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■51863 / 親記事)  複素数の問題
□投稿者/ なにぬせの 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 23:32:19)
    よろしくお願いします。
640×326 => 250×127

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/46KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■51865 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(4回)-(2022/06/06(Mon) 21:05:39)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは☆

    見たところ、条件が「あるzについて、wが外接円上にある」という意味ならば
    述べられている結論は成り立たないようなので、
    題意としては「α,β,zが三角形の位置をなす任意のzについて」
    wが外接円上にあるという意味だと推測されます。
    そのような意味であるとして考えてみました。

       *****

    α,β,z,wが共円なので、∠αwβ=∠αzβまたは
    ∠αwβ+∠αzβ=πです。
    これらの条件は

    (w−α)/(w−β)=r(z−α)/(z−β) (r:実数)

    と表されます。分母をはらうと

    (w−α)(z−β)=r(z−α)(w−β)

    整理すると

    [r(z−α)−(z−β)]w=rβ(z−α)−α(z−β)

    ここで、w=f(z)=(az−b)/(z+a−c)を
    上式に代入して分母をはらうと

    @ [r(z−α)−(z−β)](az−b)
       =[rβ(z−α)−α(z−β)](z+a−c)

    左辺−右辺はzの2次式で、これが恒等的に0になることから
    2次の係数も0です。すなわち

    (r−1)a−(rβ−α)=0

    r=1ならα=βとなって仮定に反するのでr≠1です。

    よって上式から

    a=rβ/(r−1)−α/(r−1)

    となります。この式はaがα,βを結んだ直線上にあることを示しています。
    (sα+tβ,s+t=1の形なので、
    ベクトルとして見ると直線上にあることが明らかです)

       *****

    これで一応示せているとは思いますが、f(α)=α,f(β)=βの
    条件は不必要なので、不可解です。

    かといって、「あるzについてwが外接円上にある」というのでは
    rが直線αβ上になくても2次方程式@の解となるzについては
    条件が満たされることになります。

    もしかすると私が何か勘違いしているのかもしれませんが、
    一応、上のような解答を考えてみました。
    ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51867 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(5回)-(2022/06/06(Mon) 21:34:03)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    下から6行目の冒頭は

    rが → aが

    でした。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51869 / ResNo.3)  Re[1]: 複素数の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(6回)-(2022/06/09(Thu) 23:27:49)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    すみません、訂正です。
    @式の左辺−右辺は2次の係数×(z−α)(z−β)となるので、
    z≠α,βの仮定から「あるzについて題意の条件が成り立てば」
    rは直線αβ上にあるといえます。

    不動点α,βはf(z)=zを満たすので、分母を払って整理すると
    z^2−cz+b=0の2根となります。
    よって解と係数の関係から
    α+β=c,αβ=bとなり、これを使って@の左辺−右辺を計算すると
    上のようになります。

    問題は間違っていませんでした(汗


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51860 / 親記事)  場合の数
□投稿者/ 場合の数 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 17:42:23)
    赤玉が3つあり、1,2,3の番号がふってある。
    白玉、青玉も3つずつあり、同様に1,2,3の番号がふられている。
    これらの9個の玉を横一列に並べるとき、k=1,2,…,9として
    左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数をa[k]個、
    左から数えてk番目に初めて3色が出揃う列の数をb[k]個とするとき
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9] と
    b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    の値の求め方を教えて下さい。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51861 / ResNo.1)  Re[1]: 場合の数
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 18:54:59)
    a[k]=「左から数えてk-1番目までは2色以下しか並んでない列の数」
    =「左から数えてk番目以降に初めて3色が出揃う列」
    =b[k]+b[k+1]+b[k+2]+…+b[9]
    なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
    =(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
     +(b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
     +(b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]+b[8]+b[9])
     +…
     +(b[9])
    =b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    となり、求める二つの値は同じであることがわかります。

    a[1]=9!=362880
    a[2]=9!=362880
    a[3]=9!=362880
    a[4]=9!-3^3×3!×6!=246240
    a[5]=6P4×3C2×5!=129600
    a[6]=6P5×3C2×4!=51840
    a[7]=6P6×3C2×3!=12960
    a[8]=0
    a[9]=0
    なので
    a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]
    =b[1]+2b[2]+3b[3]+4b[4]+5b[5]+6b[6]+7b[7]+8b[8]+9b[9]
    =1529280
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51862 / ResNo.2)  Re[2]: 場合の数
□投稿者/ 場合の数 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 21:21:54)
    ありがとうございます!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51857 / 親記事)  式と直線の問題
□投稿者/ u 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 02:00:38)
    あるクラスの 5 人の身長と平均歩幅は次の通りであった。 ただし, 身長を x, 平均歩幅を y とし, 5 人の計測値を (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, 5 としている。

    i=1 xi=154 yi=69
    i=2 xi=158 yi=67
    i=3 xi=165 yi=75
    i=4 xi=152 yi=61
    i=5 xi=161 yi=73

    x と y の間には xy-平面上の直線 y = ax + b で表される関係があると仮定し、この直線の式を定める。直線上の点の x 座標が xi のとき y 座標を yˆi で表し,Σ[i=1→5](yi − yˆi)^2ができるだけ小さくなるようにしたい.

    問題 1 直線を求めるための方針を簡潔に説明しなさい.

    問題 2 関係式を求めなさい. 求める過程を詳細に示すこと.

    問題 3 求めた直線上の y = yi に対応する x 座標を zi とするとき zi の平均は xiの平均に等しくなることを示しなさい.


    問題1はi=2,3を外れ値にしてi=1,4,5の連立方程式を解いていく流れでいいでしょうか?
    問題2は問題1の連立方程式を解いていくだけでしょうか?
    問題3はxiもziも同じ値が同じ数あるので平均は等しくなるという解釈で間違ってないでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■51853 / 親記事)  素数
□投稿者/ ナジャル 一般人(1回)-(2022/06/03(Fri) 23:24:06)
    pq-rs=pr+qs=t
    をみたす素数p,q,r,s,tを教えて下さい。
    求め方もよろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51854 / ResNo.1)  Re[1]: 素数
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2022/06/04(Sat) 00:43:41)
    p,q,r,sがすべて奇素数とするとtが(2より大きい)偶数になって不適。
    またp,q,r,sのうち2つ以上が2だとするとpq-rsかpr+qsのうち少なくとも一つが
    偶数になって不適。従ってp,q,r,sのうちどれか一つだけが2。
    pq-rs=pr+qsはp(q-r)=s(q+r),q(p-s)=r(p+s)のように変形できるのでp,qは2ではない。
    rとsを入れ替えてpとqを入れ替えても式が成り立つので、
    s=2として解を求め、rとs、pとqを交換したものも解とすればよい。
    このときpq-2r=pr+2qすなわちp(q-r)=2(q+r)。
    q=6m+1かつr=6n+1とするとq-rが3で割り切れq+rが3で割り切れないので不適。
    q=6m-1かつr=6n-1のときも同じ。
    q=6m+1かつr=6n-1とするとq+rが3で割り切れるがq-rが3で割り切れないので
    p=3でなければならない。しかし3(q-r)=2(q+r)とするとr=5qとなり不適。
    q=6m-1かつr=6n+1のときも同じ。
    従ってqかrのいずれかは6k±1でない奇素数すなわち3でなければならない。
    p(q-r)=2(q+r)からq=3とすると左辺が0以下になり不適なので、
    r=3でなければならない。
    pq-rs=pr+qsにr=3,s=2を代入して整理すると(p-2)(q-3)=12となるので
    p=5,q=7と決まり、このときt=29。
    rとs、pとqの入れ替えも解なので、条件を満たす解は
    (p,q,r,s,t)=(5,7,3,2,29),(7,5,2,3,29)の2組。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51855 / ResNo.2)  Re[2]: 素数
□投稿者/ ナジャル 一般人(2回)-(2022/06/04(Sat) 10:13:42)
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51852 / 親記事)  必要十分条件
□投稿者/ age 一般人(1回)-(2022/06/02(Thu) 20:53:21)
    b^2-4ac≧0 かつ a+b+c>k*max{a,b,c}
    をみたす実数a,b,cが存在するための
    実数kに関する必要十分条件ってどうなりますか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■51856 / ResNo.1)  Re[1]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 01:56:45)
http://www/youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    はじめまして。マシュマロと申します。

    みたところ、「k<9/4またはk>4」が必要十分なのではないかと思います。
    以下、その説明です。


    D=b^2−4ac,s=a+b+c,m=max{a,b,c}とおきます。

    (1)m=bの場合

    この場合、仮にb<0ならばD<0となって条件に反するので
    b≧0です。

    b=0のとき、条件を満たすのはac=0のときで、
    このときはs≦0かつm=0なので、s>kmを満たすkは
    存在しません。

    よってb>0です。さらに場合分けします。

    (1‐1)ac≦0のとき

    このときはD>0となり、条件が満たされます。
    a≧0として一般性を失いません。
    このとき、sはa=b,c=0のとき最大値2bをとります。
    よってk<2ならばs>kmとなり得ます。

    (1‐2)a,c>0のとき

    D≧0となるのはac≦b^2のときで、a,c≦bの条件下においてsは
    (a,c)=(b,b/4),(b/4,b)のとき、最大値9/4bを
    とります。
    よってk<9/4ならばs>kmとなり得ます。

    (1‐3)a,c<0のとき

    a,c→0とすることによりsの上限はbであることがわかります。
    よってk<1ならばs>kmとなり得ます。

    よって、m=bの場合はk<9/4ならばs>kmとなり得ることがわかりました。


    (2)m=aの場合

    さらに場合分けします。

    (2‐1)a=0のとき

    この場合はD≧0ですが、s≦0,m=0なのでs>kmとはなり得ません。

    (2‐2)a>0,c≦0のとき

    この場合はD≧0が満たされます。
    sはb=a,c=0のとき、最大値2aをとります。
    よってk<2ならばs>kmとなり得ます。

    (2‐3)a>0,c>0のとき

    D≧0よりb≧2√(ac)ですが、b≦aよりc≦a/4です。
    よってsは(b,c)=(a,a/4)のとき、最大値9a/4をとります。
    従ってk<9/4ならばs>kmとなり得ます。

    (2‐4)a<0のとき

    m=aなのでb,c≦aです。
    D≧0となるのはb≦−2√(ac)のときです。
    sは(b,c)=(2a,a)のとき最大値4aをとります。
    よって、k>4ならばs>kmとなり得ます。

    従ってm=aの場合はk<9/4またはk>4ならば
    s>kmとなり得ることがわかりました。


    (3)m=cのとき

    これは(2)の場合と同様なので、k<9/4またはk>4のときに
    s>kmとなり得ます。


    (1)〜(3)により、求める必要十分条件は
    「k<9/4またはk>4」であることがわかりました。□


    以上のようになりました。
    場合分けが多いので合っているかどうかわかりませんが、
    参考になれば幸いです。
    ではでは☆

解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51858 / ResNo.2)  Re[2]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 02:03:24)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    No51856に返信(マシュマロさんの記事)
    リンクミスしましたので再返信します。正しくはこちらのリンクです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51859 / ResNo.3)  Re[2]: 必要十分条件
□投稿者/ マシュマロ 一般人(3回)-(2022/06/05(Sun) 08:18:04)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    (1‐2)のときの最大値は9/4bとなっていますが、
    正しくは9/4・bすなわち9b/4です。
    また、(1‐1)の直前の、「よってb>0です」というのは
    「条件を満たすkが存在するのはb>0のときです」という意味です。
    他にもいいかげんなところはあるかもしれませんが、
    脳内修正で読んでいただけると助かります(笑)
    ではでは☆
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51868 / ResNo.4)  Re[3]: 必要十分条件
□投稿者/ age 一般人(2回)-(2022/06/07(Tue) 09:37:32)
    ありがとうございました
    とても参考になりました
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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