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■48620 / 親記事)  数列の周期と初項
□投稿者/ ミヤゾンちえみ 一般人(1回)-(2018/08/26(Sun) 19:13:33)
    数列{a[n]}は、初項a[1]が有理数で、
    全てのn≧1に対して
    a[n+1]=a[n]^2 -29/16
    という関係を満たしています。
    以下の条件をみたす初項a[1](有理数)を全て知りたいです(求め方も)。
    条件:ある自然数kとpが存在して、
    任意のn≧kに対して
    a[n]=a[n+p]
    が成り立つ。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48708 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の周期と初項
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2018/08/28(Tue) 09:52:37)
    a[1]=u/v(uとvは互いに素な整数でv>0)とします。
    もしvが奇素数を素因数に持つと、数列の分母は
    増加し続けますので、条件を満たしません。
    もしv=2^m(m≧3)とすると、やはり数列の分母が
    増加し続けますので、条件を満たしません。
    もしv=2またはv=1とするとa[2]の分母が16となり、同様に
    数列の分母が増加し続けますので、条件を満たしません。
    従ってv=4です。
    2^2-29/16=35/16>2から
    |a[n]|≧2のときa[n+1]>|a[n]|で数列が増加し続けますので、
    |a[1]|<2に限定されます。
    よってa[1]の候補は±1/4,±3/4,±5/4,±7/4に限定されます。
    また上記からわかるように、数列の途中で分母が4以外になると
    条件を満たさなくなります。
    |a[n]|=1/4のとき
    a[n+1]=1/16-29/16=-7/4
    |a[n]|=3/4のとき
    a[n+1]=9/16-29/16=-5/4
    |a[n]|=5/4のとき
    a[n+1]=25/16-29/16=-1/4
    |a[n]|=7/4のとき
    a[n+1]=49/16-29/16=5/4
    ですから、a[1]=±1/4,±3/4,±5/4,±7/4であれば
    この範囲内の値しかとりませんので、必ず循環して条件を満たします。
    従って条件を満たす初項a[1]は
    ±1/4,±3/4,±5/4,±7/4となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48727 / ResNo.2)  Re[2]: 数列の周期と初項
□投稿者/ ミヤゾンちえみ 一般人(3回)-(2018/08/29(Wed) 10:17:12)
    有難うございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48510 / 親記事)  ベクトル
□投稿者/ 受験生 一般人(1回)-(2018/07/29(Sun) 11:20:28)
    模範解答お願いします。
1024×620 => 250×151

85CC4ACC-3386-46AB-B248-5EAF482FA1D3.jpeg
/138KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48517 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/08/18(Sat) 20:32:22)
    四面体OABCがあり,|OA|=|OB|=|OC|=1,∠AOB=π/3,OA⊥BC,OB⊥ACである.
    また,OA=a,OB=b,OC=cとし,
    OD=a+b,OE=b+c,OP=2a,OQ=(3/2)b,
    OR=(6/5)cで定まる5つの点D,E,P,Q,Rをとる.
    (1)
    a・b
    =|a||b|cos∠AOB
    =cosπ/3
    =1/2

    OB⊥ACだから
    b・(c-a)=0
    (b・c)-(a・b)=0
    b・c=a・b=1/2

    OA⊥BCだから
    (c-b)・a=0
    (c・a)-(a・b)=0
    c・a=a・b=1/2

    (2)
    0<s<1,s≠3/4
    線分ADをs:(1-s)に内分する点をX,
    線分CEを(1-s):sに内分する点をYとし,
    0<t<1
    線分XYをt:(1-t)に内分する点をZとする.
    X
    =(1-s)A+sD
    =(1-s)a+s(a+b)
    =(1-s+s)a+sb
    =a+sb

    Y
    =sC+(1-s)E
    =sc+(1-s)(b+c)
    =(1-s+s)c+(1-s)b
    =c+(1-s)b

    OZ
    =(1-t)X+tY
    =(1-t)(a+sb)+t{c+(1-s)b}
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc

    点Zが平面PQR上にあるとき
    OZ=(1-x-y)P+xQ+yR
    となるx,yがある
    P=2a,Q=(3/2)b,R=(6/5)cだから
    OZ
    =2(1-x-y)a+(3x/2)b+(6y/5)c
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
    =(1-t)a+(3x/2)b+tc
    だから
    2(1-x-y)=1-t
    3x/2=s+t-2st
    6y/5=t
    6y=5t
    6x=4(s+t-2st)
    6(1-x-y)=3(1-t)
    6=5t+4(s+t-2st)+3(1-t)
    3=6t+4s-8st
    8st-6t-4s+3=0
    2t(4s-3)-4s+3=0
    (2t-1)(4s-3)=0
    s≠3/4だから4s-3≠0だから
    4s-3で両辺を割ると
    2t-1=0
    2t=1
    t=1/2
    ↓これを6y=5tに代入すると
    6y=5/2
    y=5/12
    ↓これとt=1/2を2(1-x-y)=1-tに代入すると
    7/6-2x=1/2
    2/3=7/6-1/2=2x
    x=1/3
    ↓これとt=1/2をOZ=(1-t)a+(3x/2)b+tcに代入すると

    OZ=(1/2)a+(1/2)b+(1/2)c

    (3)
    点KをOK=ka(kは実数で定まる点とする.
    (2)の点Zが平面PQR上にあるとき,
    直線ZKが平面OBCに垂直となるとき
    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OB=0
    =(ka-(a+b+c)/2)・b=0
    =k(a・b)-{(a・b)+|b|^2+(c・b)}/2=0
    ={(2k-1)(a・b)-|b|^2-(c・b)}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1-1/2}/2=0
    2k-1-2-1=0
    2k=4
    k=2

    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OC
    =(ka-(a+b+c)/2)・c=0
    =k(a・c)-{(a・c)+(b・c)+|c|^2}/2=0
    ={(2k-1)(a・c)-(b・c)-|c|^2}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1/2-1}/2=0
    2k-1-1-2=0
    2k=4
    k=2
    だから
    k=2
    の時ZKはOBとOCの両方に垂直だから平面OBCに垂直となる
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■48507 / 親記事)  積分計算
□投稿者/ こいち 一般人(11回)-(2018/07/29(Sun) 01:32:27)
    (x-1)^2/(x^2+1)^2について不定積分の解法を、解ける方お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48508 / ResNo.1)  Re[1]: 積分計算
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2018/07/29(Sun) 02:08:19)
    (x-1)^2/(x^2+1)^2
    =(x^2-2x+1)/(x^2+1)^2
    =(x^2+1)/(x^2+1)^2-2x/(x^2+1)^2
    =1/(x^2+1)-2x/(x^2+1)^2
    と分ければ、1/(x^2+1)の不定積分はarctanx、
    2x/(x^2+1)^2の不定積分はx^2+1=tとおけば簡単ですね。

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■48509 / ResNo.2)  Re[2]: 積分計算
□投稿者/ こいち 一般人(12回)-(2018/07/29(Sun) 10:58:01)
    なるほど。発想が乏しかったです。
    やっぱりコツなどではなく経験なのでしょうか...(-_-;)

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■48502 / 親記事)  積分範囲の極限
□投稿者/ こいち 一般人(5回)-(2018/07/28(Sat) 15:12:24)
    1)lim(n→∞)1/n{√(1/n)+√(2/n)+...+√(n/n)}
    (2)lim(n→∞){1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n}
    (3)lim(n→∞){1/√(n^2+1^2)+1/√(n^2+2^2)+...+1/√(n^2+n^2)}
    この3問の極限値を求める問題です。積分の範囲に含まれているので何かしら積分を利用するのかと思いますが、解法が分かりません。分かる方お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48504 / ResNo.1)  Re[1]: 積分範囲の極限
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:41)
    他板で回答しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48505 / ResNo.2)  Re[2]: 積分範囲の極限
□投稿者/ こいち 一般人(8回)-(2018/07/28(Sat) 16:07:14)
    ありがとうございました!!!助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48496 / 親記事)  広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)
    ∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx
    の解き方を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48500 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)
    a≠0かつb≠0のとき
    ∫e^(-ax)・sin(bx)dx
    =e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx
    なので
    (1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1
    (a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1
    ∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2
    従って
    b=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]0dx=0
    b≠0,a=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0〜∞]は発散
    b≠0,a<0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]は発散
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48501 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)
    の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48503 / ResNo.3)  Re[3]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)
    a>0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので
    lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0
    x=0のとき
    e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので
    x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2)
    よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48506 / ResNo.4)  Re[4]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)
    解くことができました。ありがとうございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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