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■51904 / 親記事)  代数学の問題
□投稿者/ Milo 一般人(1回)-(2022/06/29(Wed) 18:37:30)
    大学数学の代数学の問題です。ご協力お願いしたいです。

    問題T :={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}⊂Zを法10に関する完全代表系として固定する。数字「0」を x ∈ Z とする。
    任意の 0 ≤ i ≤ 9 に対して、法 10 に関して x + i と合同な T の元を ai とする.また,ai の法 10 に関す る剰余類を ai ∈ Z/10Zとおく.(Z/10Z)^× を Z/10Z の既約剰余類群とする.
    (1) 各0 ≤ i ≤ 9に対して,ai を求めよ.
    (2) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (3) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 5 となる i をすべて求めよ.
    (4) ai ∈ (Z/10Z)^×となる i をすべて求めよ.
    (5) 乗法群 (Z/10Z)^× において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (6) ai が乗法群 (Z/10Z)^× の生成元となるような i をすべて求めよ.
    (答のみでよい.)
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■51906 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(21回)-(2022/06/30(Thu) 08:00:42)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    数字0をxとするという部分の意味がちょっとわかりにくいのですが、
    同値類の元の一つということなら、10nの形の数ということかもしれません。

    そうだとするとx=10nを足しても剰余類としては変わらないので、
    (1)はai=i(0≦i≦9)ですね。
    また位数1というのは単位元なので、(2)はi=0です。

    位数5は5倍してはじめて10の倍数になる数なので、(3)は0以外の偶数、すなわち2,4,6,8ですね。

    (4)は10と互いに素な数なので1,3,7,9です。

    (5)はそのうちの(乗法に関する)単位元なので1ですね。

    またこの乗法群において1の位数は1,9の位数は2,また3と7の位数は4なので、(6)の答えは位数が4となる3,7になります。

    ということで、ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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■51903 / 親記事)  上極限・下極限
□投稿者/ りこ 一般人(1回)-(2022/06/29(Wed) 10:52:52)
    こちらの問題がわからず困っています。どなたか教えていただきたいです!
1284×511 => 250×99

IMG_20220629_105150.jpg
/135KB
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■51905 / ResNo.1)  Re[1]: 上極限・下極限
□投稿者/ マシュマロ 一般人(20回)-(2022/06/30(Thu) 07:43:50)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    数列{an}は−2,3/2,−4/3,5/4,−6/5,……

    となるので、たとえば上限については a2だと3/2以降の数の上限、すなわち3/2です。

    同様に考えて(1)はそれぞれ3/2,3/2,(2n+1)/2n,(2n+1)/2nですね。

    下限については、たとえば a3だと−4/3以降の数の下限なので−4/3になります。

    同様に考えて(2)はそれぞれ、−2,−4/3,−(2n+2)/(2n+1),−(2n+2)/(2n+1)です。

    よってn→∞の極限を考えると(3)はそれぞれ1,−1となりますね。

    ということで、ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
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■51900 / 親記事)  シグマ計算
□投稿者/ たまご 一般人(1回)-(2022/06/26(Sun) 11:30:34)
    これはどのように入力すればちゃんと計算してくれるのでしょうか?
    www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5BSum%5B1%2C+%7Bm%2C+1%2C+Min%5B-N%5E2+%2BnN%2C+2N%5D%7D%5D%2C+%7Bn%2C+N%2B1%2C+2N%7D%5D&lang=ja
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■51901 / ResNo.1)  Re[1]: シグマ計算
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2022/06/26(Sun) 17:39:38)
    min(-N^2+nN,2N)は
    n<N+2のとき-N^2+nN
    n≧N+2のとき2N
    なので
    n=N+1〜2Nをn=N+1とn=N+2〜2Nに分けて
    Sum[1, {m, 1, N}] + Sum[Sum[1, {m, 1, 2N}], {n, N+2, 2N}]
    とすればよいと思います。

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■51899 / 親記事)  三角関数
□投稿者/ 2022 一般人(1回)-(2022/06/25(Sat) 20:15:19)


    とするとき任意のの二つの角に対して



    であることの証明を教えて下さい。
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■51897 / 親記事)  代数学
□投稿者/ もち 一般人(1回)-(2022/06/25(Sat) 18:11:49)
    1日考えてわからなかったので助力をいただきたいです。

    bを単元でないとすると、ユークリッド整域における因数分解b=a1a2・・・arの因数aiのうち、ちょうど一つがbに同伴することを証明したいです。

    以下原文
    Show that in a trivial factorization b = a1 a2 ... a r in a Euclidean domain of a nonunit b, exactly one of the factors a, is an associate of b.
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■51902 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学
□投稿者/ マシュマロ 一般人(19回)-(2022/06/27(Mon) 08:04:30)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    原文では trivial factorization となっているのでaiのうち単元でないものは
    1つ以下という問題設定だと思います。
    すべてが単元ならbが単元となってしまうので、単元でないaiが1つだけあり、
    当然、それがbと同伴になります。
    他は単元なのでbと同伴ではなく、命題が成り立ちます。

    一般の因数分解ならば、Zにおいてb=15,a1=3,a2=5とすると、
    3も5も15と同伴にはならないので、反例となります。
    原文の意味だと上記のように示されると思います。

    ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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