数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■ 過去ログ検索の勧め⇒ここを読んでみてください
google検索

 
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。
検索条件:
現在のログを検索過去のログを検索
■ 2006/2/20より、累計:、本日:、昨日:
数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \] あるいは,$ TeX形式数式 $ で数式を記述します。
 TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは New で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは UpDate で表示されます。

記事リスト ( )内の数字はレス数
UpDate多項式の既約性(1) | Nomal円錐台の断面積(9) | Nomal相関係数と共分散(1) | Nomallogの計算(3) | Nomaltan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) | Nomal極限(3) | Nomal確率の問題が分かりません 助けてください(1) | Nomalメビウス変換(0) | Nomal複素数 写像 (0) | Nomal複素数平面(0) | Nomal複素数平面(1) | Nomal複素数 証明(難)(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(1) | Nomal複素数(1) | Nomal囲まれた面積(2) | Nomal極限の問題 2改(1) | Nomal微分可能な点を求める問題(1) | Nomal極限の問題2(1) | Nomal極限の問題(1) | Nomal複素数(2) | Nomal三角形(1) | Nomal確率(2) | Nomal三角数の和(0) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomal低レベルな問題ですいません(2) | Nomal中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) | Nomalガウス整数の平方和(8) | Nomal環でしょうか(2) | Nomal三角関数の式(0) | Nomal大学数学 位相数学(1) | Nomal確率(1) | Nomal1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) | Nomal速度(2) | Nomali^iについて(2) | Nomal複素数平面(6) | Nomal(x+1)^n-x^n(1) | Nomal定積分(1) | Nomal円に内接する四角形(2) | Nomal多項式の整除(1) | Nomal代数学(1) | Nomal不等式(4) | Nomal大学数学(0) | Nomal極限(0) | Nomal有限体(0) | Nomal多項式(1) | Nomal場合の数(2) | Nomal同値関係が分かりません(0) | Nomal初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) | Nomal質問(2) | Nomal不等式(2) | Nomal周期関数(1) | Nomal確立 基礎問題(2) | NomalCELINE コピー(0) | Nomalこれだけで求められるの?(3) | Nomal平方数(1) | Nomal係数(4) | Nomal不等式(2) | Nomal整数問題(1) | Nomal二次方程式の定数を求める(3) | Nomal正十二面体(2) | Nomal期待値(2) | Nomal複素数と図形(1) | Nomal大学の積分の問題です(0) | Nomal整数の例(4) | Nomal位相数学(0) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomal線形代数(0) | Nomalkkk(0) | Nomalお金がかからない(0) | Nomal大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) | Nomal大学数学難しすぎて分かりません。。(0) | Nomal関数方程式(2) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomalべズーの定理(0) | Nomal数学はゲーム(3) | Nomal解析学(0) | Nomal整数問題(1) | Nomal位相数学(1) | Nomal大学数学 位相数学(2) | Nomal数検準2級は難しい(0) | Nomal条件付き最大値問題について(0) | Nomal数列(2) | Nomal二項係数2nCn(1) | Nomal三角関数(0) | Nomalガウス記号(0) | Nomal確率(0) | Nomal式の値(2) | Nomal式の値(4) | Nomal外接円と内接円(1) | Nomal最小値(2) | Nomal最小値(2) | Nomal高校受験の問題です(4) | Nomal解析学(1) | Nomal確率分布(0) | Nomal整数問題(2) | Nomal関数の合成(0) |



■記事リスト / ▼下のスレッド
■50825 / 親記事)  積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(1回)-(2021/06/08(Tue) 16:15:39)
    nは2以上の自然数で、n個の自然数a[1],a[2],・・・,a[n]として
    Π[k=1,n]a[k]=Σ[k=1,n]a[k]を満たすものが存在することを示せ。
    解き方を教えてください。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■50826 / ResNo.1)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ らすかる 付き人(56回)-(2021/06/08(Tue) 16:50:05)
    1≦k≦n-2のときa[k]=1, a[n-1]=2, a[n]=n
    とすれば和も積も2nになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50827 / ResNo.2)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(2回)-(2021/06/08(Tue) 19:35:16)
    らすかる様、早速の回答ありがとうございます。
    追加で質問させてください。(らすかる様以外の方の回答も大歓迎です。)

    (1)存在を示すので具体的な値を提示できれば十分なことは理解できます。
    ただ、今後類似の問題への応用力を付けたいので、どの様な方法で
    1≦k≦n-2のときa[k]=1, a[n-1]=2, a[n]=n
    という値を見い出したのか教えてください。

    (2)上記の値以外に問題の条件を満たす値はあるのでしょうか?
    値は有限個でしょうか?それとも無数にあるのでしょうか?

    xとyを自然数としてxy=x+yなら、xy-x-y=0から(x-1)(y-1)=1と変形でき、
    x-1とy-1は負でない整数だからx-1=y-1=1で、
    n=2のときはx=y=2という値のみとなると思います。
    しかし、n≧3のときはお手上げです。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50828 / ResNo.3)  Re[2]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ らすかる 付き人(57回)-(2021/06/08(Tue) 21:29:02)
    n=2のときは2+2=2×2=4は誰でも知っていますね。
    以下a[1]≦a[2]≦…≦a[n]とします。
    n=3のとき
    もしa[1]≧2だとするとa[2]≧2なので(積)≧4a[3]
    しかしa[1]≦a[2]≦a[3]から(和)≦3a[3]なので(和)<(積)となり成り立ちません。
    よってa[1]=1です。
    このとき1+a[2]+a[3]=a[2]a[3]から(a[2]-1)(a[3]-1)=2なのでa[2]=2,a[3]=3と決まります。
    n=4のとき
    n=3のときと同様、もしa[1]≧2だとすると(積)≧8a[4]、(和)≦4a[4]となり不適なのでa[1]=1
    a[1]=1として、もしa[2]≧2だとすると(積)≧4a[4]、(和)<4a[4](∵a[1]<a[2])となり不適なのでa[2]=1
    このとき1+1+a[3]+a[4]=a[3]a[4]から(a[3]-1)(a[4]-1)=3なのでa[3]=2,a[4]=4と決まります。
    勘が良ければこの辺で
    2,2
    1,2,3
    1,1,2,4
    から
    1,1,1,…,1,2,n
    で成り立ちそうだと気づきますが、気づかなければもう一つ
    n=5のとき
    a[1]≧2のとき(積)≧16a[5]、(和)≦5a[5]で不適
    a[1]=1,a[2]≧2のとき(積)≧8a[5]、(和)<5a[5]で不適
    a[1]=a[2]=1,a[3]≧2のとき(積)≧4a[5]、(和)≦4a[5]から(1,1,2,2,2)で成り立つ
    a[1]=a[2]=a[3]=1の場合は(a[4]-1)(a[5]-1)=4からa[4]=2,a[5]=5またはa[4]=a[5]=3
    よってn=5のときの解は
    (1,1,2,2,2),(1,1,1,3,3),(1,1,1,2,5)の3通り
    ここまでやれば
    (a[2]-1)(a[3]-1)=2
    (a[3]-1)(a[4]-1)=3
    (a[4]-1)(a[5]-1)=4
    という計算をしたことから、同様の計算で行けることに気づくと思います。

    つまりn≦4では解は1組ですが、n≧5では解は1つとは限りません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50829 / ResNo.4)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2021/06/09(Wed) 17:37:25)
    横から失礼します。

    値をソートして 1 ≦ a[1] ≦ a[2] ≦ ・・・ ≦ a[n-1] ≦ a[n] とすると、
    1 ≦ k ≦ n で a[k]/a[n] ≦ 1 です。

    a[1]a[2]・・・a[n-1]a[n] = a[1]+a[2]+・・・+a[n-1]+a[n]
    ⇒ a[1]a[2]・・・a[n-1] = (a[1]/a[n])+(a[2]/a[n])+・・・+(a[n-1]/a[n])+(a[n]/a[n]) ≦n

    つまり、a[1]a[2]・・・a[n-1] は n 以下の自然数を因数分解したものとなります。
    n 以下の自然数は有限個です。

    また、個々の自然数を n-1 の自然数の積で表す表現数は、
    a[1]a[2]・・・a[n-1] = k ≦ n ならば、1 ≦ a[1] ≦ k, 1 ≦ a[2] ≦ k, ・・・, 1 ≦ a[n-1] ≦ k なので、
    (a[1], a[2], ・・・, a[n-1]) の組の数は高々 k^(n-1) 個となり、表現数も有限通りといえます。

    (a[1], a[2], ・・・, a[n-1]) の各組に対して、a[1]a[2]・・・a[n-1] = k, a[1]+a[2]+・・・+a[n-1] = m
    とすると、k*a[n] = m+a[n] となり、この a[n] 対する1次方程式が解ける場合は、
    自然数になるとは限らないが a[n] の値は一意に決まりますので、
    題意の解の個数も有限個となります。


    以下、蛇足。

    a[1]a[2]・・・a[n-1] = 1 つまり a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-1] = 1 とすると、
    a[n] = (n-1)+a[n] ⇒ 0 = n-1 > 0 と矛盾。n ≧ 2 なので。

    a[1]a[2]・・・a[n-1] = k ≧ 2 で a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-2] = 1, a[n-1] = k とすると、
    k*a[n] = (n-2)+k+a[n] ⇒ a[n] = (n-2+k)/(k-1) = 1+(n-1)/(k-1)
    k = 2 なら a[n] = 1+(n-1)/(2-1) = n。これはらすかるさんの提示した解。

    一般に n = m(k-1)+1 という形なら、a[n] = 1+m となる解があります。
    5 = 1*(5-1)+1 ⇒ m = 1, k = 5 ⇒ (1, 1, 1, 5, 2) #大小関係が崩壊してますが!
    5 = 2*(3-1)+1 ⇒ m = 2, k = 3 ⇒ (1, 1, 1, 3, 3)
    5 = 4*(2-1)+1 ⇒ m = 4, k = 2 ⇒ (1, 1, 1, 2, 5)
    # a[1] = a[2] = ・・・ = a[n-2] = 1 という場合のみの解ですので、
    # a[n-2] 以前に 2 以上の値があるパターンは上記方法では網羅できません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50842 / ResNo.5)  Re[1]: 積と和が一致する自然数の組
□投稿者/ がじゅまる 一般人(3回)-(2021/06/12(Sat) 21:55:20)
    らすかる様、WIZ様解説ありがとうこざいます。
    お礼が遅くなりごめんなさい。

    ある程度の試し算は必要だけど値は求められるのですね。
    また条件を満たす値が有限個であることが分かりました。

    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-5]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■50822 / 親記事)  共分散行列
□投稿者/ ghuubb 一般人(1回)-(2021/06/07(Mon) 12:40:52)
    わかる方、解説お願いします。手順等だけでも構いません。
1125×353 => 250×78

5B2F4BCB-8B26-4FB1-9860-8B3C55C6800A.jpeg
/133KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■50821 / 親記事)  大学数学
□投稿者/ みき 一般人(2回)-(2021/06/07(Mon) 10:09:26)
    追加すみません。
    この問題もわかる方、教えていただきたいです
700×205 => 250×73

57057E8F-A555-4CC7-A0FE-8706E88D1245.jpeg
/24KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50823 / ResNo.1)  Re[1]: 大学数学
□投稿者/ GandB 一般人(1回)-(2021/06/07(Mon) 17:26:06)
    いろいろめんどいので(1)だけ答えておく。

550×658 => 209×250

1623054366.png
/9KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■50813 / 親記事)  素数
□投稿者/ +1 一般人(1回)-(2021/06/03(Thu) 16:14:39)
    素数p,q,rでp+1,q+1,r+1が等比数列となる
    ものをp<q<r<100の範囲で全て求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■50815 / ResNo.2)  Re[2]: 素数
□投稿者/ +1 一般人(2回)-(2021/06/03(Thu) 18:06:38)
    公比が整数だとなぜ分かりますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50816 / ResNo.3)  Re[3]: 素数
□投稿者/ らすかる 付き人(54回)-(2021/06/03(Thu) 19:11:53)
    ごめんなさい、勝手に整数と思い込んでいました。
    整数でない場合は公比をu/v(uとvは互いに素でv≧2)とすると
    p+1はv^2の倍数でなければならないのでv≦10
    v=10のときp=99となり不適
    v=9のときp=80となり不適
    v=8のときp=63となり不適
    v=7のときp=48,97となり不適(∵97より大きい100未満の素数はない)
    v=6のときp=35,71となりp=35は不適
    p=71のとき(p+1)/v=12なのでu=7(∵u=8はvと互いに素でない)
    このときq=(71+1)×(7/6)-1=83, r=(83+1)×(7/6)-1=97となり
    (p,q,r)=(71,83,97)は解
    v=5のときp=24,49,74,99となり不適

    v=4のときp=15,31,47,63,79,95となりこのうち素数は31,47,79
    p=31のとき(p+1)/v=8なのでu=5,7,9,11(∵偶数はvと互いに素でない)
    u=5,7,9,11のとき順に
    q=39,55,71,87となりこのうち素数は71
    しかしr=(71+1)×(9/4)-1>100となり不適
    p=47のとき(p+1)/v=12なのでu=5,7(∵6,8はvと互いに素でない)
    u=5,7のとき順にq=59,83となり両方とも素数
    q=59のとき(q+1)×(5/4)-1=74となり不適
    q=83のとき(q+1)×(7/4)-1>100となり不適
    p=79のとき(p+1)/v=20なのでu=5
    しかしq=(79+1)×(5/4)-1=99なので不適

    v=3のときp=8,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98となりこのうち素数は17,53,71,89
    p=17のとき(p+1)/v=6なのでu=4,5,7,8,10,11,13,14,16
    このとき順にq=23,29,41,47,59,65,77,83,95となりこのうち素数は23,29,41,47,59,83
    q=23のときr=(q+1)×(4/3)-1=31で適
    q=29のときr=(q+1)×(5/3)-1=49で不適
    q=41のときr=(q+1)×(7/3)-1=97で適
    q≧47のときr≧100となり不適
    よって(p,q,r)=(17,23,31),(17,41,97)が解

    v=2のときpは8n-1型の素数なのでp=7,23,31,47,71,79
    (8n-5型の素数のときr=(8n-5+1){(奇数)/2}^2-1が偶数になるので不適)
    p=7のとき(p+1)/v=4,√{100/(p+1)}<4なのでuは3以上7以下の奇数
    u=3,5,7のとき順にq=11,19,27となり素数は11,19
    q=11のときr=(q+1)×(3/2)-1=17で適
    q=19のときr=(q+1)×(5/2)-1=49で不適
    よって(p,q,r)=(7,11,17)が解
    p=23のとき(p+1)/v=12,√{100/(p+1)}<5/2なのでu=3
    このときq=35となり不適
    p=31のとき同様にu=3
    このとき(p,q,r)=(31,47,71)となり適
    p≧47のときr≧47×(3/2)^2>100となり不適

    従って公比が整数でないときの解は
    (p,q,r)=(71,83,97),(17,23,31),(17,41,97),(7,11,17),(31,47,71)
    なので、整数のときの解と合わせて昇順に並べると
    (p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
    (11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)

    # 見落としなどあるかも知れませんので、内容はご確認下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50817 / ResNo.4)  Re[4]: 素数
□投稿者/ +1 一般人(3回)-(2021/06/03(Thu) 21:37:50)
    ありがどうございました
    色々な点でとても参考になりました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50818 / ResNo.5)  Re[5]: 素数
□投稿者/ らすかる 付き人(55回)-(2021/06/03(Thu) 22:33:34)
    全く違う方法でも解いてみました。

    100までの素数は
    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
    全部1足すと
    3,4,6,8,12,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,54,60,62,68,72,74,80,84,90,98
    素因数分解すると
    3=3
    4=2^2
    6=2*3
    8=2^3
    12=2^2*3
    14=2*7
    18=2*3^2
    20=2^2*5
    24=2^3*3
    30=2*3*5
    32=2^5
    38=2*19
    42=2*3*7
    44=2^2*11
    48=2^4*3
    54=2*3^3
    60=2^2*3*5
    62=2*31
    68=2^2*17
    72=2^3*3^2
    74=2*37
    80=2^4*5
    84=2^2*3*7
    90=2*3^2*5
    98=2*7^2
    2乗以上がない素因数(5,11,17,19,31,37)を含む数は、
    同じ素因数を持つもの同士でしか等比数列をなし得ない。
    素因数11,17,19,31,37を含むものは1個ずつしかないため、
    38,44,62,68,74が等比数列に使われることはない。
    素因数5を含むものは
    20=2^2*5
    30=2*3*5
    60=2^2*3*5
    80=2^4*5
    90=2*3^2*5
    の5個
    このうち素因数3を含まないものと1個だけ含むものはそれぞれ2個しかなく、
    3^2を含むものが90しかないため、自動的にr=90と決まる。
    しかしqを素因数3を1個含む30,60のどちらにしてもpが存在せず不適。
    よって素因数5を含む数の等比数列は存在しない。
    素因数7を含むものは
    14=2*7
    42=2*3*7
    84=2^2*3*7
    98=2*7^2
    の4個
    3^1を含むものが2個、3を含まないものが2個なので
    この4個の中だけで等比数列をなすことはないが、
    7^0の項を追加すると等比数列をなす可能性がある。
    一つは2*7^2と決まり、
    もう一つを2*7とすると残りは2となり存在しない
    もう一つを2*3*7とすると残りは2*3^2となり
    (2*3^2,2*3*7,2*7^2)→(18,42,98)→(17,41,97)が適解
    もう一つを2^2*3*7とすると残りは2^3*3^2となり
    (2^3*3^2,2^2*3*7,2*7^2)→(72,84,98)→(71,83,97)が適解

    残りは
    3=3
    4=2^2
    6=2*3
    8=2^3
    12=2^2*3
    18=2*3^2
    24=2^3*3
    32=2^5
    48=2^4*3
    54=2*3^3
    72=2^3*3^2
    の11個で素因数はすべて2と3
    素因数の個数で表を作ると
    □○@ABCD←2^n
    ○□□■■□■
    @■■■■■□
    A□■□■□□
    B□■□□□□

    3^n
    この表で3つが等間隔で直線上に並んでいるものは

    3,2*3,2^2*3 → 3,6,12 → 2,5,11
    3,2^2*3,2^4*3 → 3,12,48 → 2,11,47
    2*3,2^2*3,2^3*3 → 6,12,24 → 5,11,23
    2^2*3,2^3*3,2^4*3 → 12,24,48 → 11,23,47

    2*3,2*3^2,2*3^3 → 6,18,54 → 5,17,53
    2^3,2^3*3,2^3*3^2 → 8,24,72 → 7,23,71
    斜め45°
    2^3,2^2*3,2*3^2 → 8,12,18 → 7,11,17
    2^5,2^4*3,2^3*3^2 → 32,48,72 → 31,47,71
    他の向き
    2*3^2,2^3*3,2^5 → 18,24,32 → 17,23,31

    従って解は以前と同じく
    (p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
    (11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)
    の11個。

    # 全く違う方法で同じ答えが得られましたので、
    # おそらく合っていると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50819 / ResNo.6)  Re[6]: 素数
□投稿者/ +1 一般人(4回)-(2021/06/07(Mon) 09:18:52)
    遅くなってすみません。
    ありがとうございました
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-6]



■記事リスト / ▲上のスレッド
■50812 / 親記事)  確率 統計の問題
□投稿者/ 赤犬 一般人(1回)-(2021/05/30(Sun) 10:59:02)
    当たりが1/8の確率で出るように調整された、当選が決まる抽選機がある。この抽選機を800回使った所、60回当たりが出た。この抽選機は本当に、「当たりが1/8の確率で出るように調整されている」と言えるか。有意水準0.05で検定したい

    @検定の帰無仮説、対立仮説を立てよ
    A棄却域を述べよ
    B検定統計量の実現値を述べよ
    C検定結果を示し、結論を述べよ

    苦手なのですが、どなたか解答お願いします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]






Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター