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■48412 / 親記事)  模範解答の解説お願いします
□投稿者/ yellowman 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 21:40:21)
    模範解答
    OA=3 OB=1∠AOB=120°である三角形OABにおいて線分OA1:4に内分する点をC、線分OBを3:2に内分する点をDとしさらに線分ABをt:1−tに内分する点をEとする。

    このときの↑CD=−1/5↑OA+3/5↑OB
    ↑CE=(4/5−t)↑OA+t↑OB

    ↑OA・↑OB=−3/2

    ∠DCE=90°とする場合、↑CD・↑CE=0
    t=3/5となる

    さらに、三角形CDEの外接円と線分ABの2交点のうちEでないほうをF
    とし、AF:FB=u:1-uとすると、u=12/13
    となる。また、線分CDと線分OFの交点をGとすると、OG/GF=13/12と書ける。
    ※u=12/13の出し方
    DF⊥AB
    ↑DF・↑AB=(↑OF−↑OD)・(↑OA−↑OB)
    {(1−u)↑OA+u↑OB−3/5↑OB}・(↑OA−↑OB)
    と記されてました

    ↑AB=↑OB−↑OAになりませんか?

    そこが一番気になりました。

    全体的にもう少し詳しく説明頂けると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48524 / ResNo.1)  Re[1]: 模範解答の解説お願いします
□投稿者/ muturajcp 一般人(18回)-(2018/08/22(Wed) 09:20:10)
    |OA|=3
    |OB|=1
    ∠AOB=120°である三角形OABにおいて
    線分OAを1:4に内分する点をCとすると
    OC=(1/5)OA
    線分OBを3:2に内分する点をDとすると
    OD=(3/5)OB
    だから
    ↑CD=OD-OC=(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB
    線分ABをt:1-tに内分する点をEとすると
    OE=(1-t)OA+tOB
    OC=(1/5)OA
    だから
    ↑CE=OE-OC=(1-t)OA+tOB-(1/5)OA=(4/5-t)↑OA+t↑OB
    |OA|=3
    |OB|=1
    ∠AOB=120°
    だから
    ↑OA・↑OB=|OA||OB|cos∠AOB=3cos120°=-3/2
    ∠DCE=90°とする場合、
    ↑CD・↑CE=0
    ↑CD=(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB
    ↑CE=(4/5-t)↑OA+t↑OB
    だから
    ↑CD・↑CE
    ={(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB}・{(4/5-t)↑OA+t↑OB}
    =(-1/5)(4/5-t)|OA|^2+{(-t/5)+(3/5)(4/5-t)}(↑OA・↑OB)+(3t/5)|OB|^2
    =
    (-9/5)(4/5-t)+(-3/2){(-t/5)+(3/5)(4/5-t)}+(3t/5)=0
    -9(4/5-t)+(-3/2){-t+3(4/5-t)}+3t=0
    -9(4-5t)+(-3/2){-5t+3(4-5t)}+15t=0
    -3(4-5t)-(6-10t)+5t=0
    -12+15t-6+10t+5t=0
    30t-18=0
    5t-3=0
    5t=3
    t=3/5となる
    さらに、三角形CDEの外接円と線分ABの2交点のうちEでないほうをF
    とし、
    AF:FB=u:1-uとすると、
    OF=(1-u)OA+uOB
    ∠DFE=90°
    DF⊥BA
    だから
    ↑DF・↑BA=(↑OF-↑OD)・(↑OA-↑OB)=0
    {(1-u)↑OA+u↑OB-(3/5)↑OB}・(↑OA-↑OB)=0
    {(1-u)OA+(u-3/5)OB}・(OA-OB)=0
    (1-u)|OA|^2+(u-3/5-1+u)(OA・OB)-(u-3/5)|OB|^2=0
    (1-u)|OA|^2+(2u-8/5)(OA・OB)-(u-3/5)|OB|^2=0
    9(1-u)+(-3/2)(2u-8/5)-(u-3/5)=0
    9-9u-3u+12/5-u+3/5=0
    12-13u=0
    12=13u
    u=12/13
    となる。
    また、線分CDと線分OFの交点をGとすると、
    OG=xOF=(1-y)OC+yOD
    OF=(1/13)OA+(12/13)OB
    OC=(1/5)OA
    OD=(3/5)OB
    (x/13)OA+(12x/13)OB={(1-y)/5}OA+(3y/5)OB
    {(x/13)+(y-1)/5}OA+{(12x/13)-(3y/5)}OB=0
    (x/13)+(y/5)-(1/5)=0
    (12x/13)-(3y/5)=0
    (4x/13)-(y/5)=0
    (5x/13)-(1/5)=0
    5x/13=1/5
    x=13/25
    OG=(13/25)OF=(13/25)(OG+GF)
    (12/25)OG=(13/25)GF
    12OG=13GF
    12|OG|=13|GF|

    |OG|/|GF|=13/12
    と書ける。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48406 / 親記事)  不等式
□投稿者/ 高橋優 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 11:00:00)
    0<x<1でx>sin(√(1+x)-√(1-x))であることの証明って高校生にもできますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48408 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/12/28(Thu) 12:58:09)
    sinxのテイラー展開を使ってよければ、できます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48409 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 高橋優 一般人(2回)-(2017/12/28(Thu) 13:31:41)
    x-x^3/6<sinx<x-x^3/6+x^5/120
    みたいな不等式を使うということでしょうか?
    ちょっと想像がつきません...
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48411 / ResNo.3)  Re[3]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/12/28(Thu) 19:16:22)
    y=√(1+x)-√(1-x) とおくと x=y√(4-y^2)/2
    また 0<x<1 のとき 0<y<√2

    0<y<√2のとき
    {y√(4-y^2)/2}^2-(y-y^3/6+y^5/120)^2
    ={y^8(4-y^2)+4y^4(3y^2-2)^2+592y^4(2-y^2)}/14400>0 から
    {y√(4-y^2)/2}^2>(y-y^3/6+y^5/120)^2
    y√(4-y^2)/2>y-y^3/6+y^5/120>siny
    ∴x>sin(√(1+x)-√(1-x))

    # y√(4-y^2)/2>y-y^3/6+y^5/120 の示し方は他にもあると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48418 / ResNo.4)  Re[4]: 不等式
□投稿者/ 高橋優 一般人(3回)-(2017/12/30(Sat) 02:39:48)
    ありがとうございます
    素晴らしいです
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48404 / 親記事)  円環
□投稿者/ ロードムービー 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 04:02:42)
    xy平面で1≦x^2+y^2≦4かつa≦x≦a+1で表される領域の面積をS(a)とします。
    aが実数を動いたときのS(a)の最大値は何になりますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48405 / ResNo.1)  Re[1]: 円環
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2017/12/28(Thu) 04:49:29)
    自作問題ですか?
    y≧0の部分でx=bが円環を切る長さをT(b)とすると
    b≧0に対するT(b)は
    b=0のとき1
    0<b<1で増加
    b=1のとき√3
    1<b<2で減少
    b=2で0
    となりますので
    0<b<1でT(b)=T(b+1)となるとき
    S(b)が最大値になります。
    これを式にすると
    √(4-(a+1)^2)=√(4-a^2)-√(1-a^2)
    これを整理して
    3a^4+4a^3-20a^2-8a+12=0
    この適解は
    a=0.64937650279271053573542013931590976133167538436917…
    これを、積分で得た面積の式
    (a+1)√(3-2a-a^2)-a√(4-a^2)+a√(1-a^2)
    +4arcsin((a+1)/2)-4arcsin(a/2)+arcsin(a)-π/2
    に代入することにより
    S(a)=2.82301777887522403405247654637239676648465183078042…
    を得ます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48415 / ResNo.2)  Re[2]: 円環
□投稿者/ ロードムービー 一般人(2回)-(2017/12/29(Fri) 11:05:42)
    有り難うございました!!
    東大後期の問題なのですが、どこをどう探しても答がなかったので助かりました!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48416 / ResNo.3)  Re[3]: 円環
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2017/12/29(Fri) 11:31:02)
    2017/12/29(Fri) 11:48:19 編集(投稿者)

    > 東大後期の問題

    ということは、数値解でなく解析的に書き表された解があるということですね?

    (追記)
    とりあえず a={√(26+2√7)-√7-1}/3 と書けますので
    厳密解も書けることは書けますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48401 / 親記事)  三角関数
□投稿者/ 餅入りお好み焼き 一般人(1回)-(2017/12/23(Sat) 11:29:30)
    aを実数の定数として、tを変数とする関数
    f(t)=sin(2t)+sin(t+a)
    のtが実数を動いたときの最大値をM(a)、最小値をm(a)とします。
    aが実数を動いたときのM(a)-m(a)の値域はどうなるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48403 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/12/27(Wed) 01:23:15)
    自作問題ですか?
    多分、
    M(0)-m(0)=√(414+66√33)/8≒3.52 が最大値
    M(π/4)-m(π/4)=25/8=3.125 が最小値
    となると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48398 / 親記事)  微分
□投稿者/ 質問者 一般人(1回)-(2017/12/23(Sat) 00:48:26)
    問:f(x)は微分可、f(-x)=f(x)+x、f'(1)=1、f(1)=0を満たしている。次の値を求めよ。
    (1)f'(-1)

    解1
    f'(-x)=(f(x)+x)'
    =f'(x)+1
    f'(-1)=f'(1)+1
    =2

    解2
    f'(-1)=lim[h→0](f(-1+h)-f(-1))/h
    =lim[h→0](f(1-h)+(1-h)-f(1)-1)/h
    =lim[h→0][(f(1-h)-f(1))/h-1}
    =f'(1)-1
    =0

    解1と2ではどちらが正しいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48399 / ResNo.1)  Re[1]: 微分
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2017/12/23(Sat) 02:54:36)
    どちらも間違っています。

    解1は1行目が誤りです。
    f(-x)=f(x)+x の両辺を微分すると
    f'(-x)・(-x)'=(f(x)+x)'
    ですから
    -f'(-x)=(f(x)+x)'=f'(x)+1
    となり
    f'(-x)=-f'(x)-1なので
    f'(-1)=-f'(1)-1=-2
    となります。

    解2は3行目から4行目への式変形が誤りです。
    lim[h→0]{(f(1-h)-f(1))/h-1}
    =lim[h→0]{(f(1+h)-f(1))/(-h)-1}
    =lim[h→0]{-(f(1+h)-f(1))/h-1}
    =-f'(1)-1
    =-2
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48400 / ResNo.2)  Re[2]: 微分
□投稿者/ 質問者 一般人(3回)-(2017/12/23(Sat) 10:18:13)
    とても納得しました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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