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□投稿者/ 仔犬 一般人(1回)-(2022/07/01(Fri) 17:01:03)
 | 教えて下さい。
(z-1)(w-1)=|z|=|w|=1
をみたす複素数z,wを全て求めよ。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■51913 / ResNo.1) |
Re[1]: 複素数
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□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/07/01(Fri) 22:29:59)
| 以下の方針はオイラーの公式を学習済みという前提ですので
注意して下さい。
問題の方程式から
(z-1)(w-1)=1 (A)
|z|=|w|=1 (B)
(B)より
z=e^(ia) (C)
(但し0≦a＜2π (D))
w=e^(ib) (E)
(但し0≦b＜2π (F))
と置くことができます。
(C)(E)を(A)に代入すると
e^{i(a+b)}-e^(ia)-e^(ib)=0
∴e^(ia)-e^{i(a-b)}=1
となるので複素数の相等の定義により
cosa-cos(a-b)=1 (G)
sin(a-b)=0 (H)
(D)(F)より
-2π＜a-b＜2π
∴(H)より
a-b=0,π,-π
(i)a-b=0のとき
(G)より
cosa=2
ゆえ題意を満たす(z,w)の組は存在しません。
(ii)a-b=πのとき
(G)より
cosa=0
∴(C)より
a=π/2,3π/2
となるので(F)より
(a,b)=(3π/2,π/2)
∴(C)(E)から
z=-i,w=i
(iii)a-b=-πのとき
(C)(G)より
a=π/2,3π/2
∴(F)より
(a,b)=(π/2,3π/2)
∴(C)(E)から
z=i,w=-i
以上から
(z,w)=(i,-i),(-i,i)
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| ■51914 / ResNo.2) |
Re[2]: 複素数
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□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2022/07/02(Sat) 01:09:14)
| (z,w)=(i,-i)のとき
(z-1)(w-1)=(i-1)(-i-1)=2
になると思います。
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| ■51916 / ResNo.3) |
Re[1]: 複素数
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□投稿者/ X 一般人(5回)-(2022/07/02(Sat) 09:41:03)
| ＞＞ラスカルさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞仔犬さんへ
ごめんなさい、途中で計算を間違えていました。
修正を考えましたが、No.51913の方針では
計算が煩雑になりますので、別の方針で
アップします。
問題の方程式から
(z-1)(w-1)=1 (A)
|z|=1 (B)
|w|=1 (C)
(A)から
zw-z-w=0
(z-1)w=z
∴w=z/(z-1) (A)'
これを(C)に代入し、
|z|/|z-1|=1
更に(B)を代入して
|z-1|=1 (C)'
ここで(B)より
z=cosθ+isinθ (D)
(0≦θ＜2π)
と置くことができるので、（C)'は
(cosθ-1)^2+(sinθ)^2=1
∴-2cosθ+2=1
cosθ=1/2
∴θ=π/3,5π/3
よって(D)より
z=1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2
これらを(A)'に代入して
(z,w)=(1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2),(1/2-i(√3)/2,1/2+i(√3)/2)
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| ■51922 / ResNo.4) |
Re[1]: 複素数
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□投稿者/ 仔犬 一般人(2回)-(2022/07/18(Mon) 22:45:11)
| 友達に聞いて解決しました。すみませんでした。
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数列の極限(0)
