数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 54]

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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

積分不等式(1) |

スピアマンの順位相関係数の求め方について(0) |

sin(x)sin(x+1)<c(2) |

積分(0) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

数字が重複しない積(1) |

イデアル(2) |

自然数(2) |

klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

余り(2) |

確率(3) |

n乗根(1) |

lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

設問ミスですか？それとも解けますか？(1) |

台形(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(1) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(1) |

確率(2) |

平方数(3) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

体(3) |

約数(1) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

極限(3) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

■51972 / 親記事)

　距離空間

□投稿者/ 滝川一般人(1回)-(2022/10/10(Mon) 14:35:01)

dを実数のユークリッド距離とし、U={x∈R | x≧0}とする。
d_U(x,y)=|x-y|　としたとき、Uの部分集合S=[0,1]に対して、(U,　d_U)において、
Sの内部は[0,1)で、Sの境界は{1}になることはどうやって示せばよいでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52134 / ResNo.1)

　Re[1]: 距離空間

□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2023/03/26(Sun) 21:19:32)

a∈U
ε>0
に対して
B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
をaのε近傍という

G⊂U
に対して
任意の
a∈G
に対して
B(a,ε)⊂G
となるようなε>0が存在するとき
GはUの開集合と定義する

a∈[0,1)
とする
ε=(1-a)/2
とする
a<1だから
1-a>0だから
ε=(1-a)/2>0
となる
x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
とすると
|x-a|<(1-a)/2
0≦x<a+(1-a)/2=(1+a)/2<1
だから
x∈[0,1)
だから
B(a,ε)⊂[0,1)
だから
[0,1)はUの開集合となる

任意のε>0に対して
x=1+(ε/2)
とすると
|x-1|=ε/2<ε
だから
x∈B(1,ε)
x>1だから
x∈B(1,ε)-S
だから
B(1,ε)⊂Sでないから
SはUの開集合でないから
Sの内部(Sに含まれる最大開集合)は[0,1)となる

a∈U-S
とする
a∈U-S={x|x>1}だから
a>1
となる
ε=(a-1)/2
とすると
ε=(a-1)/2>0
x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
とすると
|x-a|<(a-1)/2
a-(a-1)/2<x
1<(a+1)/2<x
だから
x∈{x|x>1}=U-S
だから
B(a,ε)⊂U-S
だから
U-SはUの開集合だから
SはUの閉集合となる
SはSの閉包
{1}=S-[0,1)
だから
Sの境界(閉包と内部の差)は{1}

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51966 / 親記事)

　多項式

□投稿者/ st 一般人(1回)-(2022/10/09(Sun) 08:34:47)

(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)
を展開して出てくる16項のうちpqrsをのぞく全ての項が0で
さらにa=p=0でもb=p=0でもc=r=0でもd=s=0でもないとき
a,b,c,dの求め方を教えて下さい

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51967 / ResNo.1)

　Re[1]: 多項式

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2022/10/09(Sun) 09:41:02)

「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開して出てくる16項のうちpqrsをのぞく全ての項が0」とは
「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開するとpqrsになる」という意味ですか？
もしそうならa=b=c=d=0しかないと思いますが。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51968 / ResNo.2)

　Re[2]: 多項式

□投稿者/ st 一般人(2回)-(2022/10/09(Sun) 10:14:09)

ありがとうございます

「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開して出てくる16項のうちpqrsをのぞく全ての項が0」
ならば
「(a-p)(b-q)(c-r)(d-s)を展開するとpqrsになる」
にはなります。

逆がいえるかはちょっと私にはわからないです…

>もしそうならa=b=c=d=0しかないと思います
私にはあまりピンとこないので証明を教えてほしいです

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51970 / ResNo.3)

　Re[3]: 多項式

□投稿者/ らすかる一般人(7回)-(2022/10/09(Sun) 18:37:39)

2022/10/09(Sun) 18:44:32 編集(投稿者)

少し誤解していましたが、
abcd=abcs=abrd=abrs=aqcd=aqcs=aqrd=aqrs=pbcd=pbcs=pbrd=pbrs=pqcd=pqcs=pqrd=0
かつ |a|+|p|≠0 かつ |b|+|p|≠0 かつ |c|+|r|≠0 かつ |d|+|s|≠0
のときにa,b,c,dの値は？
という意味ですね？

それならばb=q=0であればa,c,dがどんな値でも成り立ちますね。

もし、質問のb=p=0がb=q=0の間違いならば問題は
> abcd=abcs=abrd=abrs=aqcd=aqcs=aqrd=aqrs=pbcd=pbcs=pbrd=pbrs=pqcd=pqcs=pqrd=0
> かつ |a|+|p|≠0 かつ |b|+|q|≠0 かつ |c|+|r|≠0 かつ |d|+|s|≠0
> のときにa,b,c,dの値は？
となり、この場合は
abcd=0なのでa,b,c,dのうち少なくとも一つは0
a=0とするとp≠0
pbcd=0なのでb,c,dのうち少なくとも一つは0
b=0とするとq≠0
pqcd=0なのでc,dのうち少なくとも一つは0
c=0とするとr≠0
pqrd=0なのでd=0
a,b,c,dのうち0を仮定する順番がどうであっても全部0になるから、a,b,c,d=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51971 / ResNo.4)

　Re[4]: 多項式

□投稿者/ st 一般人(3回)-(2022/10/10(Mon) 09:03:45)

ありがとうございます！！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51963 / 親記事)

　無限級数

□投稿者/ 鍋一般人(3回)-(2022/10/06(Thu) 14:13:22)

以下の条件を全て満たす実数列{a[n]}(n=1,2,3,…,∞)の例を教えて下さい。

・どの2つの項も異なる。
・a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+…は無理数に収束する。
・a[1]-a[2]+a[3]-a[4]+a[5]-…は有理数に収束する。
・lim[n→∞]n*a[n]は収束しない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51964 / ResNo.1)

　Re[1]: 無限級数

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2022/10/06(Thu) 15:30:09)

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…=π/4 … (1)
1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+…=log√2 … (2)
(2)の第1項の1/2を1/2-log√2+π/4に変えれば
(1/2-log√2+π/4)-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+…=π/4 … (3)
よって
a[2m-1]=1,-1/3,1/5,-1/7,1/9,-1/11,… (m≧1)
a[2]=1/2-log√2+π/4
a[2m]=-1/4,1/6,-1/8,1/10,-1/12,… (m≧2)
とすれば
Σa[2m-1]=Σa[2m]=π/4なので
a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+…=π/2
a[1]-a[2]+a[3]-a[4]+…=0
またlim[n→∞]na[n]は±1で振動するので収束しない

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51965 / ResNo.2)

　Re[2]: 無限級数

□投稿者/ 鍋一般人(4回)-(2022/10/06(Thu) 15:51:59)

ありがとうございます。
とても助かりました！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51960 / 親記事)

　無限級数

□投稿者/ 鍋一般人(1回)-(2022/10/06(Thu) 09:49:50)

実数列{a[n]}(n=1,2,3,…,∞)は、どの項も0ではなく、
同じ数は2度とは現れない。
さらに無限級数
a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+…… は無理数に収束し、
a[1]-a[2]+a[3]-a[4]+a[5]-…… は有理数に収束する。

このような条件を満たす数列{a[n]}の具体例を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■51961 / ResNo.1)

　Re[1]: 無限級数

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2022/10/06(Thu) 10:35:36)

Σ[k=1～∞](1/2)^k=1
Σ[k=1～∞]2・(1/3)^k=1
なので
a[2m-1]=(1/2)^m・√2
a[2m]=2・(1/3)^m・√2
とすれば
前者は2√2に収束、後者は0に収束します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51962 / ResNo.2)

　Re[2]: 無限級数

□投稿者/ 鍋一般人(2回)-(2022/10/06(Thu) 11:30:02)

ありがとうございます。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51959 / 親記事)

　確率

□投稿者/ ピザ一般人(1回)-(2022/10/05(Wed) 11:11:08)

箱の中に1から8の整数が書かれた8個のボールがあり、
2個取り出して、2個の玉に書かれた|整数の差|が1であればその2個は捨て、
|整数の差|が1より大きければ2個とも箱に戻す、という行動を繰り返す。
n回行動をし終えた時点で箱が空になる確率を求めよ。

この問題が解けないので教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51978 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/10/12(Wed) 18:54:03)

求める確率をP[n]とします。

ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
R[8,6]=4/(8C2)=1/7
R[6,4]=3/(6C2)=1/5
R[4,2]=2/(4C2)=1/3
R[2,0]=1
∴箱の中の玉の個数が
l回目の行動の前後で8個から6個に
l+m回目の行動の前後で6個から4個に
なり、
n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
である確率をQ[n,l,m]とすると
Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
=(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n

よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
q[n]=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l]Q[n,l,m]
=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
=(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1～n-l](6/5)^(m-1)
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
=(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)

∴
(i)n≧4のとき
P[n]=R[4,2]q[n-2]
=(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
(ii)n=1,2,3のとき
箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
P[n]=0
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51982 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ ピザ一般人(2回)-(2022/10/14(Fri) 10:36:45)

有り難うございます。
感激です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51984 / ResNo.3)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2022/10/18(Tue) 11:26:05)

■No51978に返信(Xさんの記事)
> 求める確率をP[n]とします。
>
> ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
> k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
> R[8,6]=4/(8C2)=1/7
> R[6,4]=3/(6C2)=1/5
> R[4,2]=2/(4C2)=1/3
> R[2,0]=1
> ∴箱の中の玉の個数が
> l回目の行動の前後で8個から6個に
> l+m回目の行動の前後で6個から4個に
> なり、
> n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
> である確率をQ[n,l,m]とすると
> Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
> ={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
> =(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
>
> よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
> q[n]=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l]Q[n,l,m]
> =Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
> =(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1～n-l](6/5)^(m-1)
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
> ={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
> =(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)
>
> ∴
> (i)n≧4のとき
> P[n]=R[4,2]q[n-2]
> =(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
> (ii)n=1,2,3のとき
> 箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
> P[n]=0
> (もっと簡単な方法があるかもしれません。)

1回目に (2,3) が取り出された場合,1 が今後取り出されることがなくなるので箱からすべての玉が取り出されることがなくなります。
この計算では個数のみを気にしていて取り出され方が加味されていないようなので先の例が起こることが加味されていません。
おそらくこの計算よりさらに複雑になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51989 / ResNo.4)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/10/20(Thu) 18:17:48)

＞＞nackyさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞ピザさんへ
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
nackyさんの仰る通りです。
私の回答は無視して下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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