
ですから、妥当ではないということになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47255 / ResNo.6)

　Re[6]: チョコボールの期待値

□投稿者/ キョロちゃん一般人(5回)-(2015/05/23(Sat) 09:37:20)

ありがとうございます。
計算、よくわかりました。
森永は賢いということですね。
4651/7776と0.5がどれくらい離れてるのかGoogleの電卓で計算しようと思って検索してみたら
どうも1-(5/6)^5に等しいみたいなので、裏で何かあるのかもしれません。

もう一つ教えていただいてもよろしいでしょうか。
私などの確率ど素人からすれば、(1)と(2)の期待値なんてどうせ等しいだろうと予想してしまうのですが、
(2)の結論が直感的に明らかと思える思考方法はありますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47256 / ResNo.7)

　Re[7]: チョコボールの期待値

□投稿者/ らすかる大御所(329回)-(2015/05/23(Sat) 09:40:03)

2015/05/23(Sat) 09:40:45 編集(投稿者)

Nは十分大きい数として、
(2)の場合N個買うとおもちゃのカンヅメが2pN個GETできます。
(1)は
金のエンゼルがpN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
銀のエンゼルが5pN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
ですから、やはりおもちゃのカンヅメは2pN個GETできます。
従って
「たくさん買ったときにおもちゃのカンヅメがGETできる個数」
は等しいことになります。
それで直感的に等しいと思えるということですよね。

しかし、(2)では最初の1個のおもちゃのカンヅメをGETしたときに
「余ったエンゼル」はないのに対し、
(1)では銀のエンゼルが余っている可能性があります。
その分無駄買いが発生していて、
(1)の方が期待値が大きくなるということです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47258 / ResNo.8)

　Re[8]: チョコボールの期待値

□投稿者/ キョロちゃん一般人(6回)-(2015/05/23(Sat) 09:52:51)

>無駄買い

なるほど!!!
ありがとうございます!!!
朝からとてもすっきりしました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47266 / ResNo.9)

　Re[9]: チョコボールの期待値

□投稿者/ らすかる大御所(333回)-(2015/05/23(Sat) 11:42:34)

今さらですが、もっと簡単な計算方法を思いつきました。

最初にエンゼルを引いたとき、それが金のエンゼルである確率は1/6
最初に引いたエンゼルが銀で2番目が金である確率は(5/6)(1/6)
最初の2つが銀で3番目が金である確率は(5/6)^2・(1/6)
最初の3つが銀で4番目が金である確率は(5/6)^3・(1/6)
従って「何回目のエンゼルでおもちゃのカンヅメGETになるか」の期待値は
(1/6)+2(1/6)(5/6)+3(1/6)(5/6)^2+4(1/6)(5/6)^3
+5{1-{(1/6)+(1/6)(5/6)+(1/6)(5/6)^2+(1/6)(5/6)^3}}
=4651/1296回となります。
1回エンゼルを引くまでの個数の期待値は1/(6p)ですから、
おもちゃのカンヅメGETになるまでの個数の期待値は
(4651/1296)(1/(6p))=4651/(7776p)となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-9]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■47240 / 親記事)

　ベクトル

□投稿者/ ヴェクター一般人(1回)-(2015/05/21(Thu) 19:59:35)

kを実数とします。
↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2をみたす平面ベクトル↑x,↑yが存在する ⇔ k＜1
の証明を教えて下さい。
ベクトルだけでやる方法を教えてほしいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47241 / ResNo.1)

　Re[1]: ベクトル

□投稿者/ IT 一般人(7回)-(2015/05/22(Fri) 00:01:24)

↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2　…(1)のとき
↑xと↑x+↑yのなす角をθとする。
↑y＝(↑x+↑y)-↑x を↑x・↑y=kに代入
↑x・{(↑x+↑y)-↑x}=k
|↑x||↑x+↑y|cosθ-|↑x||↑x|=k
2cosθ|↑x|-|↑x|^2=k
移項して|↑x|^2-2cosθ|↑x|+k=0
|↑x|実数なので判別式(cosθ)^2-k≧0
移項してk≦(cosθ)^2
よって　k≦1

逆にk≦1のとき
k＜0のとき
　|↑x|＝√(-k)である↑xをとり
　↑xに直交する大きさ２のベクトルを↑zとする.
↑y＝↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす。
ｋ＝0のとき
　|↑x|＝０,|↑y|＝2である↑x,↑yをとると(1)を満たす。
0＜k≦1のとき
　　cosθ＝ｋとなるθをとる
　|↑x|＝√kである↑xをとり
　↑xと角θをなし大きさ２のベクトルを↑zとする.
↑y＝↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす
　
↑x=↑yかつ|x|=1のとき
↑x・↑y=1かつ|↑x+↑y|=2となると思うのですが
↑xと↑yには、他に何か条件があるのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47242 / ResNo.2)

　Re[1]: ベクトル

□投稿者/ IT 一般人(8回)-(2015/05/22(Fri) 00:32:24)

2015/05/22(Fri) 00:33:19 編集(投稿者)

k≦1のとき
　|↑x|=1+√(1-k), ↑y=[{1-√(1-k)}/{1+√(1-k)}]↑x,としても条件(1)を満たしますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47252 / ResNo.3)

　Re[2]: ベクトル

□投稿者/ ヴェクター一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 08:15:12)

ありがとうございます。
すみません、k≦1でした。

この証明って、係数体が実数体の内積を持つ一般的なベクトル空間に対しても適用できますよね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

■記事リスト / ▲上のスレッド

■47238 / 親記事)

　広義積分

□投稿者/ マリリン一般人(1回)-(2015/05/20(Wed) 21:10:22)

素朴な疑問ですが…

f[n](x) : [0,∞)→(0,∞) (n=1,2,3,...) はみな連続関数で、
∫[0→∞] f[n](x) dx (n=1,2,3,...) はすべて収束していると仮定します。
このとき、連続関数 f(x) : [0,∞)→(0,∞) で、以下の2条件を同時にみたすものは必ず存在しますか？
・∫[0→∞] f(x) dx は収束
・任意の n に対して lim[x→∞] f(x)/f[n](x) = ∞

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47297 / ResNo.1)

　Re[1]: 広義積分

□投稿者/ ひよこ一般人(11回)-(2015/05/29(Fri) 14:01:48)

いまさらですが。

結論として、出来ると思います。

ちょっと面倒ですが、条件を満たすf(x)を構成します。

まず、
$2$ g_k(x)=k \max \{f_1(x) + f_2(x)+ \dots + f_k(x) \}$
と定めます。このようにすると、k以下のnに対して
$2$ g_k(x) \geq k f_n(x)$
が成り立つことに注意します。

次に、いわゆるcut-off関数 $2$\chi(x)$ を、
$2$ \chi(x)=0 \text{ if } x \leq -1, \quad 0<\chi(x)<1 \text{ if } 0<x<1, \quad \chi(x)=1 \text{ if } x \geq 0$
を満たすような連続関数とします。

さらに、 $2$x_k$ を次のように定めます。
・ $2$x_1=0$ .
・ $2$x_{k+1} >x_{k}+1$
・ $2$k>1$ では次を満たす。
$2$ \displaystyle\int_0^\infty \chi(x-x_k) g_k(x) \,dx < \displaystyle\int_{x_k-1}^\infty g_k(x) \,dx < \frac{1}{2^k}.$

ここで、各kを固定すれば、 $2$g_k$ は可積分であることから、 $2$x_k$ を大きくとれば、上記を満たすようなものがとれることが分かります。
作り方から、
$2$ \lim_{k \to \infty} x_k= \infty$
となっていることにも注意します。

ここまでで準備完了。
最後に、
$2$ f(x) =\sum_{k=1}^\infty \chi(x-x_k) g_k(x)$
として、f(x)を定めます。これは、無限和ではありますが、xを固定すると、
$2$\chi(x-x_k)\not=0$ を満たすようなkは有限個ですので、x毎に有限和になっていて、f(x)が連続関数であることもわかります。

また、 $2$f(x)>g_1(x)=f_1(x)>0$ となっています。

積分値についても、 $2$x_n$ の選び方から、
$2$ \displaystyle\int_0^\infty f(x) \,dx \leq \displaystyle\int_0^\infty f_1(x) \,dx + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n} <\infty$
となります。

最後に、nを固定し、m>nに対して、 $2$x>x_m$ となるような $2$x$ を考えれば、
$2$ f(x) \geq \sum_{k=n}^m \chi(x-x_k) g_k(x) =\sum_{k=n}^m g_k(x) \geq \sum_{k=n}^m k f_n(x) =\frac{(m-n+1)(m+n)}{2} f_n(x)$
が成り立つので、
$2$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{f_n(x)} =\infty$
も得られます。

以上でどうでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47307 / ResNo.2)

　Re[2]: 広義積分

□投稿者/ マリリン一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 21:41:15)

有難うございます。
納得できました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

＜前のスレッド5件 | 次のスレッド5件＞

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター